勾股定理的应用 教案 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

初中数学北师大版（新课标）第一章勾股定理3勾股定理的应用一、教学目标1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题；2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力；3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的灵活应用；4.体会数学与实际生活的紧密联系，并在学习过程中感受成功的喜悦，提高学习数学的兴趣.二、教学重难点重点：会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题.难点：从实际问题中抽象出直角三角形模型.三、教学过程设计环节一：情境导入【复习回顾】勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²b²c².如果三角形的三边长a、b、c满足a²b²c²，那么这个三角形是.预设答案：直角三角形.满足a²b²c²的三个正整数，称为.预设答案：勾股数.教师活动：教师引导学生回顾勾股定理，并通过简单的提问，回顾勾股定理逆定理以及勾股数的内容，接着通过具体问题引入本节课要讲解的内容.设计意图：通过复习回顾上节课学习的勾股定理相关内容，为本节课要学习的内容作准备.环节二：探究新知【思考】装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD和边BC是否分别垂于底边AB.问题：如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？预设答案：方法一：连接BD，用卷尺分别测量AB，AD，BD的长，如果能算出AD2+AB2=BD2，就可以说明边AD⊥AB.方法二：连接AC，用卷尺分别测量AB，BC，AC的长，如果能算出AB2+BC2=AC2，就可以说明边BC⊥AB.问题：如果李叔叔测得边AD长是30cm，边AB长是40cm，点B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？教师活动：引导学生通过勾股定理证得BC垂直于AB得出结论.巡视同学做题过程，对于有困难的学生给予指导，然后用多媒体展示答题过程.解:连接BD∵AD=30，AB=40，BD=50又∵AD2+AB2=302+402=502=BD2∴△ABD为直角三角形，∠A=90°∴AD⟂AB同理可证得：BC⊥AB.问题：如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗？解:在AD上取点M，使AM=9，在AB上取点N，使AN=12，因为92+122=152测量MN的长度，如果MN=15cm，根据勾股定理的逆定理，AD⟂AB，如果MN≠15cm，则不垂直.追问：你还有其他方法吗？解:在AD上取点P，使AP=9，在AB上取点Q，使AQ=12，因为122+162=202测量PQ的长度，如果PQ=20cm，根据勾股定理的逆定理，AD⟂AB，如果PQ≠20cm，则不垂直.设计意图：在解决这个问题时，让学生充分思考检验的方法.运用勾股定理逆定理来解决实际问题，让学生学会分析问题，利用允许的工具灵活处理问题.【活动】用一张直角三角形制片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由.如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=12cm，BC=5cm，将△ABC折叠，使得C与E重合，折痕为AD，你能求出DE的长吗？问题：根据条件“将△ABC折叠，使得C与E重合，折痕为AD”，你能得出什么？预设答案：AC=AE，CD=DE，∠C=∠AED=90°问题：观察DE在哪个三角形当中，如果设DE=xcm，你能表示其他边的长度吗？预设答案：△BDE，CD=DE=xcm，BD=(5-x)cm问题：你能求出DE的长吗？解：设DE=xcm，则CD=DE=xcm，BD=(5-x)cm又在Rt△ABC中，AC=12cm，BC=5cm，由勾股定理可得，AB=13cm，又AC=AE=12cm，所以EB=1cm，在Rt△BDE中，根据勾股定理得，x2+12=(5-x)2，解得x=2.4cm.【思考】如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗?解：设DF=xcm，则EF=FC=(8-x)cm，∵点E是边AD的中点，AD=8cm，∴ED=12AD=又在Rt△DEF中，根据勾股定理得，x2+42=(8-x)2，解得x=3cm.即DF=3cm.设计意图：结合折叠的性质，让学生进一步体会勾股定理在解决几何问题时的作用，巩固所学知识.环节三：应用新知【例1】如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长．教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.分析：根据题意可的AC=AB，可设AC为xm，从而AE是（x-1）m，而△AEC是直角三角形，由勾股定理可得AC的值.解：设滑道AC的长度为xm，则AB的长度为xm，AE的长度为(x－1)m．在Rt△AEC中，∠AEC=90°，由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2，解得x=5．故滑道AC的长度为5m．【例2】今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何?(选自《九章算术》)题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?分析：水池的深度+1=芦苇的长度；水的深度、半个水池长与芦苇的长度构成一个直角三角形.解：设水池深OA=x尺，则芦苇长OB=(x+1)尺，由于芦苇位于水池中央，所以AC=5尺.在Rt△OAC中，根据勾股定理可得：AC2+OA2=OC2，即x2+52=(x+1)2.解得：x=12，则OA=12，OB=13.所以，水的深度是12尺，芦苇的长度是13尺.【例3】在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？教师根据题干分析题中提供的已知条件，并画出图形.解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，由勾股定理得AB=10米.∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.【归纳】1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：2.从实际问题中抽象出几何图形；3.确定所求线段所在的直角三角形；4.找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系；5.求得结果，解决实际问题.设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对从实际问题中抽象出直角三角形这一模型的认识和理解，强化转化思想，培养学生的应用意识.引导学生从数学现象背后发现数学规律，为后面学生独立解题打下一定的基础.环节四：课堂练习1.小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米.小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）A.锐角弯B.钝角弯C.直角弯D.不能确定教师画示意图：∴所以小刚上学走了个直角弯.答案：C2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长是.教师提示：因为DE是折痕，所以E为AB的中点，AE=BE=AB，只要根据勾股定理求出Rt△ABC斜边AB的长，就可求出BE的长.答案：5cm.3.如图，某探险队的A组由驻地O点出发，以12km/h的速度前进，同时，B组也由驻地O出发，以9km/h的速度向另一个方向前进，2h后同时停下来，这时A、B两组相距30km.此时，A，B两组行进的方向成直角吗？请说明理由.解：2小时后，