数学思维中常用的思维方法.pdf

19 94年第2期 中学数学教学 征文选载数学思维中常用的思维方法 华南师大 傅学顺 邮编 5 106 3 1 摘要 研究数学忍维才法是中学数学教学研究的重要课题 本文在波里亚等人研 究成果 的基拙 上 结合中学教学实际与中学生 思维实际 扼要介绍 了常用的数学思维 方 法十二则 知识就是力量 这是鼓励人们用功读书的口号 但它只说对 了事情 的一半 知识并非全部力量 尸班学生 同师授课 基本知识相同 数学思维水平差异却很大 对此人们往往归因于遗传因子 其实据我 们的研 究成果 高 材生的思维特征和心理特征 见拙著之数学才能的培养 高材生都有一套保证其每天乃至每堂课要比其他同 学收获大得多的思维方式方法 同班学生水平差异很大 差就差在思维方法之多寡和优劣 差在课本以外知识和 思维方法的积累 还差在心理特征尤其是 思维积极性的悬殊 数学课本上以定理面貌出现的 方法 大都属 知识范畴 它们是前辈数学家的思维结果 并非思维过程中所 用思维方法本身 比如数学归纳法 老师只讲如何用它证明一大类有关自然数命题 却不提帕斯卡为什么要寻找 这种证法 如何发明这种证法 又为什么它不能证明另一大类有关 自然数命题 最早研究思维方法的笛卡尔 他析 出了思维方法若干 但寻找 万 能方法 的夙愿始终未能实现 莱布尼兹步 其后尘也未能如愿 因为这种方法根本就不存在 波里亚吸取两位大师的教训 转而寻找适 用于某个范围的思维 方法 把笛卡尔等人的成果也收集起来 写成 数学的发现 等名著 波里亚开辟的这一领域不是数学分支 而是方法论分支 应用于教学 则是新型教学法 因为他着眼 于 人才 培养 所以他的专著没有抽象化 概念化 原则化 哲学化等倾向 可惜他晚年才从数学各分支抽出身来 他只是 研究了一般教师力所能提的间题 往往忽视了教师们提不出来而又偏偏带关键性 的间题 造成他的理论和方法 还不完善 与中学教学实际 与 中学生思维实 际之间还有一道 鸿沟 当然 这道鸿沟并不能抵 销开辟这一领域 的 丰功伟绩 正因如此 他第二次获得 数学贡献卓越奖 的殊荣 其专著被迅速译成各国文字 六十年代初 中科院数学所正副所长华罗庚 关肇 直教授 出面组织我们研究波里亚 距令整整 3 0年 鉴于我 国数学教育水平处在世界前列 还有华罗庚 关肇直 傅种孙 钱学森等名家的方法可借鉴 我们对波里亚的研究 有着强大的基础 才得以深入下去 不仅基本填平了那道鸿沟 而 且根据思维实际的需要作了发展和创新 下面 让我们扼要介绍常用的数学思维方 法十二则 如要实际应用 尚有一些细则 还请参考我们的四本拙 著凡 120 万字 一 21 3 1 1 见微知著联想法则 同班学生掌握的基本知识相同 可是 临场把急用知识动员 出来的可能性不同 动员速度也不同 深究之 有 两个关键 一是有无搜索到所需的知识 二是搜索到了是否能认得它有用 遇到解新间题 如何缩小搜索面和迅 速认出谁能派上用场 它们同是绝招 见微知著联想 的结果 这一绝招对思路有很强的导向性 往往可以把注意 力迅速引导到所需知识和思维方法的邻域 并迅速作出关于解题方向的猜 测性判断 见微知著联想法则的精髓是 一看到新间题 的假设或结论 已知或未知 或一看到反拐弯转 化出来的中间结 果或猜想中间站 或与已解过的老问题有某些相同的成份或相同的结构 甚至仅仅有类似之处 就能立即回想 其 解法 考虑移植的可能性 并立即作出快速反应 注意 在许多情况下 见微知著联想法则一时难以用上 必须先 使用转化法则等其他法则 l j数学思维能力的训练 与王屏山合 作 下同 广东人 民出版社 198 5 年 幻 中学生数学灵感的培育 广东教育出版社 1 991 年 3 数学才能的培养 盛南大学出版社 