平面图形本质概念.doc

平面圖形本質概念一、 數學結構(一) 標準用詞表年級幾何一年級l 三角形、正方形、長方形、圓形l 前、後、左、右、上、下、遠、近二年級l 正方體、長方體l 頂點、角、邊、平面l 邊長、正三角形l 垂直、平行三年級l 內部、外部、周界、周長l 圓心、圓周、半徑、直徑四年級l 直角、三角板l 等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、平行四邊形、菱形、梯形五年級l 圓心角、扇形l 線對稱六年級l 放大、縮小、比例尺(二) 三角形 1. 構成要素頂點、邊和角是三角形的構成要素2. 定義l 三角形：平面上由三條首尾相連的直線段所圍成的封閉圖形、稱之為三角形。l 直角三角形：三角形內最大的角是直角的三角形為直角三角形。l 鈍角三角形：三角形內最大的角是鈍角的三角形為鈍角三角形。l 銳角三角形：三角形內最大的角是銳角的三角形為銳角三角形。l 等腰三角形：至少有兩個邊相等的三角形為等腰三角形，正三角形也是等腰三角形。l 正三角形：三個邊都相等，而且三個角都相等的三角形為正三角形。l 等腰直角三角形：三角形內最大的角是直角的三角形，並且直角的兩個邊相等的三角形為等腰直角三角形。正三角形等腰三角形鈍角三角形銳角三角形等腰直角三角形3. 內角和為180：透過實測各角角度後求其和、剪下三個角拼在一起、把三個角描繪在一起三種方式，讓學生自然發現其合起來的總合是180。4. 計算三角形面積：可以三角形的一邊為固定邊長，再將三角形補成一個長方形或正方形，計算出其面積。因為原三角形是此四邊形的一半，故除以2，即：(底高)2的公式。(三) 四邊形1. 分類與命名l 四邊形：由四個邊、四個角所組合而成。其中四個邊是兩兩相互連接的。l 長方形：四個角都是直角的四邊形，又稱為矩形或等角四邊形。l 菱形：四個邊都依一樣長的四邊形，又稱為等邊四邊形。l 正方形：四個角都是直角，且四個邊都相等的四邊形，又稱為正四邊形。l 平行四邊形：兩雙對邊都平行的四邊形。l 梯形：有一雙對邊平行，而另一雙對邊不平行。長方形正方形菱形平行四邊形梯形2. 計算四邊形面積：l 長方形、正方形的面積：可以用每邊長1公分的正方形紙卡或小積木排排看，數出各排幾個。也可以把每邊長1公分的透明方格紙，放在圖形上，數出方格個數，慢慢導出：長寬 的公式。a.先用小格子練習算有幾個：b.給不同的長方形以及正方形，用表格紀錄有幾格：圖形總個數橫排直排623 c.導出長x寬的公式l 周長和面積：兒童很容易把周長和面積混在一起，以為周圍較長的，面積也較大。先比較面積的大小，接著再比較周長，讓學生明白雖然面積相等，但周長卻不同。l 平行四邊形的面積： 利用分割重組的方法，把平行四邊形變成等積的長方形，來導出平行四邊、形的面積。但須注意的是，所形成的長方形的長、寬，必須和原平行四邊形的底、高一樣。 l 梯形的面積： 把兩個全等的梯形拼成一個平行四邊形，所得面積的一半即等於梯形的面積。(四) 圓與扇形1. 圓的名稱半徑：圓上任一點與圓心所連成的線段。直徑：兩條半徑能連成一條直線則稱該線段為直徑。圓心：圓的中心點圓周長：所畫出來的圓外圍長度2. 半徑、直徑、圓周的關係：(1) 直徑是半徑的兩倍；半徑是直徑的一半。(2) 圓周大約是直徑的3.14倍，即圓周率，作法：給予幾組不同大小的直徑、圓周的圓形，讓學生實地分別算出圓周是直徑的幾倍，最後作出圓周率近似3.14的結論。3. 圓的周長及面積：(1) 圓周長直徑3.14(2) 圓面積半徑半徑3.14把圓等分成若干等分，假設如下圖分成10等分，之後剪開，會得到近似長方形的圖形。因為長方形的面積為長寬，應用於剪開的圖形裡，其面積為半圓周半徑，而半圓周等於半徑圓周率(3.14)，所以此長方形面積等於半徑半徑圓周率(3.14)，即圓的面積。半徑 半 圓 周4. 畫圓的工具圓規是畫圓的工具，圓規有兩個腳，其中一個角的腳尖是金屬製成的，另一個角的腳尖上綁著鉛筆或筆心，當我門張開圓規的兩個腳，固定金屬製成的腳尖，讓綁著鉛筆或筆心的腳尖繞著金屬製成的腳尖轉一圈，就能夠畫出一個圓。5. 扇形圓上的一段圓弧以及該圓弧的兩端點和圓心連成的兩條半徑所合成的圖形稱為扇形。圓弧大於半圓的善形稱為優扇形，圓弧小於半圓的扇形稱為劣扇形，半圓也可是為一種扇形。 劣扇形 優扇形6. 扇形面積透過圓心將一個圓區域等分割成360等分，其中每一等分都是一個全等的扇形區域，單位扇形的面積會是圓面積的，一個扇形的夾角是30度時，它的面積就是：(圓面積360)30或圓面積，a為扇形之角度。(五) 線對稱1. 對稱圖形線對稱對摺正三角形、等腰三角形、正方形、長方形、菱形、圓形的紙張，會發現兩邊完全疊合，此即線對稱的圖形，做軸的直線就是對稱軸，疊合的兩點叫對應點，疊合的邊叫對應邊。二、 認知結構(一) Van Hiele夫婦幾何發展理論近年來世界先進國家（如美國、俄國）大都以荷蘭數學教育家van Hiele夫婦的幾何學習發展理論為根據設計幾何方面的教材。van Hiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成五個發展層次，每個層次次有其發展特徵。本次實驗教材之設計亦以此理念為根據，略述其特徵如下： 第O層次視覺期（Visualization） 第0層次思維的目標是形狀外觀的認識，以及它們看起來像什麼。此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，在視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描術物件的形狀，如像門的形狀為長方形，像盤子的形狀為圓形。雖然知道物件的形狀何者稱為正方形、三角形、圓形、長方形，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。 第一層次分析期（Analysis） 第1層次思維的目標是能對圖形分類，而不是將它們視為單獨的個體。