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中级微观经济学 2003 年秋季学期 期末考试练习题期末考试练习题 1 一个充分竞争的童装行业存在很多潜在和竞争对手 每一个企业都有相同的具有固定规模效益 的生产函数 生产 20 个单位的产品时 企业的长期平均成本最低 其最低平均成本是每单位 10 元 这个个行业的总需求函数是150050yp p 是童装的市场价格 1 求这个行业的长期供给函数 2 求这个行业的长期的均衡价格 行业的童年装总产量 企业数 以及每个企业的利润 3 如果每个企业的短期成本函数是 2 0 510200c yyy 求这个行业的短期供给函数 4 假如现在童装的流行趋势发生了变化 新的市场总需求是200050yp 求每个企业的 短期利润 5 求新的长期均衡价格 行业的童年装总产量 企业数 以及每个企业的利润 2 一个垄断企业面临两个分割的市场 这两个市场的需求函数分别是 111 222 100 1002 Dpp Dpp 其中 1 p和 2 p分别是这两个市场的价格 这个垄断企业的成本函数是 20C yy 1 假设这个垄断企业可以在不同的市场上实行不同的价格 即存在价格歧视 在利润最大化 时 这个企业应该在这两个市场上分别出售多少个单位的商品 价格各为多少 2 假设不存在价格歧视 这个企业应该生产多少个单位的产品 价格是多少 3 一个行业有两个企业 这两个企业具有相同的成本函数 10c yy 这个行业的反需求函数是 1100 5py 其中 y 是这个行业的总产量 1 假设企业 1 是一个斯塔克尔伯格博奕中的领头企业 即率先决定产出的数量 求在均衡时 这个企业的产出数量和利润 2 假设这两个企业同时决定价格 每个企业均衡时的产出水平和利润又各为多少 3 现在 如果两个企业同意共组一个卡特尔并且平分市场 这个时候每个企业的产出和利润 各是多少 假定企业 2 不会偷跑 企业 1 偷跑时的最佳产出和利润各为多少 4 用市场信号这一概念来分析下列行为 在分析中 请解释每一个行为导致的是区隔均衡还是聚 合均衡 每一个行为是为了表达一个什么样的目的 即解决什么样的信息不对称的问题 成本为 何 这样的行为是不是必要的 1 在农村 订亲时男方都要为女方准备昂贵的订亲礼金 2 银行等金融部门通常都有超过实际需要的高大和富丽堂皇的大楼 5 一个经济中有两个消费者 A 和 B 两种商品 1 x和 2 x 消费者 A 的效用函数是 12 10 20 AAA Uxx 消费者 B 的效用函数是 12 lnln ABB Uxx 这个经济的资源禀赋是 12 30 20 1 在艾奇沃斯方框图上画出所有帕累多有效的配置 2 如果市场价格为 12 1 1 pp 消费者 A 和 B 的资源禀赋各为多少 3 如果消费者 A 的资源禀赋是 12 8 0 AA 市场均衡的价格比率应该是多少 12 pp 6 在下面的序贯博弈中 小王和小张需要决定结婚后去哪里找工作 他们有两个选择 北京 B 或上海 S 小王喜欢北方干燥的气候而小张喜欢南方湿润的气候 当然 他们都希望能够呆在同 一个城市 小王先于小张毕业 所以小王必须先作决定 小王 小张 S B S B S B 1 3 0 0 0 0 3 1 1 写出这个博弈的报酬矩阵 2 找出纳什均衡 3 如果小张先决定 你的答案会有什么变化吗 微观期中考试 I 第 1页 中国经济研究中心双学位项目中级微观经济学中国经济研究中心双学位项目中级微观经济学 期中考试期中考试 I 共 共 100 分 分 2003 年 10 月 21 日 姓名 学号 系别 一 简答题 结合图或者代数式回答 正误判断题必须解释理由 不解释不得分 1 8 分 苹果的价格下降 生产苹果的果农对苹果的消费也下降 这一现象说 明苹果一定是吉芬 Giffen 品 解答 解答 命题错误 假设苹果为正常商品 也有可能出现命题中所述现象 分析如下 由于果农消费的是禀赋商品 一种可能的情况是 当苹果价格下降时 果农的收入 减少 此时收入效应应当使果农对苹果的消费减少 而替代效应使果农对苹果消费 增加 当收入效应使果农对苹果的消费的减少量大于替代效应使之对苹果消费的增 加量时 就会出现苹果价格下降 果农对苹果的消费减少的现象 2 5 分 一辆自行车和一把车锁总是捆在一起消费 消费者对自行车 1 x 车锁 2 x 的效用函数可以表示为 12 Uxx 解答 解答 命题错误 若否 则有两辆车三把锁的效用应为 5 而两辆车两把锁的效用 为 4 从而有前者优于后者 但根据题意 两者应当是无差异的 矛盾 所以命题 错误 3 5 分 若某个消费者的偏好可以由效用函数 3 1212 5U x xxx 表示 那么 对于该消费者而言 1 x 2 x是完全替代品 解答 解答 命题正确 根据对该效用函数做仿射变换后仍表示原偏好 那么原偏好也可 以用效用函数 1 3 1212 5uu xxxx 表示 该效用函数即表示 12 xx与为完全 替代的两种商品 4 8分 线性需求函数的斜率是常数 所以其需求价格弹性处处相等 解答 解答 命题错误 设斜率为常数的线性需求函数为 D papb 其中a和b为常 数 此时需求价格弹性为 1 Dpp Da papbbapb 从而该线性 需求函数的斜率为常数a 但弹性与p相关 而非常数 二 简要计算说明题 1 