用Jacobi 迭代法,Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组,讨论收敛性.doc

数值分析实验指导实验六 解线性方程组的迭代法一、实验目标1、 理解求解线性方程组的两种迭代法的求解思想：Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法。2、 掌握迭代法收敛的条件，并会判断Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。3、 学会编程实现Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，掌握终止迭代的技术（予给的迭代次数）与发散性判断的方法。4、 体会初始解 X，松弛因子的选取，对计算结果的影响。二、实验问题解线性方程组 (1) ;(2) ;(3)，精确解：X= ( 1, -1, 0, 1, 2, 0, 3, 1, -1, 2 ) . (4) 对称正定阵系数阵 精确解：X = ( 1, -1, 0, 2, 1, -1, 0, 2 ).(5) 三对角形系数矩阵 精确解：X= ( 2, 1, -3, 0, 1, -2, 3, 0, 1, -1 ).三、实验要求1、试用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组(1)，(2)，讨论收敛性。2、编写Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法解线性方程组的一般程序，对不同精度要求，如，求解线性方程组(1)，(2)，由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢。3、使用SOR方法求解方程组(3)，(4)，(5)，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，观察松弛因子的不同取法对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者。附录一：数值分析实验报告（模板）【实验课题】 用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组，讨论收敛性 【实验目标】1、理解求解线性方程组的Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法的求解思想。2、了解迭代法收敛的条件，会判断Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。3、学会编程实现Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，掌握终止迭代的技术（ （予给的迭代次数）与发散性判断的方法。【理论概述与算法描述】1. 雅可比迭代法 对于矩阵A，A=D-L-U，令M=D，则A=D-N，则雅克比迭代法=B+f，其中B-I-1/DA=D-1(L+U)=J,，由雅可比迭代法得分量计算公式。计=,所以,因此雅可比迭代法得计算公式 i=1,2,3.,k=0,1,2.2. 高斯塞德尔迭代法令M=D-L,A=M-N,得B=(D-L)-1U=G,G为高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵，得到，所以高斯塞德尔计算公式为，=（），i=1,2,3.,k=0,1,2.【实验问题】用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法求解线性方程组，判断收敛性 【实验过程与结果】1. 理解两种迭代法的计算思想，掌握方法推到计算公式2. 用matlab编程实现3. 对实验结果进行分析，比较两种方法，并判断收敛性【结果分析、讨论与结论】两种方法得到的结果一样，雅可比k = 17x = -0.1348 -1.0829 3.92032. 高斯塞德尔 k = 17x = -0.1348 -1.08293.9203【附程序】1. 雅可比程序算法 function x=jacobi(A,b,x0,tol)n=length(b);x=zeros(n,1);x=x0+1;k=0;while norm(x-x0)tol if k20 disp(jacobi fails) break; end k=k+1; for i=1:n x0=x; x(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x0+A(i,i)*x(i)/A(i,i); end endk2. 高斯塞德尔程序算法 function x=gaussseided(A,b,x0,tol)n=length(b);x=zeros(n,1);x=x0+1;k=0;while norm(x-x0)tol if k20 disp(gaussseided fails:) break; end k=k+1; for i=1:n x0=x; x(i)=(b(i)-A(i,1:(i-1)*x(1:(i-1)-A(i,(i+1):n)*x(i+1):n)/A(i,i); end endk3. 主函数 A=1 0.4 0.4;0.