19 91 年 4 数学思维方法 广东高教出版社 1994 年 中学数 学教学 19 94 年第2期 2 类比猜测法则 倘若发现A B 两类事物有许多类似性质 A 的性 质尸 尸2 P 分别类似于 B 的性质P l 尸矿 尸了 则对 于A的性质尸 我们完全有理由怀疑B也具有类似的性质P 这就是类 比猜测法 则 有了怀疑或猜测 就会引起探索行动 许多研究题目由此拟就 并最终导致发现新的科学事实或给予否定 显然 使用类比要比使用见徽知 著联想浦要更多更系统的类似之处 因而受到 的限制较大 用起来就难些 换言之 见徽知著联想适用的间题 要比类比适用的间题多得多 因此 我们的见微知著联 想法则是类比法则的 实用补充和发展 若两者能力合起来用 则思维水平将出现一个飞跃 3 特殊化 极限化猜测法则 我们解某些数学间题 往往 从特殊情况或极限情况下手 或从相邻特殊情况下手 力图从具体 特殊情况的 解法中悟出规律性 猜到一般情况的解法 这就是特殊化 极限化猜测法则 如对于定值间题 首先必须利用特殊情况或极限情况猜出定值 把定性问题变成定量间题 然后才能从特殊 情况的解法悟出一般情况的解法 搞特殊化 极限化猜测时 并非越特殊越好 选取特殊情况或极限情况的原则是 在许可范 围内 2 可 猜出定值 3 有利于设计一般情况的解法 定值的表示 和转化也很有讲究 其成份和形式必须有利于拼凑一般 情况的解法 特殊 化 极限化猜测可视为见微知著的特殊应用 即取特殊 极限 情况之 微 求一般情况解法之 著 因 而可称为 取 微求著 与其相应的是普泊化法则 有些问题不好解决 就寻求更一般的间题 说不定后者反而更好解决 例如可用 数学归纳法证明的一类有关自然数命题 如求证 1 986 1 9 8 5 198 5 姗 涉及大量运算或对数近似计算 倒不如求证 n 1 表示自己希望的 多么接近 的程度 进而找 出使 l y一 酬 的 a 的古邻域 表示确实 可 以做到就多么接近 于是 他发明了 一 古法则 10 波里亚形象化法则 设法把所给的新间题形象化 用图象 状态图或表格 记号等形象直观地揭示未知的与已知的各量之间的关 系 假设中各款之间的关系 为使用各种思维方法打好基础 从而使问题得解 这就是波里亚的形象化法则 n 判断进展法则 在分析成功之前 谁都无法预见沿着初步计划走下去会必定成功 中途放弃原计划 另辟新路的情况经常发 生 如何判断进展有效 就变得非常重要 取得进展的标志是 1 找到了新间题的实际背景 想起了有关的老间题 或认出了反应块 或找到 了辅助问题 2 发现逆命题为真 逆命题实际上也是辅助问题 3 又用上了已知条件一款 或又发现隐藏的巳知条款 甚 至整个条件都用上了 4 又凑出一个所需成份 或又消灭了一个累赞成份 甚至实现了同成份 1 2 扩大思维系统 法则 乍一看 本法则并非解题 的思维方 法 倒象是解题的 善后 实际上 本法则比什么 思维方法都重要 法则 1 11 与它的关系就好比果树与土壤 任何解题思维活动都要依靠它逐渐积累起来的墓础 为此应注意以下 数点 1 尽量把问题概括成定理形式 以增强记忆和便于急用时动员 2 总结顺便得到的数据 公式和 新命题 3 联系类似间题 看能否析出反应块 或思考能否把老问题及其解法加以改造 4 总结招数甚至 思维方法 5 尽量把笨解法修改成巧解法 6 尽量加强结论 或尽量减弱假设 造 出更精 更强的命题 并考虑逆命题真不真 7 考虑能否利用解本题的所有收益 来处理某个悬而未决的间题 这诸项活动正是保证每天 每堂课 甚至解每道题都比别人收获大 保证思维水平连 同知识 动员速度都大大 提高 保证不断良性 循环达到拔尖更 尖 的决窍l 当然 常用的思维方法远不止这些 比如 l 检验题目的合理