第五章线性系统的频域分析法.ppt

第五章线性系统的频域分析法 4稳定裕度 1线性系统的频率特性 2开环系统的典型环节 3频率域稳定判据 5闭环系统的频域特性 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 考察一个系统的好坏 通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能 有时也用正弦波输入时系统的响应来分析 但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应 而是考察频率由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应 因此 这种响应也叫频率响应 频率响应尽管不如阶跃响应那样直观 但同样间接地表示了系统的特性 频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具 第一节频率特性的基本概念 一 频率特性的定义 系统的频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅 相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系 对于一般的线性定常系统 系统的输入和输出分别为r t 和c t 系统的传递函数为G s 式中 为极点 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 若 则 拉氏反变换为 若系统稳定 则极点都在s左半平面 当 即稳态时 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 式中 分别为 而 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 式中 Rm Cm分别为输入输出信号的幅值 上述分析表明 对于稳定的线性定常系统 加入一个正弦信号 它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号 稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位 其幅值放大了倍 相位移动了 和都是频率的函数 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 定义稳态响应与正弦输入信号的相位差为系统的相频特性 它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性 定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比为系统的幅频特性 它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 它也是的函数 称为频率特性 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 幅频特性 相频特性和实频特性 虚频特性之间具有下列关系 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 由于这种简单关系的存在 频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的 频率特性与传递函数的关系为 结论 当传递函数中的复变量s用代替时 传递函数就转变为频率特性 反之亦然 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 到目前为止 我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种 微分方程 传递函数 脉冲响应函数和频率特性 它们之间的关系如下 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 从另一方面 若线性系统在正弦信号输入作用下 在稳态情况下 输入输出都是正弦函数 可用矢量表示 可见 频率特性就是输出 输入正弦函数用矢量表示时之比 表示线性系统在稳态情况下 输出 输入正弦信号之间的数学关系 是频率域中的数学模型 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 例 设传递函数为 微分方程为 频率特性为 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 频率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得 而不必推导系统的传递函数 事实上 当传递函数的解析式难以用推导方法求得时 常用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模型 此外 在验证推导出的传递函数的正确性时 也往往用它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断 频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示 这在控制系统的分析和设计中有非常重要的作用 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的 如果不稳定 则动态过程c t 最终不可能趋于稳态响应cs t 当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的 而且其规律性并不依赖于系统的稳定性 因此可以扩展频率特性的概念 将频率特性定义为 在正弦输入下 线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比 所以对于不稳定的系统 尽管无法用实验方法量测到其频率特性 但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性 工程上常用图形来表示频率特性 常用的有 1 极坐标图 也称奈奎斯特 Nyquist 图 是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标 以其虚部为纵坐标 以为参变量的幅值与相位的图解表示法 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 二 