此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作（如折疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗，能察覺到長方形有四個邊，四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，但不能解釋性質間的關係，如知道菱形是四邊相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。 第二層次關係期（Relation)或非形式演繹期(Informal eduction) 第2層次思維的目標是瞭解形狀的性質。此階段兒童可以透過非正式地論證把先前發現的性質作邏輯地聯結。能進一步探索圖形內在屬關係及各圖形間的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平等四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。在瞭解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平等四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方形；可以知道n邊多邊形的內角為（n2）180度等概念。 第三層次形式演繹期（Formal Deduction） 第3層次思維的目標是能夠理解幾何物件間的性質關係。達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖表的性質，而且能夠證明，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性。例如：能瞭解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。 第四層次嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic） 第4層次思維的目標是能對幾何的公理系統做推論。達此階段的人，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這些系統的特性。例如能區別幾裏德幾何與非歐幾何的差異，也可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。 根據van Hiele研究顯示，上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層次的各項概念與策略，才能有效進行下一層次的教學活動。同時，亦由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期，故其對幾何圖形的瞭解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，始能秩序漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到第一層，高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期。 摘自國立台中師範學院數理教育學系 平面圖形教材的處理 劉好(二) 皮亞傑幾何圖形的分類活動發展皮亞傑將分類能力的發展區分成三個階段，分別是形象聚集階段、非形象聚集階段與分類獲得階段。第一階段是形象聚集階段：學童透過視覺將物體的形狀分類，例如：將形狀不同的長方形與正方形歸成不同的種類。教材以視覺性的觀點看問題時，學童透過視覺將幾何圖形的形狀歸類。第二階段是非形象聚集的階段：此時學童已經掌握物體的某些屬性，能從功能性的觀點來分類，將同一屬性的物體歸成一類，視為同一個集合，但是無法把握這些集合間的包含關係，例如：學童尚不能透過邊、角的關係區分長方形、菱形、與正方形。教材以功能性的觀點看問題時，學童透過圖形的構成要素將幾何圖形分類，但是不理解這些幾何圖形所成的集合與集合間的包含關係。第三階段為分類能力獲得的階段：此時學童已經掌握部份與全體的關係，能夠處理物體種類間的包含關係，例如：知道正方方形一定是長方形，正行也一定是菱形，而長方形不一定是菱形的包含關係。教材以關係性的觀點看問題時，學童掌握全體與部分的關係，能理解幾何圖形所成集合之間的包含關係，可以從不同的觀點進行分類。(三) 整理Van Hiele皮亞傑第零層次視覺性的觀點第一層次功能性的觀點第一層次到第二層次間關係性的觀點三、 綱要結構(一)課程階段幾何課程可概分為四階段：1、階段一（一年級到三年級）：較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。2、階段二（四年級到五年級）：由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合數與形兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素（如角、邊、面）及其數量性質（如角度、邊長、面積）。3、 階段三（六年級到七年級）：透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。4、階段四（八年級到九年級）：開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目標是學會推理幾何證明，學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中，學習方式最開始可由填充式推理幾何，慢慢養成完整能力，讓學生有能力及信心，快樂地學習幾何學領域的知識。教材內含有認識生活中的平面圖形，如三角形、四邊形、多邊形、圓形；認識點、線、角、符號及幾何相關名詞；使用基本性質描述某一類形體；能以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練定義的相關操作；體會邏輯概念：包含關係、敘述及逆敘述、推理幾何；求角度問題、長度問題、面積（表面積）問題、體積問題；推理證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關性質。