数学必修二试题全(附答案).doc

第 1 页 共 42 页 第一章第一章 空间几何体空间几何体 一 选择题一 选择题 1 右面的三视图所示的几何体是 A 六棱台B 六棱锥 C 六棱柱D 六边形 第 1 题 2 已知两个球的表面积之比为 1 9 则这两个球的半径之比为 A 1 3B 1 C 1 9D 1 813 3 一个长方体去掉一个小长方体 所得几何体的正 主 视图与侧 左 视图分别如右图所示 则该几何体的 俯视图为 4 A B 为球面上相异两点 则通过 A B 两点可作球的大圆 圆心与球心重合的截面 圆 有 A 一个B 无穷多个 C 零个D 一个或无穷多个 5 右图是一个几何体的三视图 则此几何体的直观图是 A B C D 6 下图为长方体木块堆成的几何体的三视图 堆成这个几何体的木块共有 A 1 块 B 2 块 C 3 块 D 4 块 7 关于斜二测画法画直观图说法不正确的是 正 主 视图侧 左 视图 ABCD 第 3 题 正视图侧视图 俯视图 第 5 题 正视图俯视图侧视图 第 6 题 第 2 页 共 42 页 A 在实物图中取坐标系不同 所得的直观图有可能不同 B 平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴 C 平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 D 斜二测坐标系取的角可能是 135 8 如图 下列几何体各自的三视图中 有且仅有两个视图相同的是 正方体 圆锥 三棱台 正四棱锥 第 8 题 A B C D 9 一正方体的各顶点都在同一球面上 用过球心的平面去截这个组合体 截面图不能 是 A B C D 10 如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形 则下列结论正确的是 A 原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心 B 原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心 C 原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心 D 原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心 二 填空题二 填空题 11 一圆球形气球 体积是 8 cm3 再打入一些空气后 气球仍然保持为球形 体积是 27 cm3 则气球半径增加的百分率为 12 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面 且侧棱长为 5 它的体对角线的长分别是 9 和 15 则这个棱柱的侧面积是 13 右图是一多面体的展开图 每个面内都给了字母 请根据要求回答问题 第 13 题 第 3 页 共 42 页 如果 A 是多面体的下底面 那么上面的面是 如果面 F 在前面 从左边看是面 B 那么上面的面是 14 一个几何体的三视图如下图所示 则此几何体的体积是 第 14 题 4 俯视图 正视图侧视图 4 4 3 三 解答题三 解答题 15 圆柱内有一个四棱柱 四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形 已知圆柱表面积 为 6 且底面圆直径与母线长相等 求四棱柱的体积 16 下图是一个几何体的三视图 单位 cm 1 画出这个几何体的直观图 不要求写画法 2 求这个几何体的表面积及体积 第 4 页 共 42 页 俯视图 A B C B A C 1 1 正视图 B B A A 3 侧视图 A B C 1 第 16 题 17 如图 在四边形 ABCD 中 DAB 90 ADC 135 AB 5 CD 2 AD 2 求四边形 ABCD 绕直线 AD 旋转一周所成几何体的表面积及2 体积 18 已知正方体 球 底面直径与母线相等的圆柱 它们的表面积相等 试比较它们 的体积 V正方体 V球 V圆柱的大小 第 17 题 第 5 页 共 42 页 19 如图 一个圆锥形容器的高为 a 内装有一定量的水 如果将容器倒置 这时水 所形成的圆锥的高恰为 求原来水面的高度 2 a 20 如图 四棱柱的底面是菱形 各侧面都是长方形 两个对角面也是长方形 面积 分别为 Q1 Q2 求四棱柱的侧面积 第 20 题 第 19 题 第 6 页 共 42 页 第 7 页 共 42 页 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 