（江苏专用）高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质 理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域rrx|xr且xk，kz值域1,11,1r单调性在2k，2k(kz)上递增；在2k，2k(kz)上递减在2k，2k(kz)上递增；在2k，2k(kz)上递减在(k，k)(kz)上递增最值当x2k(kz)时，ymax1；当x2k(kz)时，ymin1当x2k(kz)时，ymax1；当x2k(kz)时，ymin1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k，0)(kz)(k，0) (kz)(，0)(kz)对称轴方程xk(kz)xk(kz)周期22【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x在第一、第四象限是增函数()(2)常数函数f(x)a是周期函数，它没有最小正周期()(3)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(4)已知yksin x1，xr，则y的最大值为k1.()(5)ysin |x|是偶函数()(6)若sin x，则x.()1(教材改编)函数f(x)42cos x的最小值是_，取得最小值时，x的取值集合为_答案2x|x6k，kz解析1cos x1，f(x)min4212，此时的cos x1，x2k，x6k，kz.2函数ylg(sin xcos x)的定义域为_答案解析sin xcos x0，即sin xcos x.画出ysin x及ycos x在0,2上的图象如图由图象知原函数的定义域为.3若函数f(x)sin x(0)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，则_.答案解析f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.4函数y2sin (x，0)的单调递减区间是_答案解析由题意知2k2x2k (kz)，kxk (kz)又x，0，x.5函数f(x)2sinm在x内有两个不同的零点，则m的取值范围是_答案1,2)解析令f(x)0，则m2sin.因为x，故2x，设2xt，则m2sin t，t，根据题意并结合函数图象(图略)可知m的取值范围是1,2). 题型一三角函数的定义域和值域例1(1)函数y的定义域为_(2)函数f(x)3sin在区间0，上的值域为_(3)函数ycos2xsin x(|x|)的最小值为_答案(1)(kz)(2)(3)解析(1)由2sin x10，得sin x，所以2kx2k(kz)(2)当x时，2x，sin，故3sin，即此时函数f(x)的值域是.(3)令tsin x，|x|，t.yt2t12，t时，ymin.思维升华(1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yasin(x)的形式求值域；通过换元，转换成二次函数求值域(1)函数ylg(sin x) 的定义域为_(2)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_答案(1)(2)解析(1)要使函数有意义必须有即解得2kx2k(kz)，函数的定义域为.(2)设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x，且t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.题型二三角函数的单调性例2(1)函数f(x)tan的单调递增区间是_(2)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_答案(1)(kz)(2)解析(1)由k2xk(kz)得，x(kz)，所以函数f(x)tan的单调递增区间为(kz)(2)由x，0得，x，又ysin x在上递减，所以解得.思维升华(1)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yasin(x)或yacos(x)(其中0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解但如果0，那么一定先借助诱导公式将化为正数，防止把单调性弄错(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(1)函数f(x)sin的单调减区间为_(2)已知0，函数f(x)cos在上单调递增，则的取值范围是_答案(1)，kz(2)解析(1)由已知函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间由2k2x2k，kz，得kxk，kz.故所给函数的单调减区间为(kz)(2)函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kz，则kz，解得4k2k，kz，又由4k0，kz且2k0，kz，得k1，所以.题型三三角函数的周期性、对称性命题点1周期性例3在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为_答案解析ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；由图象知y|cos x|的最小正周期为；ycos的最小正周期t；ytan的最小正周期t，故周期为的有：.命题点2求对称轴、对称中心例4(1)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期是，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f(x)的图象，下列叙述正确的有_(填正确的序号)关于直线x对称； 关于直线x对称；关于点对称； 关于点对称(2)已知函数y2sin的图象关于点p(x0,0)对称，若x0，则x0_.答案(1)(2)解析(1)由题意知，2；又由f(x)的图象向右平移个单位后得到ysin2sin，此时关于原点对称，k，kz，k，kz，又|，k1，f(x)sin.当x时，2x，、错误；当x时，2x，正确，错误(2)由题意可知2x0k，kz，故x0，kz，又x0，k0时，x0.命题点3由对称性求参数例5若函数ycos(n*)图象的一个对称中心是，则的最小值为_答案2解析由题意知k(kz)6k2(kz)，又n*，min2.思维升华(1)对于函数yasin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断(2)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：yasin(x)和yacos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(1)已知函数f(x)2sin(x)，对于任意x都有ff，则f的值为_(2)已知函数f(x)sin xacos x的图象关于直线x对称，则实数a的值为_答案(1)2或2(2)解析(1)ff，x是函数f(x)2sin(x)的一条对称轴f2.(2)由x是f(x)图象的对称轴，可得f(0)f，解得a.4三角函数的对称性、周期性、单调性典例(1)(2015四川改编)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是_(填正确的序号)ycosysinysin 2xcos 2xysin xcos x(2)(2015课标全国改编)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，且|，则f(x)的单调递减区间为_(3)已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有f(x)f(x)成立，且f()1，则实数b的值为_思维点拨(1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f(x)的减区间；(3)由f(x)f(x)可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可解析(1)对于，ycossin 2x，符合题意(2)由图象知，周期t22，2，.2k，kz，又|，f(x)cos.由2kx2k，kz，得2kx0)的形式2对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysin t的性质3对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解失误与防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yasin(x)的单调区间时的符号，若0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是_答案2解析根据题意平移后函数的解析式为ysin，将代入得sin 0，则2k，kz，且0，故的最小值为2.4关于函数ytan，下列说法正确的是_是奇函数；在区间上单调递减；为其图象的一个对称中心；最小正周期为.答案解析函数ytan是非奇非偶函数，错误；在区间上单调递增，错误；最小正周期为，错误当x时，tan0，为其图象的一个对称中心，正确5函数ycos 2xsin2x，xr的值域是_答案0,1解析ycos 2xsin2xcos 2x.cos 2x1,1，y0,16函数f(x)sin(2x)的单调增区间是_答案(kz)解析由f(x)sin(2x)sin 2x，2k2x2k (kz)得kxk(kz)7函数ytan的图象与x轴交点的坐标是_答案(kz)解析由2xk(kz)得，x(kz)函数ytan的图象与x轴交点的坐标是(kz)8设函数f(x)3sin(x)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xr，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_答案2解析f(x)3sin(x)的周期t24，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1x2|的最小值为2.9已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)因为0，sin ，所以cos .所以f().(2)因为f(x)sin xcos xcos2 xsin 2xsin 2xcos 2xsin，所以最小正周期t.由2k2x2k，kz，得kxk，kz.所以f(x)的单调递增区间为，kz.10(2015湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x02xasin(x)0550(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2) 将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值解(1)根据表中已知数据，解得a5，2，.数据补全如下表：x02xasin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kz.令2x2k，解得x，kz.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令，解得，kz.由0可知，当k1时，取得最小值.b组专项能力提升(时间：20分钟)11已知函数f(x)2sin(2x)(|)，若f()2，则f(x)的单调递减区间是_答案k，k，(kz)解析由f()2得，f()2sin(2)2sin()2，所以sin()1.因为|0，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_答案解析f(x)在上具有单调性，t .ff，f(x)的一条对称轴为x.又ff，f(x)的一个对称中心的横坐标为.t，t.14.已知函数f(x)atan(x)(0，|)，yf(x)的部分图象如图，则f()_.答案解析由题中图象可知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图象过定点(，0)，所以0atan(2)，即k(kz)，所以k(kz)，又|0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(