10分 设消费者对 1 x 2 x 的效用函数是 12 Uxx 1 x的价格为2 2 x的 价格为1 消费者的收入是m 100 1 计算当 1 p从2变到1 2时对 1 x需求的变化 微观期中考试 I 第 2页 2 计算该变化的斯拉茨基 Slutsky 替代效应和收入效应 并画图表示出 来 解答 1 1 2p 1 2 p 所以 1 0 x 1 1 2 p 1 2 p 所以 1 1 200 m x p 所以 当1的价格从2变化到1 2时 111 200 xxx 4分 分 2 价格变化前的消费束是 0 100 价格变化后要使消费者仍消费原来的消费束 收入应为 1 0100 1100 2 m 所以斯拉斯基替代效应应为 111 1 1 2 1 200 2 s xxmxm 收入效应为 ms xxx 0 3分 分 画图表示如下 3分 分 2 16分 消费者对 1 x 2 x 的效用函数是准线性的效用函数 quasi linear utility function 1212 U x xxx 1 x的价格为1 2 x的价格为 2 p 消费者的收入 是m 1 x 2 x 100 200 100 200 s x 微观期中考试 I 第 3页 1 求 1 x 2 x的需求函数 注意分情况讨论 比如角点和内部解 2 设m 100 此时收入变化是否影响对 1 x和 2 x的消费 3 设m 100 2 p从1变到2 计算该消费者从消费 2 x这种商品获得的消费 者剩余 consumer surplus 的变化 解答 1 12 1 122 max s t xx p xp xm 1分 分 当 2 1 4 m p 时 12 2 0 m xx p 2分 分 2 100m 如果 2 1 4 p m 那么 12 2 22 11 44 x xm pp 12 10 0 xx mm 即 收入变化对 1 x的消费有正的影响 对 2 x的消费没有影响 4分 分 如果 2 1 4 p m 那么 12 2 0 m x x p 2分 分 12 2 1 0 xx mmp 即 收入变化对 1 x的消费没有影响 对 2 x的消费有正的影响 3 22 11 12 4400 pp m 或者那么 2 2 21 2 1 22 111 448 CSdp pp 4分 分 3 10 分 设大学生 Lily 做两期决策 第一期她在读书 没有收入 第二期她工 作 收入是 8 800 元 她在第一期可以以 10 的利率向学校贷款 用 1 c 代表第 一期的消费 用 2 c 代表第二期的消费 她的跨期效用函数是 1212 uc cc c 假定没有通货膨胀 问她应该向学校贷款多少 解答 解答 该消费者问题为 微观期中考试 I 第 4页 12 12 1 2 max s t 1 10 8 800 c cL c c cL cL 改写约束为 2 1 8 800 1 11 1 c c 或者 12 1 18 800cc 3分 分 Lagrange Function 为 1 212 8 800 1 1Hc ccc 则 一阶条件为 2 1 1 10 H c c 1 1 2 0 H c c 2 12 8 800 1 1 H cc 3 4分 分 由 1 和 2 得到 21 1 1cc 代入 3 得到 11 8 800 1 11 10cc 即 1 2 4 000 4 400 Lc c 元 元 所以她应该贷款4000元 3分 分 4 10分 一个学生有生活费1000元 学校组织了摄影比赛 如果获奖将得到 1200元奖金 准备参赛作品和交参赛费需要花600元 学生自认为获奖的概率 为50 他具有期望效用函数 对财富的效用函数是uw 1 该学生是喜爱风险 risk loving 还是规避风险 risk averse 的人 2 他是否参赛 3 当奖金数为多少时他认为参赛与不参赛无所谓 解答 解答 1 因为 u ww 1 2 1 0 2 uww 3 2 1 0 4 uww 不参赛 1000 所以他不参加 4分 分 微观期中考试 I 第 5页 3 假设奖金最少为 R 时 他才会参赛 即 0 5 10006000 5 10006001000R 即4000800 10R 4分 分 三 证明题 1 14 分 我们知道如果一个人消费 n 种商品 那么这 n 种消费品的收入弹性按 照其消费开支比例加权平均为 1 1 证明该规则 2 当把所有商品分成两类 即农产品和非农产品时 如果农产品为必需品 necessity 则非农产品一定是奢侈品 证明 证明 1 根据瓦尔拉斯法则 1 n ii i p xw 其中 w 为财富 1分 分 w两边对 求导得到 11 1 nn iiii i ii i xp xxw p wwxw 3分 分 令 0 1 iii iii w i p xxw ss wxw 则 1 1 n ii w i s 3分 分 2 现把所有商品分为农产品 1 x 和非农产品 2 x 由上题我们有 1 1 22 1 ww ss 4 且 12 1ss 5 3分 分 由于农产品为必需品 所以其收入弹性 1 01 w 4 5 得 11 22 110 ww ss 即 11 22 110 ww ss 此时非农产品一定为奢侈品 4分 分 2 14 分 证明当一个商品为吉芬品时 它一定是劣质品 inferior good 而当一 个商品为劣质品时 它不一定是吉芬品 证明 证明 