高等代数的应用.doc

高等代数的应用经济管理应用 思源1106 11211110、11291162、11211008 龙诚、张林、贾世尊【摘要】：代数这门课对每一个大学生来说应该并不陌生，从简单的一元一次方程到复杂的以矩阵、向量、向量空间的变换等为研究对象的线性代数和多项式代数，大多数同学基本上在上学期间都会与这门课之间存在着或多或少的联系，由此可见此门课程的重要性。但这门课的意义并不是只存在与教科书之中，它在实际生活中的很多领域都起到了至关重要的作用，普通到财产管理，高级到航天航空，高等代数都有着它必不可少的存在价值。纵观人类历史，不难发现，高等代数也伴随着人类一起进化与发展，由此可见，高等代数正是在人类对其进行应用的基础上发展起来的。而高等代数的美妙之处正在于它能将看似无关的事物巧妙地联系在一起，而人们如今正在努力利用之间的这些联系并将它扩大化，在各个领域进行创新与革命。【关键词】高等代数、矩阵、应用高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数、初步 、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也有很大的不同了。l 矩阵在经济管理的应用：矩阵即矩阵表，作为信息储存的一种格式，被誉为“数据结构之母”，是指由集合S中的元素所构成的m行n列的矩形表，称为mn矩阵，简记为S（aij)mn，其中aij为S的第i行第j列的元。矩阵分析法是数学分析的重要工具，矩阵论既是一门发展完善、理论严谨、方法独特的数学基础，又广泛应用于各个领域。在经济管理中，矩阵分析法作为一门管理决策工具，其应用范围越来越广，理论越来越完善。在实际运作中，矩阵分析法具有简单明了。易于掌握的特点。一、矩阵分析法在企业战略管理中的运用1、 波斯顿矩阵波斯顿矩阵是美国波斯顿咨询公司（BCG）在1960年为一家造纸公司咨询时而提出的一种投资组合分析方法。该矩阵是用两次衡量标准构成的矩阵，它把需求数量的增长率作为战略经营领域的预期衡量标准，把企业的相对市场占有率作为竞争地位的衡量标准。任何一个战略经营领域在未来的增长率被估测、相对的市场占有率被计算出的情况下，都能在这一矩阵中标出相应的位置。波士斯矩阵的分析前提是认为企业的相对竞争地位（以相对市场份额指标表示）和业务增长率（以市场增长率指标表示）决定了企业业务组合中的某一特定业务应当采取何种战略。矩阵的横轴表示企业在行业中的相对市场份额地位，相对市场份额的分界线为1.0至1.5，划分出高、低两个区域。纵轴表示市场增长率，是指企业所在行业某项业务前后两年市场销售增长百分比，在分析中通常用10%的市场增长率作为增长高、低的界限。 根据有关业务或产品的行业市场增长率和企业相对市场份额标准，波士斯矩阵可以把企业全部的经营业务定位在四个区域中，分别为： 高增长/低竞争地位的“问题业务”。这类业务通常处于最差的现金流量状态。一方面，新创业的市场增长率高，企业需要大量的投资支持其生产经营活动；另一方面，其相对份额地位低，能够生成的资金很小。因此，企业在对于“问题业务”的进一步投资上需要进行分析，判断使其转移到“明星业务”所需要的投资量分析其未来盈利，研究是否值得投资等问题。 高增长/强竞争地位的“明星业务”。这类业务处于迅速增长的市场，具有限大的市场份额。在企业的全部业务当中，“明星业务”在增长和获利上有着极好的长期机会，但它们是企业资源的主要消费者，需要大量的投资，为保护或扩展“明星业务”在增长的市场中占主导地位，企业应在短期内优先供给它们所需的资源，支持它们继续发展。 低增长/强竞争地位的“金牛业务”，这类业务处于成熟的低速增长的市场之中，市场地位有利，盈利率高，本身不需要投资，反而能为企业提供大量资金，用以支持其他业务的发展。 低增长/弱竞争地位的“瘦狗业务”。这类业务处于饱和的市场当中，竞争激烈，可获利润很低，不能成为企业资金的来源。如果这类经营业务还能自我维持，则应该缩小经营范围，加强内部管理。如果这类业务已经彻底失败，企业应及早采取措施，清理业务或退出经营。 波斯顿矩阵指出了每个经营业务竞争中的地位，使企业了解它的作用或任务，从而有选择和集中地运用企业有限的资金；将企业不同的经营业务综合到一个矩阵中，具有简单明了的效果。2、 麦肯西矩阵 麦肯西矩阵是为了克服波斯顿的不足而产生的新的战略经营领域比较方法，它与波斯顿矩阵根本区别是：用战略经营领域的吸引力代替了需求增长率，用企业竞争地位代替了相对市场占有率。麦肯西矩阵不仅适用于波斯顿矩阵所能适用的范围，而且对需求、技术寿命周期曲线的各个阶段，以及许多不同竞争环境都是适用的。 麦肯西矩阵的分析方法与波斯顿矩阵相似，在不同的区域企业应采取不同的经营战略：在区域，企业战略经营领域的吸引力强、企业处于优势竞争地位，是企业产生大量现金流的区域，前景乐观；在区域，虽然企业战略经营领域的吸引力强，但是企业处于劣势竞争地位，企业的产品处在成长期，如果产品市场前景广阔，就应该加大投资；在区域，企业处于优势竞争地位，但企业战略经营领域的吸引力较弱，产品市场前景不好，应该压缩企业规模、加强内部管理；在区域，企业战略经营领域的吸引力弱并处于劣势竞争地位，应该考虑关、停、并、转，清理业务或退出经营。3、产品/市场演变矩阵 这是美国学者霍费针对麦肯西矩阵的局限性设计出一个具有15个方格的矩阵，用以评价企业的经营状况。