B 解析 由正视图和侧视图可知几何体为锥体 由俯视图可知几何体为六棱锥 2 A 解析 由设两个球的半径分别为 r R 则 4 r2 4 R2 1 9 r2 R2 1 9 即 r R 1 3 3 C 解析 在根据得到三视图的投影关系 正视图中小长方形位于左侧 小长方形也 位于俯视图的左侧 小长方形位于侧视图的右侧 小长方形一定位于俯视图的下侧 图 C 正确 4 D 解析 A B 不在同一直径的两端点时 过 A B 两点的大圆只有一个 A B 在同一 直径的端点时大圆有无数个 5 D 解析 由几何体的正视图和侧视图可知 几何体上部分为圆锥体 由三个视图可知几 何体下部分为圆柱体 几何体是由圆锥和圆柱组成的组合体 6 D 解析 由三视图可知几何体为右图所示 显然组成几何体的长方体木 块有 4 块 7 C 解析 由平行于 x 轴和 z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变 平行于 y 轴的线段 长度在直观图中是原来的一半 C 不对 8 D 解析 的三个视图均相同 的正视图和侧视图相同 的三个视图均不相同 的正视图和侧视图相同 有且仅有两个视图相同的是 9 A 解析 B 是经过正方体对角面的截面 C 是经过球心且平行于正方体侧面的截面 D 第 6 题 第 8 页 共 42 页 是经过一对平行的侧面的中心 但不是对角面的截面 10 B 解析 在平行投影中线段中点在投影后仍为中点 故选 B 二 填空题二 填空题 11 50 解析 设最初球的半径为 r 则 8 r3 打入空气后的半径为 R 则 27 R3 3 4 3 4 R3 r3 27 8 R r 3 2 气球半径增加的百分率为 50 12 160 解析 依条件得菱形底面对角线的长分别是 和 22 515 200 22 59 56 菱形的边长为 8 4 256 2 56 2 200 22 棱柱的侧面积是 5 4 8 160 13 F C 解析 将多面体看成长方体 A F 为相对侧面 如果 A 是多面体的下底面 那么上 面的面是 F 如果面 F 在前面 从左边看是面 B 则右面看必是 D 于是根据展开图 上 面的面应该是 C 14 80 解析 由三视图可知 几何体是由棱长为 4 的正方体和底面边长为 4 高为 3 的四棱 锥组成 因此它的体积是 V 43 42 3 64 16 80 3 1 三 解答题三 解答题 15 参考答案 设圆柱底面圆半径为 r 则母线长为 2r 圆柱表面积为 6 6 2 r2 4 r2 r 1 四棱柱的底面是圆柱底面的内接正方形 正方形边长为 2 四棱柱的体积 V 2 2 2 2 4 2 16 1 略 2 解 这个几何体是三棱柱 由于底面 ABC 的 BC 边上的高为 1 BC 2 AB 2 第 9 页 共 42 页 故所求全面积 S 2S ABC SBB C C 2SABB A 8 6 cm2 2 几何体的体积 V S ABC BB 2 1 3 3 cm3 2 1 17 解 S表面 S下底面 S台侧面 S锥侧面 52 2 5 5 2 2 60 4 22 V V台 V锥 r1r2 h r2h1 3 1 2 1 r 2 2 r 3 1 3 148 18 解 设正方体的边长为 a 球的半径为 r 圆柱的底面直径为 2R 则 6a2 4 r2 6 R2 S a2 r2 R2 6 S 4 S 6 S V正方体 2 a3 2 a2 3 3 6 S 216 3 S V球 2 2 r2 3 2 2 3 3 4 r 9 16 9 16 3 4 S 108 3 S V圆柱 2 R2 2R 2 4 2 R2 3 4 2 3 6 S 162 3 S V正方体 V圆柱 V球 19 解 设水形成的 圆台 的上下底面半径分别为 r R 高为 h 则 R r a ha 则依条件得 h r2 rR R2 化简得 h a 3 a3 3 3 2 a 2 2 R 8 7 解得 h a 8 7 3 a 即 h a 2 7 1 20 解 设底面边长为 a 侧棱长为 l 底面的两对角线长 分别为 c d 则 2 1 2 1 2 22 2 1 adc Qdl Qcl 3 3 第 20 题 第 10 页 共 42 页 由 得 c 由 得 d 代入 得 a2 l Q1 l Q2 2 1 2 l Q 2 2 2 l Q 4l2a2 2 1 Q 2 2 Q 2la 2 2 2 1 Q Q 故 S侧 4al 2 2 2 2 1 Q Q 第二章第二章 点 直线 平面之间的位置关系点 直线 平面之间的位置关系 一 选择题一 选择题 1 