根据斯拉茨基方程 lll xl ll xxx x ppw 4分 分 微观期中考试 I 第 6页 当一个商品是吉芬品时有 0 l l x p 2分 分 故当 0 l x l x p 时 我们一定会有0 l l x x w 即0 l x w 说明该商品一定为劣质品 3分 分 而当一种商品为劣质品时 即0 l x w 即该商品不一定就是吉芬品 3分 分 1 北京大学中国经济研究中心 2003 年春季学期 中级微观经济学期末考试试题 A 卷 中级微观经济学期末考试试题 A 卷 说明 本考试是闭卷考试 你有两个小时回答以下问题 满分总分为 120 分 请注意安排好你的时 间 一 选择题 圈出你认为最正确的一个答案 每题 3 分 共 45 分 一 选择题 圈出你认为最正确的一个答案 每题 3 分 共 45 分 本部分略 本部分略 二 分析简答题 说明你的答题过程 否则不得分 二 分析简答题 说明你的答题过程 否则不得分 1 20 分分 一个企业用下列技术生产产品 1 2 1 1000 yKL 其中 资本 K 用机器小时来衡量 劳动力 L 用工作小时来衡量 y 是年产量 小时工资10 l w 租赁机器的每小时成本20 k w 1 证明这个技术是规模效益递增的 2 求资本和劳动力的边际产量 3 假设这个企业在 2002 年底签署了一个机器租赁协议 协议规定这个企业将在 2003 年全年租 用 K 1000 个机器小时 求这个企业 2003 年的短期成本函数 4 根据上面的假设 求这个企业的短期边际成本函数和短期平均成本函数 何时这两条曲线相 交 5 用图表示这个企业的短期边际成本函数和短期平均成本函数 2 25 分分 有两个捕鱼企业同时拥有当地唯一的一个湖泊 他们从湖中捕鱼的边际成本是每条 0 2 元 假设每条鱼的大小差不多 市场对鱼的需求可以用需求函数来表示 即50040pq 这里 p 是每条鱼的价格 单位 元 条 q 市场需求量 单位 条 1 如果这两个企业在捕鱼的时候是充分竞争的 此时的总捕鱼量和鱼的市场价格是多少 2 如果是库尔诺博弈 数量同时博弈 总捕鱼量和鱼的市场价格是多少 3 如果是伯特兰博弈 价格同时博弈 总捕鱼量和鱼的市场价格是多少 4 如果两个企业合组一个卡特尔 这个卡特尔的捕鱼量和鱼的市场价格是多少 5 如果这两个企业合并成为一个企业 这时的总捕鱼量和鱼的市场价格又为多少 2 6 比较以上结果 说明哪一种市场结构是最有效的 哪一种市场结构是最不效率的 为什么 3 10 分分 有两个企业正在考虑要不要进入饮料行业 而且这两个企业必须同时决定是否进入 如 果一个企业不进入 其报酬为 0 如果两个企业同时进入 每个企业的报酬是 A 如果只有一个企 业选择进入 这个企业的报酬是 B 写出这个博弈的报酬矩阵 并找出这个博弈可能的纳什均衡 需 说明纳什均衡与 A 和 B 之间的关系 并注意 A 与 B 之间的经济合理性 4 10 分分 一个养蜂场与一个苹果园相邻 养蜂场生产蜂蜜 苹果园生产苹果 蜂蜜的价格是每单 位 8 元 苹果的价格是每单位 7 元 养蜂场和苹果园的成本函数分别是 2 100 A h Ch aa 和 2 100 o a Ch a 其是 h 是蜂蜜的产量 a 是苹果的产量 1 如果养蜂场和苹果园分开经营 苹果的产量是多少 2 如果养蜂场和苹果园的所有者是同一个人 苹果的产量又是多少 5 10 分分 一个岛上有 500 个居民 每个居民消费两种不同的产品 私人消费品 c 和公共品 G 公 共品的生产技术为5Gc 岛上居民的效用函数相同 即 64 U c Gc G 求帕累多有效的公共 品的产量 第一次 9 月 16 日 图像大家都画得很好 这里就不画了 1 当 11 xx 时 加数量税 t 画出预算集并写出预算线 预算集 112211 xxmxpxp 1112211 xxx tmxpxtp 2 如果同样多的钱可以买 4 6 或 12 2 写出预算线 mxpxp 2211 则有 mpp 21 64 mpp 21 212 不妨假设 1 2 p 则可解得 8 2 1 1 mp 预算线为 8 2 1 21 xx 3 1 0 4100 xy 2 0 2100 30 0 4106 30 xyif x xyif x 3 0 4106xy 注注 1 第第 1 题和第题和第 3 题的第题的第 2 小题都是非线性价格的题目小题都是非线性价格的题目 道理是一样的道理是一样的 确定各个线段的端 点坐标和斜率 确定各个线段的端 点坐标和斜率 算出直线方程算出直线方程 检验答案正确与否的一个快捷的方法是看两端方程是不是 在临界点相交 检验答案正确与否的一个快捷的方法是看两端方程是不是 在临界点相交 这是一个必要条件这是一个必要条件 不是充分条件不是充分条件 注注 2 以后写预算线请大家写成以后写预算线请大家写成 1 122 p xp xm 的标准形式的标准形式 否则即使你写对了我们可能有 时候也看不出来 否则即使你写对了我们可能有 时候也看不出来 以后我讲习题也保证做到这一点以后我讲习题也保证做到这一点 并为上次没做到道歉并为上次没做到道歉 4 证两条无差异曲线不能相交 设两条无差异曲线对应的效用分别为 21 u u 由曲线的单调性假设 若 21 uu 则实为 一条曲线 若 21 uu 假设两曲线相交 设交点为 x 则 21 uxuuxu 可推出 