(二)分年細目一年級1-s-01能認識直線與曲線。1-s-02能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體。1-s-03能描繪或仿製簡單平面圖形。1-s-04能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊。1-s-05能描述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置。二年級2-s-01能認識周遭物體上的角、直線與平面（含簡單立體形體）。2-s-02能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。2-s-03能使用直尺畫出指定長度的線段。2-s-04能畫出兩點間的線段，並測量其長度。2-s-05（同2-n-17）能認識面積，並作直接比較。2-s-06能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體形體。三年級3-s-01能認識平面圖形的內部、外部與其周界。3-s-02能認識周長，並實測周長。3-s-03能使用圓規畫圓，認識圓的圓心、圓周、半徑與直徑。3-s-04（同3-n-17）能認識角，並比較角的大小。3-s-05（同3-n-18）能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位平方公分。3-s-06能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。四年級4-s-01能運用角與邊等構成要素，辨認簡單平面圖形。4-s-02能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。4-s-03能認識平面圖形全等的意義。4-s-04（同4-n-14）能認識角度單位度，使用量角器實測角度或畫出指定的角。4-s-05能理解旋轉角的意義。4-s-06能理解平面上直角、垂直與平行的意義。4-s-07能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。4-s-08能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。4-s-09（同4-n-16）能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。五年級5-s-01能透過操作，理解三角形三內角和為180度。5-s-02能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。5-s-03能認識圓心角，理解180度、360度的意義，並認識扇形。5-s-04能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。5-s-05（同5-n-16）能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。5-s-06能運用頂點、邊與面等構成要素，辨認簡單立體形體。5-s-07（同5-n-18）能理解長方體和正方體的體積公式。5-s-08能認識面的平行與垂直，並描述正方體與長方體中面與面的平行與垂直關係。六年級6-s-01能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。6-s-02能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。6-s-03能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同6-n-11*）6-s-04能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-n-12）6-s-05能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。6-s-06（同6-n-13）能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。四、 教學策略幾何圖形的本質是抽象的，需要藉著實物上的結構來呈現。兒童必須透過可呈現各種形狀之實物(圖卡)的拼排、翻摺、疊合等之操作，檢驗及製作活動，才能領會圖形上的各種特徵及性質。1. 在形體性質之察覺方面：提供許多大小、 方位或邊長比例改變的圖形讓學生辨認。培養學生實際測量以驗證直觀判斷的可靠性之學習習慣。許多學生對於辨認形狀所屬類別發生錯誤的原因，比如圖形的長度或角度懸殊比例不大以及方位改變時，很容易因為直觀而產生視覺誤差。 因此，教學時，多讓學生養成實際測量的習慣，從測量個圖形的邊長和角度中去發現、 分類、分析整理與區辨各形體的性質，才能提升學童的幾何思考層次。2. 在線對稱關係方面：教師多提供不同方向的對稱軸之線對稱圖形，除了讓學生從摺疊、剪紙的方式發覺之外，並可透過討論方式了解對稱軸的位置與兩邊圖形對應點及對應邊關係。五、 迷思概念1.基本圖形 (1)三角形：三角形一定是兩個邊一樣長；三角形的邊長比例相差較大，就不認為是三角形；把有曲線的圖形視為三角形。(2)四邊形：四個邊一樣長才是四邊形；四邊形是正正的；四邊形要有直角；對於一些特殊圖形：菱形、箏形、梯形或不規則的四邊形，不認為是四邊形。2.特殊圖形(1)正方形：正方形一定是正正方方的，將斜放的正方形，當作菱形。(2)平行四邊形：認為四個邊一樣長、斜斜的邊或四個角都一樣的角度才是平行四邊形；少數兒童不認為長方形、正方形是平形四邊形。 (3)菱形：對於菱形的辨識雖然知道要四邊等長，但未斜放就不認為是菱形，而且多數兒童未有正方形也是菱形的包含概念。 (4)梯形：認為梯形是左右兩邊一樣長、或上下平行，變成左右平行就不是梯形；也有學生認為梯形是沒有直角，有直角便不是梯形。有1位三年級兒童認為有一個邊像樓梯斜斜的，所以只選擇有一個