垂直于同一条直线的两条直线一定 A 平行B 相交C 异面D 以上都有可 能 2 正四棱柱中 则异面直线所成角的余弦值 1111 DCBAABCD ABAA2 111 ADBA与 为 A B C D 5 1 5 2 5 3 5 4 3 经过平面外两点与这个平面平行的平面 A 可能没有B 至少有一个C 只有一个D 有无数个 4 点 E F G H 分别为空间四边形 ABCD 中 AB BC CD AD 的中点 若 AC BD 且 AC 与 BD 所成角的大小为 90 则四边形 EFGH 是 A 菱形B 梯形C 正方形D 空间四边形 5 已知 m n 为异面直线 m平面 n平面 l 则 A l 与 m n 都相交B l 与 m n 中至少一条相交 C l 与 m n 都不相交D l 只与 m n 中一条相交 6 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 2 CC1 则二面角 C1 BD C 的32 大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 7 如果平面 外有两点 A B 它们到平面 的距离都是 a 则直线 AB 和平面 第 11 页 共 42 页 的位置关系一定是 A 平行B 相交C 平行或相交D AB 8 设 m n 是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 A m n m nB m n m n C m n m n D m n mn 9 平面 平面 AB CD 是夹在 和 之间的两条线段 E F 分别为 AB CD 的中点 则 EF 与 的关系是 A 平行B 相交C 垂直D 不能确定 10 平面 平面 A B AB 与两平面 所成的角 分别为和 过 A B 分别作两平面交线的垂线 垂足为 A B 则 4 6 AB A B 等于 A 2 1B 3 1 C 3 2D 4 3 二 填空题二 填空题 11 下图是无盖正方体纸盒的展开图 在原正方体中直线 AB CD 所成角的大小为 D C A B 第 11 题 12 正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长均为 2 E F 分别是 AB A1C1的中点 则 EF 的长是 第 10 题 第 12 页 共 42 页 第 12 题 A B C A1 B1 C1 E F 13 如图 AC 是平面 的斜线 且 AO a AO 与 成 60 角 OC AA 于 A A OC 45 则点 A 到直线 OC 的距离是 第 13 题 14 已知正四棱锥的底面边长为 2 侧棱长为 则侧面与底面所成二面角的大小为 5 15 已知 a b 为直线 为平面 a b 对于 a b 的位置关系有下面五个 结论 平行 垂直不相交 垂直相交 相交 不垂直且不相交 其中可能成立的有 个 三 解答题三 解答题 16 正方体 AC1的棱长为 a 1 求证 BD 平面 ACC1A1 2 设 P 为 D1D 中点 求点 P 到平面 ACC1A1的距离 第 13 页 共 42 页 17 如图 ABCD 是正方形 O 是该正方形的中心 P 是平面 ABCD 外一点 PO底 面 ABCD E 是 PC 的中点 求证 1 PA 平面 BDE 2 BD 平面 PAC 18 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PD 平面 ABCD PD DC BC 1 AB 2 AB DC BCD 90 1 求证 PC BC 2 求点 A 到平面 PBC 的距离 19 如图 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 1 求证 AC 平面 B1D1DB 2 求证 BD1 平面 ACB1 3 求三棱锥 B ACB1体积 P O E C D B A 第 17 题 D1 C1 B1 A1 C D B A 第 19 题 第 18 题 第 14 页 共 42 页 20 已知 BCD 中 BCD 90 BC CD 1 AB 平面 BCD ADB 60 E F 分 别是 AC AD 上的动点 且 0 1 AC AE AD AF 1 求证 不论 为何值 总有平面 BEF 平面 ABC 2 当 为何值时 平面 BEF 平面 ACD 第 20 题 第 15 页 共 42 页 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 D 解析 当垂直于直线 