21 uu 存在矛盾 不可能相交 下面两道题是关于边际替代率和中性商品 neutral good 的概念的 边际替代率衡量无差异曲线的斜率 它的概念来源于消费者愿意以什么样的比率用一种商 品换另一种商品 见课本第48页 the slope of an indifference curve is known as the marginal rate of substitution The name comes from the fact that the MRS measures the rate at which the consumer is just willing to substitute one good for the other 替换的方向没有什么追究的意义 如课本上第48页到数第二段说 MRS describes the rate at which the consumer is willing to substitute good 2 for good 1 而在第50页倒数第一 段中说 MRS measures the rate at which the consumer is willing to substitute good 1 for good 2 只要知道MRS衡量无差异曲线的斜率就可以了 注意注意 这个斜率是负值这个斜率是负值 除非存在坏商品除非存在坏商品bads 时时 所以以下两题的答案是 5 一元纸币换五元纸币的边际替代率 5 把一元纸币放在纵轴上 或者 1 5 把一元纸币放在横轴上 6 若商品 1 为中型商品 则它对商品 2 的边际替代率 答案 中性商品是指消费者不关心它的多少有无的商品 见课本第 41 页 商品 2 如果也是中性商品那么该题就无所谓无差异曲线 也无所谓边际替代率了 商品 2 如果不是中性商品 边际替代率是 0 把中性商品放在横轴上 或者 把中性商品放在纵轴上 Homework 2 Sep 16 2003 Chapters 4 and 5 1 写出下列情形的效用函数 画出无差异曲线 并求最优解 1 1 x 一只铅笔 2 x 一对铅笔 2 一杯咖啡加两勺糖一起消费 2 解最优选择 1 2 1212 u x xxx 2 12 uxx 1 Homework Solution 2nd 1 写出下列情形的效用函数 画出无差异曲线 并求最优解 1 1 x 一只铅笔 2 x 一对铅笔 2 一杯咖啡加两勺糖一起消费 Solution 1 1 x is indefinitely the substitution of 2 x and two units of 1 x can bring the same utility as that one unit of 2 x can do With the most simple form of the utility function 1212 1 2 u x xxx and assume that the prices of those two goods are 1 p and 2 p respectively and the total wealth of the consumer is m the problem can be written as 12 1212 1 12 2 1 max 2 s t x x u x xxx p xp xm As for the solutions there may be three possible cases Figure 1 if 12 1 2 pp then all wealth will be spent on 2 x so 2 2 m x p and 1 0 x if 12 1 2 pp then any bundle 12 x x which satisfies the budget constraint 1 12 2 p xp xm is the solution of such problem 2 A cup of coffee is absolutely the complement of two spoons of sugar Let 1 x and 2 x represent these two kinds of goods then we can write the utility function as 1 x 2 x 12 1 2 pp 12 1 2 uxx 12 1 2 pp 2 1212 1 min 2 u x xxx Figure 2 The problem of the consumer is 12 1212 1 12 2 1 max min 2 s t x x u x xxx p xp xm Any solution should satisfies the rule that 12 1 2 xx and the budget constraint So replace 1 x with 2 1 2 x in the budget constraint and we can get 2 12 2 2 m x pp and then 1 12 2 m x pp 2 解最优选择 1 2 1212 u x xxx 2 12 uxx Solution 1 the problem