江西师大附中高二数学上学期期中试题 理.doc_第1页
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数学(理)期中考试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.过点倾斜角的余弦值是的直线方程为(b)a3x5y100 b3x4y80 c3x4y100 d3x4y802.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率是,则该双曲线的渐近线方程是(c)a bcd3.若圆c的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和x轴相切,则该圆的标准方程是(b)abc d4.已知椭圆,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于(c)a1 b5 c8 d105.如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形,则实数k的值为( d )ab0cd0或6.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为( a )a b c d27.动点p到a(0,2)的距离比它到x轴的距离大2,则动点p的轨迹方程是(d)a b或 c d或8.已知双曲线的两个焦点为f1、f2,p是此双曲线上的一点,且,则该双曲线的方程是(c)a b c d【解析】设双曲线的方程为=1.由题意|pf1|pf2|=2a,|pf1|2+|pf2|2=.又|pf1|pf2|=2,a=2,b=1.故双曲线方程为y2=1.9.已知双曲线c:,直线l:,直线l与双曲线c有且只有一个公共点,则m的所有取值个数是( )aa1 b2 c3 d410.设椭圆的离心率为,右焦点为,方程的两个实根分别为和,则点( )ba必在圆上b必在圆内c必在圆外d以上三种情形都有可能11.已知点及抛物线上一动点,则的最小值为( )aa1 b2 c4 d512.如图,在等腰梯形abcd中,ab/cd,且ab=2cd,设dab=,以a,b为焦点且过点d的双曲线的离心率为,以c,d为焦点且过点a的椭圆的离心率为,设,则、的大致图像是( )d【解析】设,易知,在中,由余弦定理得,由双曲线和椭圆的定义知,且,故选d.【另解】设双曲线焦距为,当时,若,则,又,;当时,,因而双曲线开口越大,故离心率也越趋于,观察的大致图像,只有d的才符合.二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.一张坐标纸对折一次后,点与点重叠,则折痕所在直线与两坐标轴围成的面积是_.【答案】9. 提示:可解得对称轴方程为.14.如果圆与圆总有公共点,则实数的取值范围是_.15.已知椭圆c:的焦点为,若点p在椭圆上,且满足(其中o为坐标原点),则称点p为“点”,那么该椭圆上“点”的个数是_.416.已知抛物线方程为,过作抛物线的弦,.若,则原点o到直线距离的最大值为_.【解析】依题意可设,由apaq知0,可得y1y22(y1y2)200.设pq直线方程为xmyn, 代入y24x,结合韦达定理与上式得n2m5,所以直线方程为x(y2)m5,知此直线过定点,此时,原点o与点b的距离即为所求最大值,|ob|,故选d注:此题有一般性结论,即“抛物线,过作抛物线的弦,.若,则直线过定点”.三、解答题:本大题共6个题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本题满分10分)已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求直线和曲线的普通方程;(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的取值范围.【答案】(1)直线的普通方程为:;曲线的普通方程为:(2)点到直线的距离的取值范围是.18.(本题满分12分)若直线的方程为. (1)求证:无论实数为何值时,直线总经过第一象限;(2)为使直线不经过第二象限,求实数a在取值范围.【答案】(1)经过定点,(2).19.(本题满分12分)已知椭圆经过点,离心率为,左右焦点分别为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆交于a、b两点,与以为直径的圆交于c、d两点,且满足,求直线的方程.【解析】(1)由题设知,解得 椭圆的方程为1.(2)由题设,以f1f2为直径的圆的方程为x2y21,圆心(0,0)到直线l的距离d.由d1,得|m|,(*)|cd|22.设a(x1,y1),b(x2,y2),由,得x2mxm230,x1x2m,x1x2m23,|ab|.由,得1,解得m,满足(*)直线l的方程为yx或yx.20.(本题满分12分)已知抛物线c顶点在原点,焦点f在x轴上,抛物线c上的点到f的距离等于2.(1)求抛物线c的方程;(2)若不与x轴垂直的直线与抛物线c交于a、b两点,且线段ab的垂直平分线恰好过点,求证:线段ab中点的横坐标为定值.【解析】(1)由题意设抛物线方程为,其准线方程为,到焦点的距离等于a到其准线的距离此抛物线的方程为.(2)证明:设线段ab中点的坐标为n(x0,y0),a(x1,y1),b(x2,y2),则直线mn的斜率为,因为ab不垂直于x轴,所以直线ab的斜率为,直线ab的方程为yy0(xx0),联立方程消去x,得,所以y1y2,因为n为ab中点,所以,即,所以x02,即线段ab中点的横坐标为定值2.另证:设a(x1,y1),b(x2,y2),则由点差法得,将代入 ,得.21.(本题满分12分)已知点和直线,作垂足为q,且.(1)求点p的轨迹方程;(2)过点c的直线与点p的轨迹交于两点,,点,若的面积为,求直线的方程.【解析】(1) 由已知知.所以设,代入上式得平方整理得另解:由第二定义知,点p的轨迹是以c为焦点,为相应准线的双曲线且,又焦准距为,解得.(2)由题意可知设直线的斜率不为零,且恰为双曲线的右焦点,设直线的方程为,由 若,则直线与双曲线只有一个交点,这与矛盾,故.由韦达定理可得 即 故直线的方程为.22.(本题满分12分)已知椭圆的长轴两端点分别为、,是椭圆上的动点,以为一边在x轴下方作矩形,使,交于点,交于点.xoabpc图2efdxyoabpcdef图1(1)如图1,若,且为椭圆上顶点时,的面积为12,原点到直线的距离为,求椭圆的方程;(2)如图2,若,试探究、能否成

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