l 的两条直线与 l 共面时 两条直线平行 当这两条直线与 l 不共 面时 两条直线平行或相交或异面 2 D 解析 当将 AD1平移至 BC1 连接 A1C1 A1BC1是异面直线 A1B 与 AD1所成的角 在 A1BC1中 容易计算 A1B BC1 A1C1 52 由余弦定理得 cos A1BC1 5 4 3 A 解析 当平面外两点的连线与此平面垂直时 经过这两点与这个平面平行的平面不存 在 4 C 解析 依条件得 EF AC GH AC EF GH 2 1 2 1 又 EH BD FG BD EH FG 2 1 2 1 AB BC EF EH AC 与 BD 所成角的大小为 90 EF 与 EH 所成角的大小为 90 四边形 EFGH 是正方形 5 B 解析 对于 A 满足条件的直线 l 可以与 m n 中一条相交 对于 C 若 l 与 m n 都 不相交 l 分别与 m n 共面 l m l n m n 矛盾 对于 D 满足条件的直 线可以与 m n 都相交 6 A 解析 若设 AC BD 交于点 O 连接 C1O 则 BD CO BD C1O COC1是二面角 C1 BD C 的平面角 tan COC1 BC CC1 3 3 COC1 30 第 16 页 共 42 页 7 C 解析 当 A B 两点在 同侧时 直线 AB 和平面 平行 当 A B 两点在 异侧时 直线 AB 和平面 相交 8 B 解析 对于 A m n m n 可以不垂直 对于 C m n m n 可以不垂直 对于 D m n m n 可以不垂直 9 A 解析 设 A C B D 若 AB CD 共面 AC BD E F 分别为 AB CD 的中点 EF AC 且 EF AC EF 若 AB CD 为异面直线 则过点 F 做直线 MN AB MN 交 于 M 交 于 N 则 MC ND F 为的 MN 中点 EF AM 且 EF AM EF 10 A 解析 连接 AB A B 于是 ABA BAB 6 4 设 AB a A B acos a BB acos a 6 3 2 4 2 2 A B a AB A B 2 1 1 2 二 填空题二 填空题 11 60 解析 将展开图恢复为正方体时 点 B D 重合 AB CD AC 三条面对角线构成 等边三角形 直线 AB CD 所成角的大小为 60 12 5 如图 取 A1B1的中点 G 连接 FG EG FG 1 EG 2 EF 5 13 a 4 14 A B C O A 第 13 题 第 10 题 A B C A1 B1 C1 E F G 第 12 题 第 17 页 共 42 页 解析 如图过点 A 作 AB OC 垂足为 B 连接 A B 点 A 到直线 OC 距离是 AB 依条件得 AA a A O a A B a 2 3 2 1 4 2 AB a a 16 2 4 3 4 14 14 60 解析 依条件可知正四棱锥底面中心到一边的距离为 1 侧面等腰三角形底边上的高 为 2 侧面与底面所成的二面角的余弦值是 2 1 侧面与底面所成的二面角的大小是 60 15 5 解析 依条件可知当 a b 时 以上五种情况都有可能出现 因此五个结论 都有可能成立 三 解答题三 解答题 16 证明 1 AA1 AB AA1 AD 且 AB AD A AA1 平面 ABCD 又 BD平面 ABCD AA1 BD 又 AC BD AA1 AC A BD 平面 ACC1A1 2 DD1 AA1 AA1平面 ACC1A1 DD1 平面 ACC1A1 点 P 到平面 ACC1A1的距离即为直线 DD1到面 ACC1A1的距离 也就是点 D 到平面 ACC1A1的距离 设 AC BD O 则 DO 的长度是点 D 到平面 ACC1A1的距离 容易求出 DO a P 到平面 ACC1A1的距离为a 2 2 2 2 17 证明 1 连接 EO 四边形 ABCD 为正方形 O 为 AC 的中点 E 是 PC 的中点 OE 是 APC 的中位线 EO PA EO平面 BDE PA平面 BDE PA 平面 BDE AB C A1B1 C1 P D D1 O 第 16 题 P O E C D B A 第 17 题 第 18 页 共 42 页 2 PO 平面 ABCD BD平面 ABCD PO BD 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PO AC O AC 平面 PAC PO 平面 PAC BD 平面 PAC 18 1 证明 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD PD BC 由 BCD 90 得 CD BC 又 PD DC D PD DC 平面 PCD BC 平面 PCD PC 平面 PCD 故 PC BC 2 解 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于点 E 到平面 PBC 的 距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 平面 PBC 平面 PCD PD DC PF FC DF PC 又 平面 PBC 平面 PCD PC DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 2 2 方法二 连接 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h AB DC BCD 90 ABC 90 由 AB 2 BC 1 得 ABC 的面积 S ABC 1 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 V S ABC PD 3 1 3 1 第 18 题 第 18 题 第 19 页 共 42 页 PD 平面 ABCD DC平面 ABCD PD DC 又 PD DC 1 PC 22 DCPD 2 由 PC BC BC 1 得 PBC 的面积 S PBC 2 2 VA PBC VP ABC S PBC h V 得 h 3 1 3 1 2 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 19 1 证明 AC BD 又 BB1 平面 ABCD 且 AC 平面 ABCD BB1 AC BD BB1 B AC 平面 B1 D1DB 2 证明 由 1 知 AC 平面 B1D1DB BD1平面 B1D1DB AC BD1 A1D1 平面 A1B1BA AB1平面 A1B1BA A1D1 AB1 又 A1B AB1且 A1B A1D1于 A1 AB1 平面 A1D1B BD1平面 A1D1B BD1 AB1 又 AC AB1 A BD1 平面 ACB1 3 解 方法 1 1 1 1 CBBAACBB VV 11 3 1 2 1 6 1 方法 2 V正方体 1 ACBB V 2 1 3 1 6 1 20 1 证明 AB 平面 BCD AB CD CD BC 且 AB BC B CD 平面 ABC 又 0 1 AC AE AD AF 不论 为何值 恒有 EF CD EF 平面 ABC EF 平面 BEF 不论 为何值总有平面 BEF 平面 ABC 2 解 由 1 知 BE EF 又平面 BEF 平面 ACD BE 平面 ACD 第 20 题 第 20 页 共 42 页 BE AC BC CD 1 BCD 90 ADB 60 BD AB AC 267 由 ABC AEB 有 AB2 AE AC 从而 AE 7 6 AC AE 7 6 故当 时 平面 BEF 平面 ACD 7 6 第三章第三章 直线与方程直线与方程 一 选择题一 选择题 1 下列直线中与直线 x 2y 1 0 平行的一条是 A 2x y 1 0B 2x 4y 2 0 C 2x 4y 1 0D 2x 4y 1 0 2 已知两点 A 2 m 与点 B m 1 之间的距离等于 则实数 m 13 A 1B 4C 1 或 4D 4 或 1 3 过点 M 2 a 和 N a 4 的直线的斜率为 1 则实数 a 的值为 A 1B 2C 1 或 4D 1 或 2 第 21 页 共 42 页 4 如果 AB 0 BC 0 那么直线 Ax By C 0 不经过的象限是 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 5 已知等边 ABC 的两个顶点 A 0 0 B 4 0 且第三个顶点在第四象限 则 BC 边所在的直线方程是 A y xB y x 4 33 C y x 4 D y x 4 33 6 直线 l mx m2y 1 0 经过点 P 2 1 则倾斜角与直线 l 的倾斜角互为补角的 一条直线方程是 A x y 1 0 B 2x y 3 0 C x y 3 0 D x 2y 4 0 7 点 P 1 2 关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是 A 2 1 1 2 B 1 2 1 2 C 1 2 1 2 D 1 2 2 1 8 已知两条平行直线 l1 3x 