is 12 2 1212 1 12 2 max s t x x u x xxx p xp xm set up the Lagrange Function as 2 121 12 2 Lx xmp xp x where is the Lagrange Multiplier Since u is concave to 12 x x and the budget constraint is linear the first order conditions are sufficient and necessary conditions for the maximum problem The F O C s are 12 1 2 xx 1 x 2 x 12 1 min 2 uxx 12 1 min 2 uxx 3 1 21 20 x xp 1 2 12 0 xp 2 1 12 2 0mp xp x 3 Form 1 and 2 we can get 12 21 2 xp xp or 12 21 2 xp xp replace it into 3 and then get 2 2 3 m x p and then 1 1 2 3 m x p 2 The problem is 12 12 1 12 2 max s t x x uxx p xp xm and establish the Lagrange Function as 121 12 2 Lxxmp xp x Also u is concave to 12 x x and the budget constraint is linear the first order conditions are sufficient and necessary conditions for the maximum problem The F O C s are 1 1 1 0 2 p x 4 2 10p 5 1 12 2 0mp xp x 6 From 4 and 5 we obtain 2 1 1 2 p x p or 22 121 4xpp then replace it into 6 and get 2 2 1 2 12 2 221 4 4 p mp ppm x ppp then 22 1 2 1 1 44 pp xm pp Homework 3 September 23 2003 对下列效用函数推导对商品 1 的需求函数 反需求函数 恩格尔曲线 在图上大致画出价格 提供曲线 收入提供曲线 说明商品一是否正常品 劣质品 一般商品 吉芬商品 商品二 与商品一是替代还是互补关系 1 21 2xxu 2 21 2 minxxu 3 ba xxu 21 4 12 lnuxx Homework 3 September 23 2003 对下列效用函数推导对商品 1 的需求函数 反需求函数 恩格尔曲线 在图上大致画出价格 提供曲线 收入提供曲线 说明商品一是否正常品 劣质品 一般商品 吉芬商品 商品二 与商品一是替代还是互补关系 1 21 2xxu 2 21 2 minxxu 3 ba xxu 21 4 12 lnuxx solutions 1 12 1 122 max 2 xx st p xp xm 商品一的需求函数为 12 1 112 1 12 2 0 2 02 m ifpp p m xifpp p ifpp 右图中 红色线为价格提供曲线 1 x的收入提供曲线 当 12 2pp时 是纵轴 反需求函数是 1 12 121 2 21 2 2 0 2 2 0 mm if x xp m ppif x p pif x 恩格尔曲线 如果 12 2pp 那么恩格尔曲线是 1 1 m x p 0 1 x 2 x 如果 12 2pp 那么恩格尔曲线是一个柱面 1 2 0 2 m x p m 如果 12 2pp 那么恩格尔曲线是 1 0 xm x1 是正常品 normal 相对于劣等品而言 是一般商品 ordinary 相对于 Giffen 品而言 x2 是替代品 其实是完全替代品 2 12 1 122 max min 2 xx st p xp xm x1 需求函数 1 12 2 2 m x pp 其中 12 p p m是自变量 x1 的反需求函数是 2 11 12 2 pmm pifx xp x1 的恩格尔曲线 1 12 2 2 m x pp 其中 m 是自变 量 12 p p是参数 右上图中红色线 211 1 12 2 m xx x p 时 x1 的需求函数是 2 1 1 p x p 当 2 mp 时 x1 的需求函数是 1 1 m x p X1的反需求函数 当 2 mp x1的反需求函数是 2 1 1 p p x 当 2 mp 时 x1的反需求函数 是 1 1 m p x 恩格尔曲线 2 2 1 1 2 1 p ifmp p x m ifmp p 右图中 红线为 m 1 时的 p1 价格提供曲线 x2 m 1 绿线为 m initially the prices of the commodities are 1 p and 2 p respectively and the wealth of the consumer m First assume 1 2 1p pa so that the initial consumption