频率特性的表示方法 2 对数坐标图 也称伯德 Bode 图 它是由两张图组成 以为横坐标 对数分度 分别以和作纵坐标的一种图示法 3 对数幅相频率特性图 也称尼柯尔斯 Nichols 图 它是以相位为横坐标 以为纵坐标 以为参变量的一种图示法 线性系统的频域分析法 线性系统的频域特性 3 开环系统极坐标频率特性的绘制 绘制奈氏图 开环系统的频率特性或由典型环节的频率特性组合而成 或是一个有理分式 不论那种形式 都可由下面的方法绘制 使用MATLAB工具绘制 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 例 设开环系统的频率特性为 试列出实频和虚频特性的表达式 当绘制奈氏图 解 当时 找出几个特殊点 比如 与实 虚轴的交点等 可大致勾勒出奈氏图 为了相对准确 可以再算几个点 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 用上述信息可以大致勾勒出奈氏图 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 下图是用Matlab工具绘制的奈氏图 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 解 2 与实轴的交点 令 解得 这时 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 3 当时 渐近线方向向下 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 具有积分环节的系统的频率特性的特点 当时 当时 下图为0型 型和 型系统在低频和高频段频率特性示意图 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 4 开环系统对数坐标频率特性的绘制 绘制波德图 开环系统频率特性为 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 幅频特性 相频特性 且有 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 由以上的分析可得到开环系统对数频率特性曲线的绘制方法 先画出每一个典型环节的波德图 然后相加 例 开环系统传递函数为 试画出该系统的波德图 解 该系统由四个典型环节组成 一个比例环节 一个积分环节两个惯性环节 手工将它们分别画在一张图上 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 然后 在图上相加 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 实际上 画图不用如此麻烦 我们注意到 幅频曲线由折线 渐进线 组成 在转折频率处改变斜率 确定和各转折频率 并将这些频率按小大顺序依次标注在频率轴上 确定低频渐进线 就是第一条折线 其斜率为 过点 1 20logk 实际上是k和积分的曲线 具体步骤如下 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 高频渐进线的斜率为 20 n m dB dec 相频特性还是需要点点相加 才可画出 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 2 低频渐进线 斜率为 过点 1 20 3 波德图如下 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 红线为渐进线 兰线为实际曲线 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 解 1 2 低频渐进线斜率为 过 1 60 点 4 画出波德图如下页 3 高频渐进线斜率为 红线为渐进线 兰线为实际曲线 线性系统的频域分析法 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线的绘制 例 具有延迟环节的开环频率特性为 试画出波德图 解 可见 加入了延迟环节的系统其幅频特性不变 相位特性滞后了 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性 不仅能判断系统的绝对稳定性 而且可根据相对稳定的概念 讨论闭环系统的瞬态性能 指出改善系统性能的途径 一 幅角定理 设负反馈系统的开环传递函数为 其中 为前向通道传递函数 为反馈通道传递函数 闭环传递函数为 如下图所示 令 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 显然 辅助方程即是闭环特征方程 其阶数为n阶 且分子分母同阶 则辅助方程可写成以下形式 式中 为F s 的零 极点 由上页 a b 及 c 式可以看出 F s 的极点为开环传递函数的极点 F s 的零点为闭环传递函数的极点 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 F s 是复变量s的单值有理函数 如果函数F s 在s平面上指定的区域内是解析的 则对于此区域内的任何一点都可以在F s 平面上找到一个相应的点 称为在F s 平面上的映射 同样 对于s平面上任意一条不通过F s 任何奇异点的封闭曲线 也可在F s 平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 为的映射 例 辅助方程为 则s平面上点 1 j1 映射到F s 平面上的点为 0 j1 见下图 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 同样我们还可以发现以下事实 s平面上曲线映射到F s 平面的曲线为 如下图 曲线是顺时针运动的 且包围了F s 的一个极点 0 不包围其零点 2 曲线包围原点 且逆时针运动 再进一步试探 发现 若顺时针包围F s 的一个极点 0 和一个零点 2 则不包围原点顺时针运动 若顺时针只包围F s 的一个零点 2 则包围原点且顺时针运动 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 这里有一定的规律 就是介绍的柯西幅角定理 柯西幅角定理 s平面上不通过F s 任何奇异点的封闭曲线包围s平面上F s 的z个零点和p个极点 当s以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时 