高斯求和(一)邓小琼.doc

高斯求和（一）教学目标：（1）掌握等差数列的定义，了解等差数列首项，末项和公差。 （2）能够运用等差数列的公式求解一般等差问题。教学过程：1、 引入：世界上有一名著名的数学家叫高斯，他在很小的时候，老师给同学们出了一道数学题，让大家计算：1+2+3+4+5+99+100=? 高斯仔细观察后，很快就计算出了结果。你们能猜出他是怎么计算的吗？高斯解题过程：1+100=2+99=3+98=49+52=50+51=101，共有1002=50（个）。于是 1+2+3+4+5+99+100=（1+100）1002=5050在这里，出现了一列数据。我们定义：按一定次序排列的一串数叫做数列。一个数列，如果从第二项开始，每一项减去它紧前边的一项，所得的差都相等，就叫做等差数列。等差数列中的每一个数都叫做项，其中从左起第一项叫做首项，最后一项叫做末项，项的个数叫做项数。等差数列中相邻两项的差叫做公差。例如：上面高斯求解的问题：首项是1，末项是100，项数是100，公差是1.我们得出高斯求解方法更多的是告诉我们一个求解等差数列的公式： 等差数列的和=（首项+末项）项数22、 专题讲解例一：找出下列算式当中的首项，末项，项数和公差。（1）2 ，5 ，8 ，11 ，14 ，17 ，20 ，23（2）0 ，4 ，8 ，12 ，16 ，20 ，24 ，28（3）3 ，15 ，27 ，39 ，51 ，63 让学生上黑板演示结果。（1） 首项2，末项23，项数8，公差3（2） 首项0，末项28，项数8，公差4（3） 首项3，末项63，项数6，公差12知道在等差数列中如何准备找出首项，末项，项数及公差以后，更重要的是熟练运用等差数列求和公式解决一般等差数列问题。例二：1+2+3+4+1998+1999.问：算式当中的首项，末项，项数分别是什么？答：首项是1，末项是1999，项数是1999。解析：原式=（1+1999）19992 =200019992 =1999000小结：这是一道一般等差数列类型题，可以直接找到求解公式中需要的几个量。在计算过程中，当一个数乘另外一个数末尾有零时，先不看末尾的零，计算结束后，将零的相同个数添在积的末尾就行。练习：（1）1+2+3+4+250 （2）1+2+3+4+200 （3）1+3+5+7+97+99例三：求出所有两位数的和。问：（1）两位数是从哪个数开始，又是到哪个数为止？ （2）两位数一共有多少个？解：原式=（10+99）902 =109902 =4905注意：解上面这道题需要我们动脑经的是先要准确的写出这个数列，找出数列的首项，末项和项数。在解题过程中会用到我们刚学过的三位数乘两位数的乘法，计算一定要小心。练习：（1）40+41+42+43+80+81 （2）10+11+12+49+50例四：某单位的总务处主任，不小心把50把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？问：（1）“最多”应该怎么样理解？（2）能否试着把数列写出来？分析：这是一道解决实际问题的题，就要注意联系生活实际来思考。如开第一把锁时，试了49把钥匙都不对，那所剩下的一把肯定能打开，不用试50次，试49次就可以了。同样开第二把锁，最多试48次，依次类推，试完49把锁，剩下最后的一把不用试，一定能打开。这道题，开锁最多要试多少次，应该是一个，49+48+47+1+0的等差数列的和。它的首项是49，末项是0，项数是50，公差是1。根据等差数列求和公式就可以求出最多要试多少次。解：49+48+47+1+0=（49+0）502=1225练习：（1）新年到了，10个好朋友聚会，每两个人之间要握一次手，他们一共要握多少次手？（2）市里举行数学竞赛，参加数学竞赛的有16个小组，每两组之间都要赛一场，他们一共要进行多少场比赛？难度上升题：（1）437-1-2-3-4-29（2）2000-1-2-3-4-60（3）（1+3+5+1997+1999）（2+4+6+1996+1998）（4）盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这只球拿出，变成了3只球后放回盒子里，第二次从盒子里拿出2只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里，如此继续下去，最后第10次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里。这时盒子里共有多少只球？解：（1）原式=437-（1+29）292 =2 （2）原式=2000-（1+60）602 =170（3）法一：原式=（1+1999）10002（2+1998）9992 =1000000999000 =1000法二：原式=1+（32）+（54）+（19991998） =1+1+1+1（ 共1000个）=1000（4） 解析：找出盒子球的变化规律，第一次增加2个球，第二次增加22个球，第三次增加23个球，如此下去，第10次增加102个球。即问题变为求解1+2+22+23+102 （a）式的和。解：（a）式=1+2+4+6+20 =1+（2+20）102 =111(只)总结：今天学习