江西师大附中高二数学上学期期中试题 理.doc

数学（理）期中考试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.过点倾斜角的余弦值是的直线方程为(b)a3x5y100 b3x4y80 c3x4y100 d3x4y802.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率是，则该双曲线的渐近线方程是(c)a bcd3.若圆c的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和x轴相切,则该圆的标准方程是(b)abc d4.已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于(c)a1 b5 c8 d105.如果不等式组表示的平面区域是一个直角三角形，则实数k的值为( d )ab0cd0或6.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为( a )a b c d27.动点p到a(0，2)的距离比它到x轴的距离大2，则动点p的轨迹方程是(d)a b或 c d或8.已知双曲线的两个焦点为f1、f2，p是此双曲线上的一点，且，则该双曲线的方程是(c)a b c d【解析】设双曲线的方程为=1.由题意|pf1|pf2|=2a，|pf1|2+|pf2|2=.又|pf1|pf2|=2，a=2，b=1.故双曲线方程为y2=1.9.已知双曲线c:，直线l:，直线l与双曲线c有且只有一个公共点，则m的所有取值个数是( )aa1 b2 c3 d410.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点( )ba必在圆上b必在圆内c必在圆外d以上三种情形都有可能11.已知点及抛物线上一动点，则的最小值为( )aa1 b2 c4 d512.如图，在等腰梯形abcd中，ab/cd，且ab=2cd，设dab=，以a，b为焦点且过点d的双曲线的离心率为，以c，d为焦点且过点a的椭圆的离心率为，设，则、的大致图像是( )d【解析】设，易知，在中，由余弦定理得，由双曲线和椭圆的定义知，且，故选d.【另解】设双曲线焦距为，当时，若，则，又，；当时，,因而双曲线开口越大，故离心率也越趋于,观察的大致图像，只有d的才符合.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.一张坐标纸对折一次后，点与点重叠，则折痕所在直线与两坐标轴围成的面积是_.【答案】9. 提示:可解得对称轴方程为.14.如果圆与圆总有公共点，则实数的取值范围是_.15.已知椭圆c:的焦点为，若点p在椭圆上，且满足(其中o为坐标原点)，则称点p为“点”，那么该椭圆上“点”的个数是_.416.已知抛物线方程为，过作抛物线的弦,.若，则原点o到直线距离的最大值为_.【解析】依题意可设，由apaq知0，可得y1y22(y1y2)200.设pq直线方程为xmyn, 代入y24x，结合韦达定理与上式得n2m5，所以直线方程为x(y2)m5，知此直线过定点，此时，原点o与点b的距离即为所求最大值，|ob|，故选d注：此题有一般性结论，即“抛物线，过作抛物线的弦,.若，则直线过定点”.三、解答题：本大题共6个题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（本题满分10分）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为(为参数).（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.【答案】（1）直线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）点到直线的距离的取值范围是.18.（本题满分12分）若直线的方程为. （1）求证：无论实数为何值时，直线总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求实数a在取值范围.【答案】（1）经过定点，（2）.19.（本题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于a、b两点，与以为直径的圆交于c、d两点，且满足，求直线的方程.【解析】(1)由题设知，解得 椭圆的方程为1.(2)由题设，以f1f2为直径的圆的方程为x2y21，圆心(0，0)到直线l的距离d.由d1，得|m|，(*)|cd|22.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，由，得x2mxm230，x1x2m，x1x2m23，|ab|.由，得1，解得m，满足(*)直线l的方程为yx或yx.20.（本题满分12分）已知抛物线c顶点在原点，焦点f在x轴上，抛物线c上的点到f的距离等于2.（1）求抛物线c的方程；（2）若不与x轴垂直的直线与抛物线c交于a、b两点，且线段ab的垂直平分线恰好过点，求证：线段ab中点的横坐标为定值.【解析】(1)由题意设抛物线方程为，其准线方程为，到焦点的距离等于a到其准线的距离此抛物线的方程为.(2)证明：设线段ab中点的坐标为n(x0，y0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则直线mn的斜率为，因为ab不垂直于x轴，所以直线ab的斜率为，直线ab的方程为yy0(xx0)，联立方程消去x，得,所以y1y2，因为n为ab中点，所以，即,所以x02，即线段ab中点的横坐标为定值2.另证：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则由点差法得，将代入 ，得.21.（本题满分12分）已知点和直线，作垂足为q，且.（1）求点p的轨迹方程；（2）过点c的直线与点p的轨迹交于两点,，点，若的面积为，求直线的方程.【解析】(1) 由已知知.所以设，代入上式得平方整理得另解：由第二定义知，点p的轨迹是以c为焦点，为相应准线的双曲线且，又焦准距为，解得.（2）由题意可知设直线的斜率不为零，且恰为双曲线的右焦点，设直线的方程为，由 若，则直线与双曲线只有一个交点，这与矛盾，故.由韦达定理可得 即 故直线的方程为.22.（本题满分12分）已知椭圆的长轴两端点分别为、，是椭圆上的动点，以为一边在x轴下方作矩形，使，交于点，交于点.xoabpc图2efdxyoabpcdef图1（1）如图1，若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，原点到直线的距离为，求椭圆的方程；（2）如图2，若，试探究、能否成