在F s 平面上相对应于封闭曲线将以顺时针方向绕原点旋转N圈 N z p的关系为 N z p 若N为正 表示顺时针运动 包围原点 若N为0 表示顺时针运动 不包围原点 若N为负 表示逆时针运动 包围原点 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 二 奈魁斯特稳定判据 对于一个控制系统 若其特征根处于s右半平面 则系统是不稳定的 对于上面讨论的辅助方程 其零点恰好是闭环系统的极点 因此 只要搞清F s 的的零点在s右半平面的个数 就可以给出稳定性结论 如果F s 的右半零点个数为零 则闭环系统是稳定的 我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性 因此开环频率特性是已知的 设想 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面 则根据柯西幅角定理知 该封闭曲线在F s 平面上的映射包围原点的次数应为 当已知开环右半极点数时 便可由N判断闭环右极点数 这里需要解决两个问题 1 如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线 并且它是满足柯西幅角条件的 2 如何确定相应的映射F s 对原点的包围次数N 并将它和开环频率特性相联系 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 它可分为三部分 部分是正虚轴 部分是右半平面上半径为无穷大的半圆 部分是负虚轴 第1个问题 先假设F s 在虚轴上没有零 极点 按顺时针方向做一条曲线包围整个s右半平面 这条封闭曲线称为奈魁斯特路径 如下图 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 F s 平面上的映射是这样得到的 以代入F s 并令从变化 得第一部分的映射 在F s 中取使角度由 得第二部分的映射 令从 得第三部分的映射 稍后将介绍具体求法 得到映射曲线后 就可由柯西幅角定理计算 式中 是F s 在s右半平面的零点数和极点数 确定了N 可求出 当时 系统稳定 否则不稳定 第2个问题 辅助方程与开环频率特性的关系 我们所构造的的辅助方程为 为开环频率特性 因此 有以下三点是明显的 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 F s 对原点的包围 相当于对 1 j0 的包围 因此映射曲线F s 对原点的包围次数N与对 1 j0 点的包围的次数一样 奈魁斯特路径的第 部分的映射是曲线向右移1 第 部分的映射对应 即F s 1 第 部分的映射是第 部分映射的关于实轴的对称 F s 的极点就是的极点 因此F s 在右半平面的极点数就是在右半平面的极点数 由可求得 而是开环频率特性 一般在中 分母阶数比分子阶数高 所以当时 即F s 1 对应于映射曲线第 部分 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 根据上面的讨论 如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈魁斯特路径 则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳定性 就是下面所述的奈魁斯特稳定判据 奈魁斯特稳定判据 若系统的开环传递函数在右半平面上有个极点 且开环频率特性曲线对 1 j0 点包围的次数为N N 0顺时针 N 0逆时针 则闭环系统在右半平面的极点数为 若 则闭环系统稳定 否则不稳定 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 奈魁斯特稳定判据的另一种描述 设开环系统传递函数在右半s平面上的极点数为 则闭环系统稳定的充要条件为 在平面上的开环频率特性曲线极其映射当从变化到时 将以逆时针的方向围绕 1 j0 点圈 对于开环系统稳定的情况 则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线极其映射不包围 1 j0 点 不稳定的闭环系统在s右半平面的极点数为 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 例 开环传递函数为 试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性 解 开环系统的奈氏图如右 在s右半平面的极点数为0 绕 1 j0 点的圈数N 0 则闭环系统在s右半平面的个数 故闭环系统是稳定的 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 例 设开环系统传递函数为 试用奈氏判据判断闭环系统的稳定性 解 开环极点为 1 1j2 都在s左半平面 所以 奈氏图如右 从图中可以看出 奈氏图顺时针围绕 1 j2 点2圈 所以闭环系统在s右半极点数为 闭环系统是不稳定的 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 例 系统结构图如右 试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系 解 开环系统奈氏图是一个半径为 圆心在的圆 显然 k 1时 包围 1 j0 点 k 1时不包围 1 j0 点 由图中看出 当k 1时 奈氏曲线逆时针包围 1 j0 点一圈 N 1 而 则闭环系统是稳定的 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 当k 1时 奈氏曲线通过 1 j0 点 属临界稳定状态 当k 1时 奈氏曲线不包围 1 j0 点 N 0 所以 闭环系统不稳定 上面讨论的奈魁斯特判据和例子 都是假设虚轴上没有开环极点 即开环系统都是0型的 这是为了满足柯西幅角定理的条件 但是对于 型的开环系统 由于在虚轴上 原点 有极点 因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性 为了解决这一问题 需要重构奈魁斯特路径 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 三 奈魁斯特稳定判据在 型系统中的应用 具有开环0极点系统 其开环传递函数为 可见 在原点有重0极点 也就是在s 0点 