bundle is 1 0 m p Then the prices vary Without loss of generality assume the price of commodity 1 varies from 1 p to 1 p Case 1 1 2 1p pa so that the final bundle chosen by the consumer is 2 0 m p 1 122 p xp xm 1 122 p xp xm 12 uxax 12 uxax 1 1 122 1 mp p xp x p 1 x 2 x 2 Figure 2 Since under the new prices the initial bundle is also exactly affordable the bundle picked by the consumer is 1 12 0 mp p p So the substitution effect for commodity 1 is 1 m p and the income effect for commodity 1 is zero See Figure 3 Figure 3 Now assume initially 1 2 1p pa so that the initial bundle is 2 0 m p then the price of commodity 1 becomes 1 p Analogously the followings hold Case 4 If 1 2 1p pa the final bundle is then the initial bundle Then both the substitution effect and income effect for commodity 1 are zero Figure 6 And then suppose initially 1 2 1p pa then any bundle satisfying 1 122 p xp xm is probably selected assume that 12 x x is initially chosen Case 7 If 1 2 1p pa then the final bundle is 2 0 m p Figure 7 Under the final prices if the initial bundle is just affordable the consumer shall select the bundle 1 122 2 0 p xp x p so the substitution effect for commodity 1 is 1 x and the income effect is zero See Figure 7 2 在征汽油税的案例中 如果税收的返还建立在汽油的初始消费 x 上 而非最终消费量 x 上 消费者的汽油消费 效用会发生什么变化 Figure 8 Solution Assume that gasoline is a normal good Let x denote the consumption of gasoline and y the pt xymtx pxym x y x y x y 12 uxax 12 uxax 1 122 p xp xm 1 122 p xp xm 1 1221 122 p xp xp xp x 1 x 2 x 5 others Without loss of generality normalize the price of y to 1 The initial bundle before the tax is implemented is x y and the bundle after the tax is implemented and returned as a lump sum transfer is x y The initial wealth is m and tax rate is t After the program is implemented the budget constraint of the consumer becomes pt xymtx Clearly under such a budget constraint the initial bundle is just affordable since pxym However the comparative price of x increases so the substitution effect of it requires the reduction of the consumption of it And note the initial bundle is just affordable so that the income effect is zero Therefore the ultimate consumption of gasoline reduces On the other hand the utility level increases just based