第3节 抽样定理.ppt

实际的宏观物理过程都是连续变化的 物理量的空间分部也是连续变化的 在对随时间或空间变化的物理量进行检测 记录 存储 处理和传送时 常常并不能够用连续方式进行 2 3 抽样定理 例如 现今广泛使用的CCD摄像机记录连续变化的图像时 每秒种只记录30幅图像 表达每幅图像所用的抽样点数由CCD的像素数所限制 在今天的数字时代 以往用模拟方式连续进行的信息检测 记录 存储 处理和传送也被数字方式取代 连续变化的物理量要用它的一些离散分布的抽样值来表示 而且这些抽样值的表达方式也是离散的 那么这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同 换句话说 是否可以由这些抽样值恢复一个连续的原函数 就是一个必须回答的问题 研究信息论的先驱惠特克 香农指出 对于带限函数 答案是肯定的 它涉及的数学基础是惠特克 香农发表的用插值理论展开函数的方法 这一节讨论的就是惠特克 香农抽样定理的二维形式 首先建立对连续变化的物理量进行抽样的数学模型 最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽样的函数相乘 如果被抽样函数为g x y 抽样函数gs x y 可表示为 2 3 1函数的抽样 式中二维梳状函数comb x X comb y Y 梳状函数是函数的集合 它与任何函数的乘积就是无理数分布在x y平面上在x y两方向上间距为X和Y的 函数与该函数的乘积 任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数 只是 函数的 大小 被该函数在 函数位置上的函数值所调制 利用卷积定理和梳状函数的付里叶变换 可计算抽样函数的频谱如下 二维梳状函数comb x X comb y Y 与g x y 相乘就是无理数分布在x y平面上在x y两方向上间距为X和Y的函数与该函数的乘积 任何函数与函数相乘的结果仍然是函数 只是函数的 大小 被该函数在函数位置上的函数值所调制 利用卷积定理和梳状函数的付里叶变换 可计算抽样函数的频谱如下 这一结果说明空域上对函数g的抽样导致函数频谱G周期性复现在谱面上以点为中心的位置上 若函数g x y 是限带函数 即它的频谱仅在谱面上一个有限的区域内不为零 若包围该区域的最小矩形在fx和fy方向上的宽度分别为2Bx和2By 则欲使Gs fx fy 中周期复现的函数不会相互混叠 必须使 X是空间域的量 它的倒数1 X为频域量 Bx By为频域量 看频域 函数频谱 以上是空域的情况 物理意思是 任何函数与 函数相乘的结果仍是 函数 或者说抽样间隔必须满足 这时就可以用滤波的方法 从抽样函数的频谱Gs fx fy 抽取出原函数的频谱G fx fy 再由G fx fy 恢复原函数 最大抽样间隔 称奈奎斯特 Nyquist 抽样间隔 抽样函数 原函数频谱 抽样函数频谱 2 3 2原函数的复原 原函数的复原首先要恢复其频谱 在满足抽样间隔的情况下 只要用宽度分别为2Bx和2By的位于原点的矩形函数去乘抽样函数的频谱Gs fx fy 就可得到原来函数的频谱 在频域中进行的这种操作去掉了部分频谱成分 常常称做 滤波 进而对原函数频谱做付里叶逆变换 就可得到原函数 按照这个思路 来计算用抽样函数值表示的原函数 用频域中宽度为2Bx和2By的位于原点的矩形函数作为滤波函数 抽样函数gs x y 被抽样函数g x y 滤波函数 从频域看 滤波过程可写作 原函数复原 根据卷积定理 在空域中得到 式中 至此 用抽样函数值表示的原函数计算出来了 有趣的是在这个表达式中出现了sinc函数 对初学者有些意外 这是因为选取矩形函数为滤波函数造成的 另外的滤波函数会产其他插值函数 抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知道的非抽样点函数值 在数学上就是插值公式 抽样定理的重要意义在于它表明 准确的插值总是存在的 也就是说 由插值准确恢复原函数可以在一定条件下实现 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样系列代替 而不丢失任何信息 下图用一维函数的有关图像表明了抽样函数和还原的过程及其在频域中发生的相应变化 严格来说 频带有限的函数在物理上并不存在 任何在空域上分布在有限范围内的信号 函数 的频谱在频域的公布都是无限的 但是这些函数的频谱随着频率提高 到一定程度后会大大减小 实际应用时 可以把它们近似看做限带函数 而忽略高频分量引起的误差 2 3 3 空间 带宽积 定义SW为空间 带宽积 SW 16XYBxBy 看二维梳状函数 函数在空域中 x X y Y 空间宽度为2X 2Y 在频域中 fx Bx fy By以外恒为零 频宽为2Bx 2By 故空间宽度为1 2Bx 1 2By 在空域中抽样数为 4XY表示函数在空域中覆盖的面积 4BxBy表示函数在频域中覆盖的面积 在该区域的函数可由数目为16XYBxBy的抽样数来近似表示 SW可用来描述空间信号如图像 场的信息量 也可描述系统处理信息的能力 对于二维函数 如图像 空间 带宽积SW决定了最低必须分辨的像素数及表达它的自由参数或自由度数