2015年长郡中学理实班自主招生考试数学试卷.doc

2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分1（5分）方程（x2+x1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A5个B4个C3个D2个2（5分）如图，已知等边ABC外有一点P，P落在BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3h1=6，那么等边ABC的面积为（）A4B8C9D123（5分）若1a0，则一定是（）A最小，a3最大B最小，a最大C最小，a最大D最小，最大4（5分）如图，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）AAEAFBEF：AF=：1CAF2=FHFEDFB：FC=HB：EC5（5分）在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知BDF的面积为10，BCF的面积为20，CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A22B24C36D446（5分）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A30B35C56D448二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分7（5分）若4sin2A4sinAcosA+cos2A=0，则tanA= 8（5分）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流则经过 小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形9（5分）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是 10（5分）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm11（5分）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是 12（5分）设C1，C2，C3，为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，则（1）圆C2的半径长等于 （用a表示）；（2）圆Ck的半径为 （k为正整数，用a表示，不必证明）三、解答题：本题有4个小题，共60分13（12分）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OCAB（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求BCE的面积14（14分）已知抛物线y=x2+2px+2p2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使ABM面积达到最小15（16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值16（18分）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x1经过这两个顶点中的一个（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点若点P位于M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；过点C作M的切线交AD于F点，当PFAB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由2015年湖南省长沙市长郡中学理实班自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题有6小题，每小题5分，共30分1（5分）（2015天心区校级自主招生）方程（x2+x1）x+3=1的所有整数解的个数是（）A5个B4个C3个D2个【分析】方程的右边是1，有三种可能，需要分类讨论第1种可能：指数为0，底数不为0；第2种可能：底数为1；第3种可能：底数为1，指数为偶数【解答】解：（1）当x+3=0，x2+x10时，解得x=3；（2）当x2+x1=1时，解得x=2或1（3）当x2+x1=1，x+3为偶数时，解得x=1因而原方程所有整数解是3，2，1，1共4个故选B【点评】本题考查了：a0=1（a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于1本题容易遗漏第3种可能情况而导致误选C，需特别注意2（5分）（2015天心区校级自主招生）如图，已知等边ABC外有一点P，P落在BAC内，设P到BC、CA、AB的距离分别为h1，h2，h3，满足h2+h3h1=6，那么等边ABC的面积为（）A4B8C9D12【分析】先设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，根据SPAB+SPACSPCB=SCAB，得出ah1+ah2ah3=，再根据h2+h3h1=6，求得a=4即可得到等边ABC的面积【解答】解：设等边三角形ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，则SPAB+SPACSPCB=SCAB，即ah1+ah2ah3=，a（h2+h3h1）=，h2+h3h1=6，a=4，SCAB=12，故选（D）【点评】本题主要考查了等边三角形面积的计算，等边三角形高线长与边长之间的关系根据等边三角形的高计算等边三角形的面积是解决问题的关键3（5分）（2015天心区校级自主招生）若1a0，则一定是（）A最小，a3最大B最小，a最大C最小，a最大D最小，最大【分析】在所给范围内选择一个具体的数，代入后比较即可【解答】解：若1a0，a可取0.001，那么a3=0.000 000 001，=0.1，=1000，最小，a3最大，故选A【点评】考查实数的大小比较；选择一个合适的具体的数，代入所给代数式比较，可以简化比较的步骤4（5分）（2001黑龙江）如图，将ADE绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得ABF，连接EF交AB于H，则下列结论错误的是（）AAEAFBEF：AF=：1CAF2=FHFEDFB：FC=HB：EC【分析】由旋转得到AFBAED，根据相似三角对应边的比等于相似比，即可求得【解答】解：由题意知，AFBAEDAF=AE，FAB=EAD，FAB+BAE=EAD+BAE=BAD=90AEAF，所以A正确；AEF是等腰直角三角形，有EF：AF=：1，所以B正确；HBEC，FBHFCE，FB：FC=HB：EC，所以D正确AEF与AHF不相似，AF2=FHFE不正确故选：C【点评】本题利用了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解5（5分）（2015天心区校级自主招生）在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