江西省宜中学高中数学《2.7向量应用举例》导学案 新人教版必修4.doc

2.7 向量应用举例 一、课前自主导学【学习目标】1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；2. 会用向量知识解决几何问题；3. .掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现学科与学科之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题【重点、难点】1.如何将几何等实际问题化归为向量问题2.将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.【温故而知新】预习填空1.向量在平面几何中的应用(1) 证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常用向量平行 (共线)的条件： .（2）证明线段的垂直问题，判断两直线是否垂直等，常运用向量垂直的条件：（3）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式2.向量在物理中的应用问题1：向量与力有什么相同点和不同点？结论：向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一 点 的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量 平移 到同一作用点上.问题2：向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？结论：速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减运算，而运动的叠加也用到向量的合成.问题3：向量的数量积与功、动量有什么联系？结论：物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负.在解决问题时要注意数形结【我的困惑】二、课堂互动探究【例1】 如图1,ad、be、cf是abc的三条高.求证:ad、be、cf相交于一点证明:设be、cf相交于h,并设=b,=c,=h,则=h-b,=h-c,=c-b.因为,所以(h-b)c=0,(h-c)b=0,即(h-b)c=(h-c)b. 图1 化简得h(c-b)=0.所以.所以ah与ad共线,即ad、be、cf相交于一点h.【例2】如图2,已知在等腰abc中,bb、cc是两腰上的中线,且bbcc,求顶角a的余弦值.解:建立如图2所示的平面直角坐标系,取a(0,a),c(c,0),则b(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0).因为bb、cc都是中线,所以=(+)=(2c,0)+(c,a)=(),同理=().因为bbcc,所以 图2=0,.所以= 【例3】如图所示，在等腰直角三角形abc中，acb90，cacb，d为bc的中点，e是ab上的一点，且ae2eb.求证：adce.证明：()() |2|2|cos 90|2cos 45|2cos 45 |2|20，即adce. 【例4】在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?解：这个日常生活问题可以抽象为如图4所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚f、g、三者之间的关系(其中f为f1、f2的合力),就得到了问题的数学解释。不妨设|f1|=|f2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道图4【教学笔记】通过上面的式子,我们发现:当由0到180逐渐变大时,由0到90逐渐变大,cos的值由大逐渐变小,因此|f1|由小逐渐变大,即f1,f2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力【例5】1.作用于同一点的两个力f1和f2，|f1|=5,|f2|=3,夹角为60，则f1+f2的大小为_7_.2.一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速2.解：.如图5所示,设表示船垂直于对岸的速度,则+=,知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为42=2(h),所以在rtabc中,|=2 km/h,|=82=4 km/h,则|bc|=2 km/h.答:河水的流速为2 km/h. 图 5【我的收获】三、课后知能检测1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过小时,该船实际航程为( b )a.2 km b.6 km c. km d.8 km2. 如图6,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 n;若在图示坐标系中,用坐标表示合力f,则f=_. 图63.一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30角,求水流速度与船的实际速度. 解：如图所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,aoc=30,|=5 km/h.因为oacb为矩形,所以|=|cot30=|cot30=538.66 km/h,|=10 km/h.【教学笔记】答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.4 某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.解:如图8所示.设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v1)=v-v1.令=-v1,=-2v1,实际风速为v.+=,=v-v1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.+=,=v-2v1,这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感受到的风速.由题意得dca=45,dbab,ab=bc,dca为等腰三角形,da=dc,dac=dca=45.da=dc=bc=20.|v|=20 km/h. 图8 答:实际的风速v的大小是202 km/h,方向是东南方向.5. 如图9,已知ac为o的一条直径,abc是圆周角.求证:abc=90证明:如图9.设=a,=b,则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.因为=(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以.由此,得abc=90. 图9 6. 如图10所示,已知矩形abcd,ac是对角线,e是ac的中点,过点e作mn交ad于点m,