4y 5 0 l2 6x by c 0 间的距离为 3 则 b c A 12B 48C 36D 12 或 48 9 过点 P 1 2 且与原点距离最大的直线方程是 A x 2y 5 0B 2x y 4 0 C x 3y 7 0D 3x y 5 0 10 a b 满足 a 2b 1 则直线 ax 3y b 0 必过定点 A B C D 2 1 6 1 6 1 2 1 6 1 2 1 2 1 6 1 二 填空题二 填空题 11 已知直线 AB 与直线 AC 有相同的斜率 且 A 1 0 B 2 a C a 1 则实 数 a 的值是 12 已知直线 x 2y 2k 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1 则实数 k 的 取值范围是 13 已知点 a 2 a 0 到直线 x y 3 0 的距离为 1 则 a 的值为 14 已知直线 ax y a 2 0 恒经过一个定点 则过这一定点和原点的直线方程是 15 已知实数 x y 满足 5x 12y 60 则的最小值等于 22 yx 三 解答题三 解答题 第 22 页 共 42 页 16 求斜率为 且与坐标轴所围成的三角形的周长是 12 的直线方程 4 3 17 过点 P 1 2 的直线 l 被两平行线 l1 4x 3y 1 0 与 l2 4x 3y 6 0 截得的线 段长 AB 求直线 l 的方程 2 18 已知方程 m2 2m 3 x 2m2 m 1 y 6 2m 0 m R 1 求该方程表示一条直线的条件 2 当 m 为何实数时 方程表示的直线斜率不存在 求出这时的直线方程 3 已知方程表示的直线 l 在 x 轴上的截距为 3 求实数 m 的值 4 若方程表示的直线 l 的倾斜角是 45 求实数 m 的值 第 23 页 共 42 页 19 ABC 中 已知 C 2 5 角 A 的平分线所在的直线方程是 y x BC 边上高线 所在的直线方程是 y 2x 1 试求顶点 B 的坐标 第 24 页 共 42 页 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 D 解析解析 利用 A1B2 A2B1 0 来判断 排除 A C 而 B 中直线与已知直线重合 2 C 解析解析 因为 AB 所以 2m2 6m 5 13 1 2 22 mm13 解得 m 1 或 m 4 3 A 解析解析 依条件有 1 由此解得 a 1 2 4 a a 4 B 解析解析 因为 B 0 所以直线方程为 y x 依条件 0 0 即直线的斜 B A B C B A B C 率为正值 纵截距为负值 所以直线不过第二象限 5 C 解析解析 因为 ABC 是等边三角形 所以 BC 边所在的直线过点 B 且倾斜角为 3 所以 BC 边所在的直线方程为 y x 4 3 6 C 解析解析 由点 P 在 l 上得 2m m2 1 0 所以 m 1 即 l 的方程为 x y 1 0 所以所求直线的斜率为 1 显然 x y 3 0 满足要求 7 C 解析解析 因为点 x y 关于 x 轴和 y 轴的对称点依次是 x y 和 x y 所以 P 1 2 关于 x 轴和 y 轴的对称的点依次是 1 2 和 1 2 8 D 解析解析 将 l1 3x 4y 5 0 改写为 6x 8y 10 0 因为两条直线平行 所以 b 8 由 3 解得 c 20 或 c 40 所以 b c 12 或 48 22 8 6 10c 9 A 解析解析 设原点为 O 依条件只需求经过点 P 且与直线 OP 垂直的直线方程 第 25 页 共 42 页 因为 kOP 2 所以所求直线的斜率为 且过点 P 2 1 所以满足条件的直线方程为 y 2 x 1 即 x 2y 5 0 2 1 10 B 解析解析 方法方法 1 因为 a 2b 1 所以 a 1 2b 所以直线 ax 3y b 0 化为 1 2b x 3y b 0 整理得 1 2x b x 3y 0 所以当 x y 时上式恒成立 2 1 6 1 所以直线 ax 3y b 0 过定点 6 1 2 1 方法方法 2 由 a 2b 1 得 a 1 2b 0 进一步变形为 a 3 b 0 2 1 6 1 这说明直线方程 ax 3y b 0 当 x y 时恒成立 2 1 6 1 所以直线 ax 3y b 0 过定点 6 1 2 1 二 填空题二 填空题 11 2 51 解析 解析 由已知得 所以 a2 a 1 0 解得 a 1 2 0 a 1 0 1 a2 51 12 1 k 1 且 k 0 解析 解析 依条件得 2k k 1 