因式分解——分组分解法.doc

北京四中撰稿：史卫红编审：谷丹责编：赵云洁因式分解分组分解法一、分组分解法分解因式的意义我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。二、学习指导：如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法，公式法和十字相乘法的多项式。分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。三、例题分析例1、分解因式：（1）2x2+2xy-3x-3y (2)a2-b2+4a-4b (3)4x2-9y2-24yz-16z2 (4)x3-x2-x+1分析：首先注意到前两项的公因式2x和后两项的公因式-3，分别把它们提出来，剩下的是相同因式（x+y），可以继续用提公因式法分解。此题也可以考虑含有y的项分在一组。如下面法（二）解法。解(一)2x2+2xy-3x-3y =(2x2+2xy)-(3x+3y) =2x(x+y)-3(x+y) =(x+y) (2x-3)解(二)2x2+2xy-3x-3y =(2x2-3x)+(2xy-3y) =x(2x-3)+y(2x-3) =(2x-3)(x+y)说明：解法1和解法2虽然是不同的分组方式，但却有着相同的内在联系，即两组中的对应项系数成比例，分别为1：1和2：（-3）。这也是分组中必须遵循的规律之一。(2)分析：若将此题按上题中法（二）方法分组将含有a的项分在一组即a2+4a=a(a+4)，含有b的项一组即-b2-4b=-b(b+4)，那a(a+4)与-b(b+4)再没有公因式可提，不可再分解下去。可先将a2-b2一组应用平方差公式，再提出因式。解：a2-b2+4a-4b =(a2-b2)+(4a-4b) =(a+b)(a-b)+4(a-b) =(a-b) (a+b+4)(3)若将此题应用（2）题方法分组将4x2-9y2一组应用平方差公式，或者将4x2-16z2一组应用平方差公式后再没有公因式可提，分组失败。观察题中特点，后三项符合完全平方公式，将此题二、三、四项分组先用完全平方公式，再用平方差公式完成分解。解：4x2-9y2-24yz-16z2 =4x2-(9y2+24yz+16z2) =(2x)2-(3y+4z)2 =(2x+3y+4z)(2x-3y-4z)(4)分析：此题按照系数比为1或者为-1，可以有不同的分组方法。法（一）x3-x2-x+1 =(x3-x2)-(x-1) =x2(x-1)-(x-1) =(x-1)(x2-1) =(x-1)(x+1)(x-1) =(x+1)(x-1)2法（二）原式=(x3-x)-(x2-1) =x(x2-1)-(x2-1) =(x2-1)(x-1) =(x+1)(x-1)(x-1) =(x+1)(x-1)2说明：分组时，不仅要注意各项的系数，还要注意到各项系数间的关系，这样可以启示我们对下一步分解的预测，如下一步是提公因式还是应用公式等。说明：一般对于四项式的多项式的分解，若分组后可直接提取公因式，一般将四项式两项两项分成两组，并在各组提公因式后，它们的另一个因式恰好相同，在组与组之间仍有公因式可提，如例1（1）题的两种解法。两项两项分组后也可各自用平方差公式，再提取组之间的公因式。如例1的（2）题、（4）题。若分组后可应用公式还可将四项式中进行三项和一项分组先用完全平方公式再应用平方差公式。如例1中的（3）题。例2、分解因式：（1）m2+n2-2mn+n-m分析：此题还是一个五项式，其中m2-2mn +n2是完全平方公式，且与-m+n=-(m-n)之间有公因式可提取，因而可采用三项、二项分组。解：m2+n2-2mn+n-m =(m2-2mn+n2)-(m-n) =(m-n)2-(m-n) =(m-n)(m-n-1)例3分解因式:(1)x2-y2-z2-2yz+1-2x (2)x2-6xy+9y2-10x+30y+25 (3)a2-a2b+ab2-a+b-b2分析：此题是一个六项式，经过分析可采用三项，三项分组，x2-2x+1一组，-y2-2yz-z2一组，分别用完全平方公式后再用平方差公式分解。解：x2-y2-z2-2yz+1-2x =(x2-2x+1)-(y2+2yz+z2) =(x-1)2-(y+z)2 =(x-1+y+z)(x-1-y-z)分析(2)：此题也是六项式，前三项是(x-3y)2，而最后一项是52，中间两项恰巧能分解成-25(x-3y)，所以可以用完全平方公式来分解。解：x2-6xy+9y2-10x+30y+25 =(x2-6xy+9y2)-10x+30y+52 =(x-3y)2-2(x-3y)5+52 =(x-3y-5)2（3）分析此题还是六项式，但都不具备上述两题的特征，可将这六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。解：a2-a2b+ab2-a+b-b2 =(a2-b2)-(a2b-ab2)-(a-b) =(a+b)(a-b)-ab(a-b)-(a-b) =(a-b)(a+b-ab-1) =(a-b)(b-1)-a(b-1) =(a-b)(b-1)(1-a)说明：此题分解到(a-b)(a+b-ab-1)时要用观察提取公因式的剩余因式(a+b-ab-1)是否能再分解因式。因为它又是四项式，不能应用公式和提取公因式可再考虑分组分解法采用二项二项分组法再提取公因式。例4分解因式：（1）3x3+6x2y-3x2z-6xyz (2)ab(c2+d2)+cd(a2+b2) (3)(ax+by)2+(bx-ay)2 (4)a2-4ab+3b2+2bc-c2分析：此题是四项式，这四项中有公因式3x应先提取公因式再将剩余因式进行二、二分组。解: 3x3+6x2y-3x2z-6xyz =3x(x2+2xy-xz-2yz) =3x(x2+2xy)-(xz+2yz) =3xx(x+2y)-z(x+2y) =3x(x+2y) (x-z) =3x(x+2y)(x-z)(2)分析：多项式带有括号，不便于直接分组，先将括号去掉，整理后再分组分解。解：ab(c2+d2)+cd(a2+b2) =abc2+abd2+a2cd+b2cd =(abc2+a2cd)+(abd2+b2cd) =ac(bc+ad)+bd(ad+bc) =(bc+ad)(ac+bd)(3)先将括号部分分别用完全平方公式打开再分组分解。解：(ax+by)2+(bx-ay)2 =a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2 =a2x2+b2y2+b2x2+a2y2 =(a2x2+b2x2)+(b2y2+a2y2) =x2(a2+b2)+y2(a2+b2) =(a2+b2)(x2+y2)（4）分析：将3b2变形为4b2-b2再分组进行。解：a2-4ab+3b2+2bc-c2 =a2-4ab+4b2-b2+2bc-c2 =(a2-4ab+4b2)-(b2-2bc+c2) =(a-2b)2-(b-c)2 =(a-2b+b-c)(a-2b-b+c) =(a-b-c)(a-3b+c)说明：（4）题在分组前先采用了拆项后再重新分组，达到提取公因式的目的。四注意问题提示：分组分解法主要应用于四项以上的多项式的因式分解。分析题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组。分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进行因式分解。对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项结组都可