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第十一章 无穷级数 1 常数项级数的概念和性质1、 设级数，则其和为（ ） A B C D 2、 若，则级数（ ） A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0 C 发散 D 可能收敛也可能发散3 、若级数收敛于S，则级数（ ） A 收敛于2S B收敛于2S+ C收敛于2S- D发散4、若，,求 的值解： 所以5、若级数收敛，问数列是否有界 解：由于，故收敛数列必有界。6、若，求级数的值 解： 故7、求的值 解：故=8、求 的和 ( 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、 判定级数 的敛散性 解：由于,而级数发散，故发散3、 判定敛散性 收敛; 1, 发散4、 判定敛散性 (收敛); 二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、 判定级数的敛散性 解：1,所以发散6、 判定级数的敛散性 解：，所以收敛 7、 收敛 8、 ， 收敛三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？7、 （绝对收敛）10、 （条件收敛）四、判定是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛解：|，用比值判别法知,所以绝对收敛 3 幂级数1、设幂级数在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）A 绝对收敛 B 条件收敛 C发散 D 可能收敛也可能发散2、级数的收敛域 （0，43、 求幂级数的收敛半径 （）4、若级数在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是否绝对收敛 （绝对收敛 ）5、求幂级数的收敛域解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收 敛域为（-7，-3）6、求幂级数的收敛域解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以 收敛域为（-3，3 7、求幂级数的和函数 （ -1x1）8、求幂级数的和函数解： = （-1x-1） 4 函数展开成幂级数1、 将函数f(x)=展开成x的幂级数解：f(x)=由展开式可得f(x)= x2、 将函数f(x)=展开成x的幂级数解： 而= x两边积分得 x3、将函数f(x)=展开成x的幂级数解：f(x)=4、将函数f(x)=展开成x-5的幂级数解： f(x)= = x5、解：= x 5函数幂级数展开式的应用1、 计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001）解：在lnx的幂级数展开式中令x=2 ln2=1- 考虑误差范围可求得ln22、 计算定积分的进似值（要求误差不超过0.0001）解：= = 再考虑误差范围可求得3、 计算积分的进似值，（要求误差不超过0.0001） 再考虑误差范围可求得 7 傅里叶级数1、 设f(x)是周期为的周期函数，它在-上的表达式为f(x)= 试将f(x)展开成傅立叶级数解： b=再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式2、 将函数展开成正弦级数 3、 将函数展开成正弦级数和余弦级数 8 一般周期函数的傅立叶级数1、 将f(x)=2+|x|(-1展开成以2为周期的傅立叶级数后求的值 解：展开f(x)= 代x=0得 =+ 得 2、 将f(x)=x-1(0)展开成周期为4的余弦级数解： f(x)= (0)3、 将f(x)=x-1(0)展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8)解：s(8)=s(0)=4、设f(x)=，S(x)= ,其中=2求S(解：S(=S(= 第十一章 自测题一选择题:（40分）1、下列级数中,收敛的是( ). (A)； (B)； (C)； (D).2、下列级数中,收敛的是( ). (A) ； (B)； (C)； (D).3、下列级数中,收敛的是( ) (A)； (B)； (C) ； (D).4、部分和数列有界是正项级数收敛的( ) (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件5、设为非零常数,则当( )时,级数收敛 . (A)； (B)； (C)； (D)6、幂级数的收敛区域是( ). (A) ；(B) ； (C) （0,2） (D) 0,27、是级数收敛的( ) (A)充分条件； (B)必要条件； (C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .8、幂级数的收敛区间是( ) (A) ； (B) ； (C) ； (D) .二、 （8分）判别下列级数的收敛性 1、； 2、三、（6分）判别级数的敛散性 .四、（6分）求极限 . 五（8分）求下列幂级数的收敛区间: 1、； 2、.六（6分）求幂级数的和函数 . 七（6分）求数项级数的和 . 八（6分）试将函数展开成.九（6分）设是周期为的函数,它在上的表达式为 将展开成傅立叶级数 . 十（8分）将函数分别展开成正弦级数和余弦级数 . 自测题