on the WARP See Figure 8 Figure 9 3 用显示偏好的弱公理说明为什么 Sklutsky 替代效应为负 Solution See Figure 9 for example the price of commodity 1 decreases with the price of commodity 2 fixed then any bundle lying in the new budget set and lying on the left side of the dashed line lies in the initial bundle if such a bundle is chosen by the consumer in the new budget set the WARP is violated So only those lying on the right side of the dashed line can be selected so that the consumption of commodity 1 should increase Therefore the substitution effect is negative 4 w 9 元 小时 R18 小时 m 16 元 cRcRu 求 1 LcR 2 12 w元 求 R和 L Solution The problem of the consumer is max s t R c u R ccR wRcmwR 1 If 9 18 and16wRm set up the Lagrange function as 169 1891789LcRRccRRc With first order conditions 0R 1 6 90c 2 17890Rc 3 From 1 and 2 9Rc Replace them into 3 we can get 89 9 R so 89c Further 8973 18 18 99 LR hours 2 If 12 w then the Lagrange function is 16 12 18 12232 12LcRRccRRc With first order conditions 0R 4 120c 5 232 120Rc 6 From 4 and 5 12Rc Replace them into 6 we can get 29 3 R and then 116c Also 2925 18 33 L hours Homework 5 October 7 2003 1 有一个 consol 每年支付 5 万 永久支付 利率为 r 求现值 Solution First the interest rate here should be taken as net interest rate We assume that the 50thounds yuan is going to be paid at the end of each year from now on According to the definition of present value Present value 1 5 1 5 i i r r 2 假设你 19 岁开始上大学 大学 4 年 每年 4000 元学费 1000 元额外费用 机会成本 10000 元 毕业后每年预期工资 20000 元 利息率 5 可以工作到 60 岁 求上大学的投资收益率 Solution let col PV be the present value of the choice of college attendance hs PV be the present value of the choice of not attending college Then we have 341 04 1 4000100010000 1 20000 tt col tt PVrr 41 0 1 10000 t hs t PVr Then the net return rate r of college attendance is solution to the equation colhs PVPV and we can decide whether or not to attend college by comparing this return rate r with market interest rate 5 3 假设你拥有一瓶红酒 第一年价格为 15 元 瓶 第二年为 25 元 瓶 第三年为 26 元 瓶 第四年每 瓶价格低于 26 元 设利息率为 5 你会何时卖掉你的红酒 Solution A rational individual would maximize his revenue count in present value Let i PV denotes his revenue count in present value from sold that bottle of red wine in the ith year Then we have 1 2 2 3 4 15 25 10 05 23 8 26 10 05 23 6 23 