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恒成立问题常见类型及解法 1 5 不等式恒成立问题高考命题中 不等式恒成立问题往往结合函数与导数同题考查 单独考查的较少 结合函数与导数的题目难度大 分值高 要引起我们的足够重视 6 不等式与其他知识的结合 细解命题特点 2 转化思想 解答不等式恒成立问题求解不等式恒成立问题的常用方法 1 分离参数法 通过分离参数 转化为不含参数的函数的最值问题求解 2 函数思想 转化为求含参数的函数的最值问题求解 3 数形结合思想 转化为两熟悉函数图象间的上下关系求解 3 解答过程中应注意的问题 1 分离参数时应注意系数符号对不等号的影响 2 应用函数方法求解时 所使用的函数一般为二次函数 3 应用数形结合法求解时 应注意图象最高点或最低点处函数值的大小关系 4 在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题 这类问题求解的基本思路是 根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化 正确选用函数法 最小值法 数形结合法等解题方法求解 解题过程本身渗透着换元 化归 数形结合 函数与方程等思想方法 另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数 二次函数的图象和性质 5 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型 1 一次函数型 2 二次函数型 3 变量分离型 4 利用函数的性质求解 5 直接根据函数的图象求解 6 反证法求解 下面分别举例示之 6 一 一次函数型 7 8 二 二次函数型 9 10 11 三 变量分离型 理论阐释 若在等式或不等式中出现两个变量 其中一个变量的范围已知 另一个变量的范围为所求 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边 则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解 12 13 14 理论阐释 若函数f x 是奇 偶 函数 则对一切定义域中的x f x f x f x f x 恒成立 若函数y f x 的周期为T 则对一切定义域中的x 有f x f x T 恒成立 若函数图象平移前后互相重合 则函数解析式相等 四 利用函数的性质解决恒成立问题 15 16 17 五 把不等式恒成立问题转化为函数图象问题 理论阐释 若把不等式进行合理的变形后 能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象 这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为利用函数图象解决的问题 然后从图象中寻找条件 就能解决问题 18 19 20 21 六 采用逆向思维 考虑使用反证法 理论阐释 恒成立问题有时候从正面很难入手 这时如果考虑问题的反面 有时会有 柳暗花明又一村 的效果 所谓 正难则反 就是这个道理 22 23 24 典例 设函数对任意x 1 f mx mf x 0恒成立 则实数m的取值范围是 解题指导 转化为具体不等式后 再通分转化为整式不等式 最后分类讨论 规范解答 x 1 f mx mf x 0 即mx 2m2x2 1 m2 0 25 由f mx mf x 0在x 1 上恒成立知 mx 2m2x2 1 m2 0在x 1 上恒成立 m 0 当m 0时 只要2m2x2 1 m2 0恒成立即可 即 x 1 26 m2 1 m 1 当m 0时 只要2m2x2 1 m2 0恒成立即可 即 x 1 不恒成立 综上 实数m的取值范围为 1 答案 1 27 7 2010 山东高考 若对任意x 0 恒成立 则a的取值范围是 解题提示 将恒成立问题转化为最值问题 解析 因为x 0 所以 当且仅当x 1时取等号 所以有即的最大值为故a 答案 28 方法技巧 不等式恒成立问题的解题方法1 不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系 解决不等式恒成立问题 通常先分离参数 再转化为最值问题来解 c f x 恒成立 c f x max c f x 恒成立 c f x min 2 高次函数或非基本初等函数的最值问题 通常采用导数法解决 29 例3 设函数f x ax2 2x 2 对于满足1 x 4的一切x值都有f x 0 求实数a的取值范围 解题指南 解答本题可以有两条途径 1 分a 0 a 0 a 0三种情况 求出f x 在 1 4 上的最小值f x min 再令f x min 0 从而求出a的取值范围 2 将参数a分离得然后求的最大值即可 30 规范解答 方法一 当a 0时 由f x 0 x 1 4 得 或或 或或 31 当a 0时 解得a 当a 0时 f x 2x 2 f 1 0 f 4 6 不合题意 综上可得 实数a的取值范围是方法二 由f x 0 即ax2 2x 2 0 x 1 4 得在 1 4 上恒成立 令 g x max g 2 所以要使f x 0在 1 4 上恒成立 只要a 即可 32 反思 感悟 1 一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化为二次函数图象和性质的应用问题求解 但要注意讨论 2 关于不等式的恒成立问题 能用分离参数法 尽量用 因为该法可以避开频繁地对参数的讨论 33 4 2010 新课标全国卷 设函数f x ex 1 x ax2 1 若a 0 求f x 的单调区间 2 若当x 0时f x 0 求a的取值范围 解题提示 在第 1 问中先把a 0代入 然后通过求导判断导数正负求得单调区间 解决第 2 问的关键是从当x 0时f x 0入手 结合函数的解析式联合求解 通过判断导数的正负找到分界点进行讨论 34 解析 1 a 0时 f x ex 1 x f x ex 1 当x 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 故f x 在 0 单调减少 在 0 单调增加 2 f x ex 1 2ax 由 1 知ex 1 x 当且仅当x 0时等号成立 故f x x 2ax 1 2a x 从而当1 2a 0 即a 时 f x 0 x 0 而f 0 0 于是当x 0时 f x 0 由ex 1 x x 0 可得e x 1 x x 0 35 从而当a 时 f x ex 1 2a e