企业各项经营业务在矩阵中所处的不同地位。A项业务类似明星业务，占有很大的市场率，但需要企业投入大量的资源以支持，以加强其竞争地位。B项经营业务与A项业务有着同样的前景，但该业务具有很强的竞争地位的条件下却没有取得较大的市场占有率。企业只有找到真正的原因，制定出完善的修正计划以后，才能进一步分配资源给B项业务。F项业务和E项业务都是金牛业务，可以为企业提供资金。G项业务则变成瘦狗业务，企业应考虑所要采取措施，甚至为最终撤出该经营领域做准备。4、三种矩阵的选择 为了正确地运用这三种矩阵，企业应先考虑以下情况： 、企业如果考虑测定其总体投资组合，应该首先选择波斯顿矩阵。 、小型多种经营企业一般多采用产品/市场演变矩阵，大型多种经营企业则多运用麦肯西矩阵。 、企业经营业务之间如果处于松散的状态，则应该运用GE矩阵确定企业的经营状况；如果企业大部分经营业务集中在少数几个密切相关的产品/细分市场上，则应该选用产品/市场演变矩阵。 二、矩阵分析法在营销活动中的应用 1、目标市场战略选择矩阵 企业将整个市场进行细分后，根据企业资源条件和竞争者状况，选择若干个子市场作为自己的目标市场，这就是目标市场选择，企业往往就是目标市场选择，企业往往根据市场和产品状况来发现和了解市场机会，进行目标市场选择。 如图所示，根据产品研发和市场开发程度，将市场划分为四个区域，其中在第区域，企业的新产品在新的市场销售，可采取多元化战略；在第区域，企业原有产品在新的市场销售，可采取市场开发战略；在第区域，企业的新产品在原有市场销售，可实行产品发展战略；在第区域，企业的产品在原有市场销售，可实行市场渗透战略。 2、产品寿命周期投入期营销策略选择矩阵 在产品寿命周期的投入阶段，企业的战略思想就是要把握时机、快速推销、进入市场，常见的手段是价格和广告促销。因此，根据价格与费用之间的关系，可将市 场划分为如下图所示四个区域：在第 区域，价格高，费用低，主要适用于改进的产品，其可采取选择型渗透策略；在第区域，高价格高费用，主要适用与保健类产品，企业采取双高策略，可快速取回投资，第区域，低价格高费用，主要适用于饮料类产品，企业可采取密集型渗透策略；第区域，低价格低费用，主要适用于报纸类产品，可采取双低策略。l 矩阵在投入产出方面的应用：投入产出模型是研究一个经济系统各部门之间“投入”月“产出”关系的线性模型，其可应用于微观经济系统，也可应用于宏观经济系统的综合平衡分析。例：某厂生产三种成品，每件产品的成本及每季度生产件数已知。试提供该厂每季度在每种产品上的成本表。成本矩阵为M，年季度产量为P，且M=，P=则将M和P相乘，得到的矩阵设为Q，Q的第一行、第一列元素为Q（1,1）=0.1*4000+0.3*2000+0.15*5800=1870Q=不难看出，Q表示了夏季消耗的原材料总成本。从线性变换的角度看，Q矩阵把以件数为单位的产品空间映射到了以元为单位的成本空间。而在对资源利用问题的研究应将资源利用的优化建模和投入产出分析结合起来。其对传统的投入产出模型进行改造，加入新的项目内容，即资源项目。改造以后的投入产出表如下：资源利用部门(生产部门) 最终产品(值) 总产品(值) 资源利用部门(生产部门) 资源 将资源利用的优化建模和投入产出分析结合起来，从中可得到资源利用过程中各个部门之间的相互联系，有利于对资源利用的正确评估。l 向量在经济管理方面的应用：现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。 向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。 l 建模在企业投入产生方面的应用：问题 某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付0.55元的煤费及0.10元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为25000元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？数学模型 设x1为煤矿本周内的总产值，x2为电厂本周的总产值，x3为铁路本周内的总产值，则 （4.1）即即矩阵A称为直接消耗矩阵，X称为产出向量，Y称为需求向量，则方程组（4.1）为即， （4.2）其中矩阵E为单位矩阵，（E-A）称为列昂杰夫矩阵，列昂杰夫矩阵为非奇异矩阵.投入产出分析表 设D=（1，1，1）C.矩阵B称为完全消耗矩阵，它与矩阵A一起在各个部门之间的投入产生中起平衡作用.矩阵C可以称为投入产出矩阵，它的元素表示煤矿、电厂、铁路之间的投入产出关系.向量D称为总投入向量，它的元素是矩阵C的对应列元素之和，分别表示煤矿、电厂、铁路得到的总投入.由矩阵C，向量Y，X和D，可得投入产出分析表4.1. 表4.1 投入产出分析表 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿电厂铁路总投入计算求解 按（4.2）式解方程组可得产出向量X，于是可计算矩阵C和向量D，计算结果如表4.2. 表4.2 投入产出计算结果 单位：元煤矿电厂铁路外界需求总产出煤矿036505.9615581.5150000102087.48电厂