不解析 若取奈氏路径同上时 通过虚轴的整个s右半平面 不满足柯西幅角定理 为了使奈氏路径不经过原点而仍然能包围整个s右半平面 重构奈氏路径如下 以原点为圆心 半径为无穷小做右半圆 这时的奈氏路径由以下四部分组成 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 部分 正虚轴 部分为半径为无穷大的右半圆 部分负虚轴 部分为半径为无穷小的右半圆 下面讨论对于这种奈魁斯特路径的映射 1 第 和第 部分 常规的奈氏图 关于实轴对称 2 第 部分 假设的分母阶数比分子阶数高 3 第 部分 a 对于 型系统 将奈氏路径中的点代入中得 所以这一段的映射为 半径为 角度从变到的右半圆 b 对于 型系统 将奈氏路径中的点代入中得 所以这一段的映射为 半径为 角度从变到的整个圆 顺时针 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 结论 用上述形式的奈氏路径 奈氏判据仍可应用于 型系统 例 设 型系统的开环频率特性如下图所示 开环系统在s右半平面没有极点 试用奈氏判据判断闭环系统稳定性 解 显然这是1型系统 先根据奈氏路径画出完整的映射曲线 从图上看出 映射曲线顺时针包围 1 j0 一圈 逆时针包围 1 j0 一圈 所以N 1 1 0 而 故 闭环系统是稳定的 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 例 某 型系统的开环频率特性如下图所示 且s右半平面无极点 试用奈氏判据判断闭环系统稳定性 解 首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线 如右图 从图上可以看出 映射曲线顺时针包围 1 j0 两圈 因 所以 闭环系统是不稳定的 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 特殊情况 1 若开环系统在虚轴上有极点 这时应将奈氏路径做相应的改变 如下图 以极点为圆心 做半径为无穷小的右半圆 使奈氏路径不通过虚轴上极点 确保满足柯西幅角定理条件 但仍能包围整个s右半平面 映射情况 由于较复杂 略 2 如果开环频率特性曲线通过 1 j0 点 说明闭环系统处于临界稳定状态 闭环系统在虚轴上有极点 通常 只画出的开环奈氏图 这时闭环系统在s右半平面上的极点数为 式中 为变化时 开环奈氏图顺时针包围 1 j0 点的圈数 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 频率特性曲线对 1 j0 点的包围情况可用频率特性的正负穿越情况来表示 当增加时 频率特性从上半s平面穿过负实轴的段到下半s平面 称为频率特性对负实轴的段的正穿越 这时随着的增加 频率特性的相角也是增加的 意味着逆时针包围 1 j0 点 反之称为负穿越 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 这时奈魁斯特稳定判据可以描述为 设开环系统传递函数在右半平面的极点为P 则闭环系统稳定的充要条件是 当从时 频率特性曲线在实轴段的正负穿越次数差为 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 四 在对数坐标图上判断系统的稳定性 开环系统的极坐标图 奈氏图 和对数坐标图 波德图 有如下的对应关系 1 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线 2 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的 180度相位线 奈氏图频率特性曲线在上的正负穿越在对数坐标图上的对应关系 在对数坐标图上的范围内 当增加时 相频特性曲线从下向上穿过 180度相位线称为正穿越 因为相角值增加了 反之称为负穿越 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 对照图如下 正穿越 负穿越 相角方向为正 增加时 相角增大 对数坐标图上奈氏稳定判据如下 设开环频率特性在s右半平面的极点数为P 则闭环系统稳定的充要条件是 对数坐标图上幅频特性的所有频段内 当频率增加时 对数相频特性对 180度线的正负穿越次数差为P 2 闭环系统右半s极点数为 式中为正负穿越次数差 若Z 0 闭环系统稳定 若Z 0 闭环系统不稳定 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 五 最小相位系统的奈氏判据 开环频率特性在s右半平面无零点和极点的系统称为最小相位系统 最小相位系统闭环稳定的充要条件可简化为 奈氏图 开环频率特性曲线 不包围 1 j0 点 因为若N 0 且P 0 所以Z 0 线性系统的频域分析法 频率域稳定判据 上述关系在对数坐标图上的对应关系 当时 当时 线性系统的频域分析法 稳定裕度 当频率特性曲线穿过 1 j0 点时 系统处于临界稳定状态 这时 对于最小相位系统 可以用和来表示频率特性曲线接近 1 j0 点的程度 或称为稳定裕度 稳定裕度越大 稳定性越好 线性系统的频域分析法 稳定裕度 定义 和为幅值稳定裕度和相位稳定裕度 在对数坐标图上 用表示的分贝值 即 显然 当时 即和时 闭环系统是稳定的 否则是不稳定的 对于最小相位系统 和是同时发生或同时不发生的 所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的稳定裕度 常用相角裕度 线性系统的频域分析法 稳定裕度 幅值稳定裕度物理意义 稳定系统在相角穿越频率处将幅值增加倍 奈氏图 或增加分贝 波德图 则系统处于临界状态 若增加的倍数大于倍 或分贝 则系统变为不稳定 比如 若增加开环放大系数K 则对数幅频特性曲线将上升 而相角特性曲线不变 可见 开环放大系数太大 容易引起系统的不稳定 相位稳定裕度的物理意义 稳定系统在幅值穿越频率处将相角减小度 则系统变为临界稳定 再减小 就会变为不稳定 线性系统的频域分析法 稳定裕度 解 相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得 线性系统的频域分析法 稳定裕度 当k 10时 开环系统波德图如右所示 这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度大约是8dB和21度 因此系统在不稳定之前 增益可以增加8dB 线性系统的频域分析法 稳定