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在量子力学里,WKB近似是一种半经典计算方法,可以用来解析薛定谔方程。乔治伽莫夫使用这方法,首先正确地解释了阿尔法衰变。WKB近似先将量子系统的波函数,重新打造为一个指数函数。然后,半经典展开。再假设波幅或相位的变化很慢。通过一番运算,就会得到波函数的近似解。一般而言,WKB近似专门计算一种特殊微分方程的近似解。这种特殊微分方程的最高阶导数项目的系数是一个微小参数。给予一个微分方程,形式为。假设解答的形式可以展开为一个渐近级数(asymptotic series):。将这据理思考过的猜想代入微分方程。然后约去相同指数函数因子。又取的极限。这样,就可以从开始,一个一个的解析这渐近级数的每一个项目。通常的渐近级数会发散(不收敛)。当大于某值后,一般项目会开始增加。因此WKB近似法造成的最小误差,约是最后包括项目的数量级。解析一个量子系统的薛定谔方程,WKB近似涉及以下步骤:1. 将波函数重新打造为一个指数函数;2. 将这指数函数代入薛定谔方程;3. 展开指数函数的参数为约化普朗克常数的幂级数;4. 匹配 约化普朗克常数 同次幂 的项目,会得到一组方程;5. 解析这些方程,就会得到波函数的近似。一维不含时薛定谔方程为;其中,是约化普朗克常数,是质量,是坐标,是位势,是能量,是波函数。稍加编排,重写为。(1)假设波函数的形式为另外一个函数的指数(函数与作用量有很亲密的关系):。代入方程 (1) ,;(2)其中,表示随着的导数。可以分为实值部分与虚值部分。设定两个函数与:。注意到波函数的波幅是,相位是。将的代表式代入方程 (2) ,分别匹配实值部分、虚值部分,可以得到两个方程:,(3)。(4)将与展开为的幂级数:,。将两个幂级数代入方程 (3) 与 (4)。的零次幂项目给出:,。假若波幅变化地足够慢于相位(),那么,我们可以设定,。只有当的时候,这方程才成立。经典运动只会允许这种状况发生。更精确一点,的一次幂项目给出:,。所以,。波函数的波幅是。定义动量,则波函数的近似为;其中,和是常数,是一个任意参考点的坐标。换到另一方面,假若相位变化地足够慢于波幅(),那么,我们可以设定,。只有当的时候,这方程才成立。经典运动不会允许这种状况发生。只有在量子系统里,才会发生这种状况,称为量子隧穿效应。类似地计算,可以求得波函数的近似为;其中,显而易见地,我们可以从分母观察出来,在经典转向点,这两个近似方程 (5) 和 (6) 会发散,无法表示出物理事实。我们必须正确地找到波函数在经典转向点的近似解答。设定是经典运动允许区域。在这区域内,波函数呈振动形式。其它区域和是经典运动不允许区域,波函数呈指数递减形式。假设在经典转向点附近,位势足够的光滑,可以近似为线性函数。更详细地说,在点附近,将展开为一个幂级数:;其中,是常数值系数。取至一阶,方程 (1) 变为。这微分方程称为艾里方程,解答是艾里函数:
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