导数教案.doc

导数的背景一、导入新课1.瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？析：大家知道，自由落体的运动公式是（其中g是重力加速度）.当时间增量很小时，从3秒到（3）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度.从3秒到（3）秒这段时间内位移的增量：从而，.从上式可以看出，越小，越接近29.4米/秒；当无限趋近于0时，无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当趋向于0时，的极限是29.4.当趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.一般地，设物体的运动规律是ss（t），则物体在t到（t）这段时间内的平均速度为.如果无限趋近于0时，无限趋近于某个常数a，就说当趋向于0时，的极限为a，这时a就是物体在时刻t的瞬时速度.2.切线的斜率问题2：P（1,1）是曲线上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.析：设点Q的横坐标为1，则点Q的纵坐标为（1）2，点Q对于点P的纵坐标的增量（即函数的增量），所以，割线PQ的斜率.由此可知，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，变得越来越小，越来越接近2；当点Q无限接近于点P时，即无限趋近于0时，无限趋近于2.这表明，割线PQ无限趋近于过点P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫做曲线在点P处的切线.由点斜式，这条切线的方程为：.一般地，已知函数的图象是曲线C，P（），Q（）是曲线C上的两点，当点Q沿曲线逐渐向点P接近时，割线PQ绕着点P转动.当点Q沿着曲线无限接近点P，即趋向于0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当趋向于0时，割线PQ的斜率的极限为k.3.边际成本问题3：设成本为C，产量为q，成本与产量的函数关系式为，我们来研究当q50时，产量变化对成本的影响.在本问题中，成本的增量为：.产量变化对成本的影响可用：来刻划，越小，越接近300；当无限趋近于0时，无限趋近于300，我们就说当趋向于0时，的极限是300.我们把的极限300叫做当q50时的边际成本.一般地，设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q），当产量为时，产量变化对成本的影响可用增量比刻划.如果无限趋近于0时，无限趋近于常数A，经济学上称A为边际成本.它表明当产量为时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）.二、小结瞬时速度是平均速度当趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率当趋近于0时的极限；边际成本是平均成本当趋近于0时的极限.导数的概念一、导入新课：上节我们讨论了瞬时速度、切线的斜率和边际成本。虽然它们的实际意义不同，但从函数角度来看，却是相同的，都是研究函数的增量与自变量的增量的比的极限。由此我们引出下面导数的概念。二、新授课：1.设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即注：1.函数应在点的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。3.是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率。4.导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线上点（）处的切线的斜率。因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为。5.导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。6.在定义式中，设，则，当趋近于0时，趋近于，因此，导数的定义式可写成。7.若极限不存在，则称函数在点处不可导。8.若在可导，则曲线在点（）有切线存在。反之不然，若曲线在点（）有切线，函数在不一定可导，并且，若函数在不可导，曲线在点（）也可能有切线。一般地，其中为常数。特别地，。如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，也可记作，即函数在处的导数就是函数在开区间上导数在处的函数值，即。所以函数在处的导数也记作。注：1.如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数在点处的导数就是导函数在点的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的换成就可，即4.由导数的定义可知，求函数的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量。（2）.求平均变化率。（3）.取极限，得导数。几种常见的导函数函数的和 差 积 商的导数复合函数的导函数1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量2.求函数的导数的两种方法与思路：方法一：；方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：，两个导数相乘，得 ， 从而有 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求yx时，就可以转化为求yu和ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或fx( (x)=f(u) (x).证明：（教师参考不需要给学生讲）设x有增量x，则对应的u，y分别有增量u，y，因为u=(x)在点x可导