其中 k 0 否则三角形不存在 2 1 解得 1 k 1 且 k 0 13 1 2 解析 解析 依条件有 1 解得 a 1 a 1 舍去 22 1 1 3 2 a 22 14 y 2x 解析 解析 已知直线变形为 y 2 a x 1 所以直线恒过点 1 2 故所求的直线方程是 y 2 2 x 1 即 y 2x 15 13 60 第 26 页 共 42 页 解析解析 因为实数 x y 满足 5x 12y 60 所以表示原点到直线 5x 12y 60 上点的距离 22 yx 所以的最小值表示原点到直线 5x 12y 60 的距离 22 yx 容易计算 d 即所求的最小值为 144 25 60 13 60 22 yx 13 60 三 解答题三 解答题 16 解 解 设所求直线的方程为 y x b 4 3 令 x 0 得 y b 所以直线与轴的交点为 0 b y 令 y 0 得 x b 所以直线与 x 轴的交点为 3 4 0 3 4 b 由已知 得 b 12 解得 b 3 b 3 4 2 2 3 4 bb 故所求的直线方程是 y x 3 即 3x 4y 12 0 4 3 17 解 解 当直线 l 的方程为 x 1 时 可验证不符合题意 故设 l 的方程为 y 2 k x 1 由解得 A 0 1 3 4 2 yx xykk 4 3 8 5 4 3 7 3 k k k k 由解得 B 0 6 3 4 2 yx xykk 4 3 01 8 4 3 21 3 k k k k 因为 AB 所以 2 4 3 5 4 3 5 22 k k k 2 整理得 7k2 48k 7 0 解得 k1 7 或 k2 7 1 故所求的直线方程为 x 7y 15 0 或 7x y 5 0 18 解 解 1 当 x y 的系数不同时为零时 方程表示一条直线 令 m2 2m 3 0 解得 m 1 m 3 令 2m2 m 1 0 解得 m 1 m 2 1 所以方程表示一条直线的条件是 m R 且 m 1 2 由 1 易知 当 m 时 方程表示的直线的斜率不存在 2 1 此时的方程为 x 它表示一条垂直于轴的直线 3 4 x 第 27 页 共 42 页 3 依题意 有 3 所以 3m2 4m 15 0 3 2 6 2 2 mm m 所以 m 3 或 m 由 1 知所求 m 3 5 3 5 4 因为直线 l 的倾斜角是 45 所以斜率为 1 故由 1 解得 m 或 m 1 舍去 1 2 3 2 2 2 mm mm 3 4 所以直线 l 的倾斜角为 45 时 m 3 4 19 解解 依条件 由解得 A 1 1 xy xy 1 2 因为角 A 的平分线所在的直线方程是 y x 所以点 C 2 5 关于 y x 的对称点 C 5 2 在 AB 边所在的直线上 AB 边所在的直线方程为 y 1 x 1 整理 1 5 1 2 得 x 4y 3 0 又 BC 边上高线所在的直线方程是 y 2x 1 所以 BC 边所在的直线的斜率为 2 1 BC 边所在的直线的方程是 y x 2 5 整理得 x 2y 12 0 2 1 联立 x 4y 3 0 与 x 2y 12 0 解得 B 2 5 7 第 19 题 第 28 页 共 42 页 第四章第四章 圆与方程圆与方程 一 选择题一 选择题 1 圆 C1 x2 y2 2x 8y 8 0 与圆 C2 x2 y2 4x 4y 2 0 的位置关系是 A 相交B 外切C 内切D 相离 2 两圆 x2 y2 4x 2y 1 0 与 x2 y2 4x 4y 1 0 的公共切线有 A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条 3 若圆 C 与圆 x 2 2 y 1 2 1 关于原点对称 则圆 C 的方程是 A x 2 2 y 1 2 1B x 2 2 y 1 2 1 C x 1 2 y 2 2 1D x 1 2 y 2 2 1 4 与直线 l y 2x 3 平行 且与圆 x2 y2 2x 4y 4 0 相切的直线方程是 A x y 0B 2x y 0 55 C 2x y 0D 2x y 055 5 直线 x y 4 0 被圆 x2 y2 4x 4y 6 0 截得的弦长等于 A B 2C 2D 4222 6 一圆过圆 x2 y2 2x 0 与直线 x 2y 3 0 的交点 且圆心在轴上 则这个圆y 的方程是 A x2 y2 4y 6 0B x2 y2 4x 6 0 C x2 y2 2y 0D x2 y2 4y 6 0 7 圆 x2 y2 4x 4y 10 0 上的点到直线 x y 14 0 的最大距离与最小距离的差 是 