6 PV PV PV PV So it s easy to see that he would sell his red wine in the second year Homework6 October 11 2003 1 一人具有期望效用函数 其对财富的效用为 u cc 他的初始财富为 35 000 元 假如发生火灾则损失 10 000 元 失火的概率为 1 火险的保费率为 1 1 问他买 多少钱的保险 K 在两种状态下的财富各为多少 Solution let U be the expected utility of the individual 12 L is player B s dominate strategy iff and bdfh Therefore we should have and ae cg bdfh 2 As T L is Nash equilibrium we know that given A choosing T B will choose L and vice verse For this to hold we need and bdae 3 Similarly for B R to be Nash equilibrium we need and hfgc Therefore if T L and B R are both Nash equilibrium a h should satisfy and ae gc bdhf 2 在足球射门的例子中 混合策略是什么 个人的支付 payoff 为多少 Solution The payoff of the game is The Penality Taker Left Right Left 1 0 0 1 The Goalkeeper Right 0 1 1 0 Easy to check there is no pure strategy Nash equilibrium in this game Suppose in the equilibrium the mixed strategy of the goalkeeper is p 1 p which should equalize two expected payoffs of the penality taker takertaker 01 1 10 1 leftright UppUpp 0 5p Suppose in the equilibrium the mixed strategy of the penality taker is q 1 q which should equalize two expected payoffs of the goalkeeper keeperkeeper 10 1 01 1 leftright UqqUqq 0 5q Therefore the mixed equilibrium is 0 5 0 5 0 5 0 5 The payoff of each player is taker 0 25 00 25 1 0 25 10 25 00 5U taker 0 25 10 25 00 25 00 25 10 5U Homework 17 November 29 2003 1 在一个纯粹交换的完全竞争的市场上有两个消费者 A 和 B 两种商品 X 和 Y 交换 初始 A 拥有 3 个单位的 X 2 个 B 有 1 个 和 6 个 Y 他们的效用函数分别为 U XA YA XAYA U XB YB XBYB 求 1 市场竞争均衡的 相对 价格和各人的消费量 2 表示帕累托最优分配的契约线的表达式 2 其它条件相同 如果 A 的效用函数为 U XA YA XA YA 求一般均衡价格和契约线 3 其它条件相同 如果 A 的效用函数为 U XA YA Min XA YA 求一般均衡价格和契 约线 Homework 17 November 29 2003 1 在一个纯粹交换的完全竞争的市场上有两个消费者 A 和 B 两种商品 x 和 y 交换初始 A 拥有 3 个单位的 x 2 个 y B 有 1 个 x 和 6 个 y 他们 的效用函数分别为 U xA yA xAyA U xB yB xByB 求 1 市场竞争均衡的 相对 价格和各人的消费量 2 表示帕累托最优分配的契约线的表达式 Solution 1 Normalize the price of commodity y to be 1 and assume the comparative price of commodity x to be x p In equilibrium consumer A maximizes her utility max s t 32 AA AA xy xAAx x y p xyp By setting up the Lagrange function as 32 AAAAxxAA Lx ypp xy the F O C s can be calculated as 0 0 320 A AxA A A AA A A xxAA A L yp x L x y L pp xy which can be rearranged as 3232 22 xx AAAxA x pp xyp x p