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矩阵理论 第九讲 2004年 矩阵理论第9讲 1 上节内容回顾 矩阵的条件数定义矩阵条件数的工程背景矩阵的奇异值矩阵序列矩阵序列收敛的充分必要条件收敛矩阵矩阵级数矩阵级数的绝对收敛的充要条件绝对收敛收敛 矩阵理论第9讲 2 矩阵的幂级数 矩阵幂级数设 称矩阵级数为矩阵A的幂级数方阵幂级数收敛的判别定理若复变数幂级数的收敛半径为r 而矩阵的谱半径为 则当时 方阵幂级数绝对收敛当时 方阵幂级数发散证明 1 取 使得 矩阵理论第9讲 3 矩阵的幂级数 由于幂级数收敛 根据正项级数的比较审敛法知矩阵幂级数绝对收敛2 由于 设 则当时 由Jordan定理 使得 矩阵理论第9讲 4 矩阵的幂级数 矩阵幂级数的对角线元素为由于发散 从而矩阵幂级数发散由于矩阵幂级数与具有相同的敛散性 可知也发散 推论设幂级数的收敛半径为r 若使得 则矩阵幂级数绝对收敛 矩阵理论第9讲 5 矩阵的幂级数 举例判断矩阵幂级数的敛散性解 令 eig A ans 0 8333 0 5000由于幂级数的收敛半径为r 1绝对收敛 矩阵理论第9讲 6 矩阵的幂级数 Neumann级数收敛充要条件设 称矩阵幂级数为Neumann级数收敛并且在此级数收敛时 其和为证明 充分性 幂级数的收敛半径为1必要性 若矩阵幂级数收敛 记 则 收敛 矩阵理论第9讲 7 矩阵的幂级数 当收敛时 取可逆由于 矩阵理论第9讲 8 矩阵的幂级数 举例设判断矩阵幂级数的敛散性 若收敛 求其和解 norm A 1 ans 0 9000即 所以绝对收敛inv eye size A A ans 2 00001 00001 00003 14294 42863 00001 42861 78572 5000 矩阵理论第9讲 9 矩阵函数 定义 矩阵函数的定义基于收敛的矩阵幂级数 收敛于一个唯一的矩阵 即此矩阵幂级数的和S 这样 矩阵幂级数在矩阵与之间建立了一个映射 称此映射为矩阵函数 它是以矩阵为变量 更为确切地 以方阵为变量 且取值为矩阵 方阵 的一类函数 称S为A在映射f下的象 记作 矩阵理论第9讲 10 矩阵函数 相应地 根据矩阵幂级数的收敛准则 将矩阵幂级数的和分别记为下列矩阵函数 矩阵理论第9讲 11 矩阵函数在矩阵分析中的应用 许多工程问题 常常化为求解一阶常系数微分方程组的问题由线性元件构成的网络状态方程组及输出方程组其它动态系统或受控系统 L C R2 R1 u t iL iC m y t F t 矩阵理论第9讲 12 矩阵函数在矩阵分析中的应用 离散时间系统假设上述方程组的初始条件为或先考察u t 0时 的解 这时状态方程组简化为这相当于求系统的零输入响应当矩阵A为数a时 其解为可以设想 当而时 的解含有 可以证明都是收敛的 因而其和是有意义的 离散时间系统 x n y n 矩阵理论第9讲 13 矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵函数 及满足代数三角函数的性质Euler公式 矩阵理论第9讲 14 矩阵函数在矩阵分析中的应用 常用矩阵函数的性质设 且 矩阵理论第9讲 15 矩阵函数在矩阵分析中的应用 常用矩阵函数的性质设若 是A的特征值 则矩阵函数的特征值为由Jordan定理 使得 矩阵理论第9讲 16 矩阵函数在矩阵分析中的应用 再设 可得如下矩阵幂级数收敛 由于即矩阵幂级数收敛 由于的对角线元素为所以 这些复数项幂级数收敛 且 矩阵理论第9讲 17 矩阵函数在矩阵分析中的应用 由于相似矩阵具有相同的特征值 所以的特征值为由此 的特征值为 矩阵理论第9讲 18 矩阵函数在矩阵分析中的应用 需要注意的几点除非A为对角矩阵 矩阵理论第9讲 19 矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例利用Hamilton Cayley定理已知求解 由Hamilton Cayley定理 矩阵理论第9讲 20 矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例利用相似对角化若同理 矩阵理论第9讲 21 矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例利用Jordan标准形Jordan块的幂 矩阵理论第9讲 22 矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵理论第9讲 23 矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵理论第9讲 24 矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵理论第9讲 25 矩阵函数在矩阵分析中的应用 矩阵理论第9讲 26 矩阵函数在矩阵分析中的应用 已知求 矩阵理论第9讲 27 矩阵函数在矩阵分析中的应用 的求法举例利用矩阵多项式为计算利用多项式的带余除法 将表示为如下形式 由Hamilton Cayley定理令因为所以 矩阵理论第9讲 28 矩阵函数在矩阵分析中的应用 已知求 利用矩阵A的最小多项式 还可以进一步降低的次数 从而使待定的系数减少 进一步化简计算 矩阵理论第9讲 29 矩阵的微分和积分 以函数为元素的矩阵 函数矩阵函数矩阵的微分和积分泛函数量函数对矩阵变量的导数向量值函数或矩阵值函数对向量变量或矩阵变量的导数 函数矩阵的微分和积分定义以变量t的函数为元素