知BDF的面积为10，BCF的面积为20，CEF的面积为16，则四边形区域ADFE的面积等于（）A22B24C36D44【分析】可设SADF=m，根据题中条件可得出三角形的面积与边长之间的关系，进而用m表示出AEF，求出m的值，进而可得四边形的面积【解答】解：如图，连AF，设SADF=m，SBDF：SBCF=10：20=1：2=DF：CF，则有2m=SAEF+SEFC，SAEF=2m16，而SBFC：SEFC=20：16=5：4=BF：EF，又SABF：SAEF=BF：EF=5：4，而SABF=m+SBDF=m+10，SABF：SAEF=BF：EF=5：4=（m+10）：（2m16），解得m=20SAEF=22016=24，SADEF=SAEF+SADF=24+20=44故选D【点评】本题主要考查了三角形的面积计算问题，能够利用三角形的性质进行一些简单的计算6（5分）（2015天心区校级自主招生）某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（）A30B35C56D448【分析】此题可运用排列组合解答，15人，每2人一班，轮流值班，则有C152=105种组合，一天是24小时，8小时1班，24除以3=每天3个班 再用105除以3=35天【解答】解：由已知护士15人，每2人一班，轮流值班，得：有C152=105种组合，又已知每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，所以最长需要的天数是105（248）=35（天）故选：B【点评】此题考查的知识点是整数问题的综合运用，关键是先求出15人，每2人一班有多少种组合，再由每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班求出最长需要的天数二、填空题：本题有6小题，每小题5分，共30分7（5分）（2015天心区校级自主招生）若4sin2A4sinAcosA+cos2A=0，则tanA=【分析】先解一元二次方程，再根据锐角三角函数的定义得出即可【解答】解：4sin2A4sinAcosA+cos2A=0，（2sinAcosA）2=0，2sinAcosA=0，2sinA=cosA，tanA=，故答案为：【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和解一元二次方程等知识点，比较简单，注意锐角三角函数定义的掌握8（5分）（2015天心区校级自主招生）在某海防观测站的正东方向12海浬处有A、B两艘船相会之后，A船以每小时12海浬的速度往南航行，B船则以每小时3海浬的速度向北漂流则经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形【分析】根据题意画出图形，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，在RtOBC、RtOCA和RtABO中分别应用勾股定理，即可求出x的值【解答】解：如下图所示，设经过x小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形，则BC=3x，AC=12x，在RtOBC中，根据勾股定理得：122+（3x）2=OB2；在RtOCA中，根据勾股定理得：122+（12x）2=AO2；在RtABO中，根据勾股定理得：OB2+AO2=AB2=（15x）2；122+（3x）2+122+（12x）2=（15x）2，解得：x=2或2（舍去）即经过2小时后，观测站及A、B两船恰成一个直角三角形故答案为：2【点评】本题考查勾股定理的实际应用，难度适中，先根据题意画出图形是解题关键9（5分）（2015天心区校级自主招生）如图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A，B，C三点的拋物线对应的函数关系式是y=x2x+【分析】根据矩形的性质，利用矩形边长得出A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可【解答】解：沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，A点的坐标为：（4，2），B点的坐标为：（2，6），C点的坐标为：（2，4），将A，B，C代入y=ax2+bx+c，解得：，二次函数解析式为：y=x2x+故答案为：y=x2x+【点评】此题主要考查了矩形的性质以及待定系数法求二次函数解析式，根据矩形边长得出A，B，C三点坐标是解决问题的关键10（5分）（2015天心区校级自主招生）桌面上有大小两颗球，相互靠在一起已知大球的半径为20cm，小球半径5cm，则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于20 cm【分析】首先根据题意作图，可得：A与B外切，A，B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，然后过点B作BEAC，又由切线的性质，即可得四边形ECDB是矩形，则在RtAEB中，即可求得BE的长，即可求得这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离CD的长【解答】解：如图，根据题意得：A与B外切，A，B与CD分别相切于C，D，AC=20cm，BD=5cm，AB=25cm，ACCD，BDCD，ACD=BDC=90，过点B作BEAC，BEC=90，四边形ECDB是矩形，BE=CD，EC=BD=5cm，AE=ACEC=15cm，在RtAEB中，BE=20（cm），CD=20cm故答案为：20【点评】此题考查了外切两圆的性质，切线的性质，以及矩形的性质等知识此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法11（5分）（2015天心区校级自主招生）物质A与物质B分别由点A（2，0）同时出发，沿正方形BCDE的周界做环绕运动，物质A按逆时针方向以1单位/秒等速运动，物质B按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第2015次相遇地点的坐标是（，2）【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，由于正方形的边长为4，物质B是物质A的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答【解答】解：正方形的边长为4，因为物质B是物质A的速度的2倍，时间相同，物质A与物质B的路程比为1：2，由题意知：第一次相遇物质A与物质B行的路程和为161，物质A行的路程为16=，物质B行的路程为16=，在BC边相遇；第二次相遇物质A与物质B行的路程和为162，物质A行的路程为162=，物质B行的路程为162=，在DE边相遇；第三次相遇物质A与物质B行的路程和为163，物质A行的路程为163=16，物质B行的路程为163=32，在A点相遇；第四次相遇物质A与物质B行的路程和为164，物质A行的路程为164=，物质B行的路程为164=，在BC边相遇；第五次相遇物质A与物质B行的路程和为165，物质A行的路程为165=，物质B行的路程为165=，在DE边相遇；综上可得相遇三次一个循环，因为2015=3671+2，即第2015次相遇和第二次相遇的地点相同，所以它们第2015次相遇在边DE上，点的坐标是 （，2）故答案为：（，2）【点评】此题属于应用类问题，主要考查行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题，难度较大12（5分）（2015天心区校级自主招生）设C1，C2，C3，为一群圆，其作法如下：C1是半径为a的圆，在C1的圆内作四个相等的圆C2（如图），每个圆C2和圆C1都内切，且相邻的两个圆C2均外切，再在每一个圆C2中，用同样的方法作四个相等的圆C3，依此类推作出C4，C5，C6，则（1）圆C2的半径长等于（用a表示）；（2）圆Ck的半径为（1 ）k1 a（k为正整数，用a表示，不必证明）【分析】（1）连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，得到AC=2a2r，根据正方形的性质和勾股定理得到AC=2r，推出方程2a2r=2r，求出即可；（2）求出r=（1）a，r3=（1）r=a，r4=，得出圆Ck的半径为rk=（1 ）k1 a即可【解答】（1）解：连接AB、BC、CD、AD，AC，设小圆的半径是r，根据圆与圆相切，AC=2a2r，四边形ABCD是正方形，AB=BC，B=90，由勾股定理得：AC=2r，2a2r=2r，解得：r=（1）a，故答案为：（1）a（2）解：由（1）得：r=（1）a，同理圆C3的半径是r3=（1）r=a，C4的半径是r4=，圆Ck的半径为rk=（1 ）k1 a，故答案为：rk=（1 ）k1 a【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，勾股定理，相切两圆的性质等知识点的理解和掌握，能根据计算结果得出规律是解此题的关键三、解答题：本题有4个小题，共60分13（12分）（2015天心区校级自主招生）如图，四边形ABCD内接于圆O，且AD是圆O的直径，DC与AB的延长线相交于E点，OCAB（1）求证：AD=AE；（2）若OC=AB=4，求BCE的面积【分析】（1）根据O为AD中点，OCAE，得到2OC=AE，再根据AD是圆O的直径，得到2OC=AD，从而得到AD=AE；（2）根据平行四边形的性质得到BCAD，再根据C为中点，得到AB=BE=4，从而求得BC=BE=4，然后连接BD，得到DBE=90，进而得到BE=BC=CE=4，然后求面积即可【解答】（本小题满分12分）解：（1）O为AD中点，OCAE，2OC=AE，又AD是圆O的直径，2OC=AD，AD=AE（2）由条件得ABCO是平行四边形，BCAD，又C为中点，AB=BE=4，AD=AE，BC=BE=4，连接BD，点B在圆O上，DBE=90，CE=BC=4，即BE=BC=CE=4，所求面积为4【点评】本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质及判定，解题的关键正确的应用圆周角定理14（14分）（2015天心区校级自主招生）已知抛物线y=x2+2px+2p2的顶点为M，（1）求证抛物线与x轴必有两个不同交点；（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使ABM面积达到最小【分析】（1）先判断出的符号即可得出结论；（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=（p1）21，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答【解答】解：（1）=4p28p+8=4（p1）2+40，抛物线与x轴必有两个不同交点（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2x1|2=（x1+x2）24x1x2=4p28p+8=4（p1）2+4，|AB|=2又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2（p1）21得b=（p1）21当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时SABM=|AB|b|取最小值1【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及到的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键15（16分）（2015天心区校级自主招生）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：胜一场平一场负一场积分310奖励（元/每人）15007000当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，A队共积19分（1）试判断A队胜、平、负各几场？（2）若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值【分析】（1）首先假设A队胜x场，平y场，负z场，得出x+y+z=12，3x+y=19，即可得出y，z与x的关系，再利用x0，y0，z0，得出即可；（2）根据图表奖金与出场费得出W=（1500+500）x+（700+500）y+500z，进而得出即可【解答】解：（1）设A队胜x场，平y场，负z场，得，可得：依题意，知x0，y0，z0，且x、y、z均为整数，解得：x，x可取4、5、6 A队胜、平、负的场数有三种情况：当x=4时，y=7，z=1；当x=5时，y=4，z=3；当x=6时，y=1，z=5（2）W=（1500+500）x+（700+500）y+500z=600x+19300当x=4时，W最大，W最大值=6004+19300=16900（元）答：W的最大值为16900元【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式组的应用等知识，利用已知得出x+y+z=12，3x+y=19，进而得出y，z与x的关系是解题关键16（18分）（2015天心区校级自主招生）已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x1经过这两个顶点中的一个（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）以AB为直径作M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点若点P位于M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围；过点C作M的切线交AD于F点，当PFAB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由【分析】（1）首先建立平面直角坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m，0）（m0），则有B（m+3，0）；C（m+3，2），D（m，2）；然后若C点过y=x1与C点不过y=x1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标；（2）