A 30B 18C 6D 522 8 两圆 x a 2 y b 2 r2和 x b 2 y a 2 r2相切 则 A a b 2 r2B a b 2 2r2 C a b 2 r2D a b 2 2r2 9 若直线 3x y c 0 向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位 平移后与圆 x2 y2 10 相切 则 c 的值为 A 14 或 6B 12 或 8C 8 或 12D 6 或 14 10 设 A 3 3 1 B 1 0 5 C 0 1 0 则 AB 的中点 M 到点 C 的距离 CM A B C D 4 53 2 53 2 53 2 13 第 29 页 共 42 页 二 填空题二 填空题 11 若直线 3x 4y 12 0 与两坐标轴的交点为 A B 则以线段 AB 为直径的圆的一 般方程为 12 已知直线 x a 与圆 x 1 2 y2 1 相切 则 a 的值是 13 直线 x 0 被圆 x2 y2 6x 2y 15 0 所截得的弦长为 14 若 A 4 7 1 B 6 2 z AB 11 则 z 15 已知 P 是直线 3x 4y 8 0 上的动点 PA PB 是圆 x 1 2 y 1 2 1 的两条 切线 A B 是切点 C 是圆心 则四边形 PACB 面积的最小值为 三 解答题三 解答题 16 求下列各圆的标准方程 1 圆心在直线 y 0 上 且圆过两点 A 1 4 B 3 2 2 圆心在直线 2x y 0 上 且圆与直线 x y 1 0 切于点 M 2 1 17 棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 是 AB 的中点 F 是 BB1的中点 G 是 AB1的中点 试建立适当的坐标系 并确定 E F G 三点的坐标 第 30 页 共 42 页 18 圆心在直线 5x 3y 8 0 上的圆与两坐标轴相切 求此圆的方程 19 已知圆 C x 1 2 y 2 2 2 点 P 坐标为 2 1 过点 P 作圆 C 的切线 切点为 A B 1 求直线 PA PB 的方程 2 求过 P 点的圆的切线长 3 求直线 AB 的方程 20 求与 x 轴相切 圆心 C 在直线 3x y 0 上 且截直线 x y 0 得的弦长为 2 的圆的方程 7 第 31 页 共 42 页 参考答案参考答案 一 选择题一 选择题 1 A 解析解析 C1的标准方程为 x 1 2 y 4 2 52 半径 r1 5 C2的标准方程为 x 2 2 y 2 2 2 半径 r2 圆心距 d 1010 22 4 2 1 2 13 因为 C2的圆心在 C1内部 且 r1 5 r2 d 所以两圆相交 2 C 解析解析 因为两圆的标准方程分别为 x 2 2 y 1 2 4 x 2 2 y 2 2 9 所以两圆的圆心距 d 5 22 2 1 2 2 因为 r1 2 r2 3 所以 d r1 r2 5 即两圆外切 故公切线有 3 条 3 A 解析解析 已知圆的圆心是 2 1 半径是 1 所求圆的方程是 x 2 2 y 1 2 1 4 D 解析解析 设所求直线方程为 y 2x b 即 2x y b 0 圆 x2 y2 2x 4y 4 0 的标 准方程为 x 1 2 y 2 2 1 由 1 解得 b 22 1 2 2 2 b 5 故所求直线的方程为 2x y 0 5 5 C 解析解析 因为圆的标准方程为 x 2 2 y 2 2 2 显然直线 x y 4 0 经过圆心 所以截得的弦长等于圆的直径长 即弦长等于 2 2 6 A 解析解析 如图 设直线与已知圆交于 A B 两点 所求圆的圆 心为 C 依条件可知过已知圆的圆心与点 C 的直线与已知直线垂 直 因为已知圆的标准方程为 x 1 2 y2 1 圆心为 1 0 所以过点 1 0 且与已知直线 x 2y 3 0 垂直的直线方程 为 y 2x 2 令 x 0 得 C 0 2 联立方程 x2 y2 2x 0 与 x 2y 3 0 可求出交点 A 1 1 故所求圆的半径 第 6 题 第 32 页 共 42 页 r AC 22 3 110 所以所求圆的方程为 x2 y 2 2 10 即 x2 y2 4y 6 0 7 C 解析解析 因为圆的标准方程为 x 2 2 y 2 2 3 2 所以圆心为 2 2 2 r 3 2 设圆心到直线的距离为 d d r 2 10 所以最大距离与最小距离的差等于 d r d r 2r 6 2 8 B 解析解析 由于两圆半径均为 r 故两圆的位置关系只能是外切 于是有 b a 2 a b 2 2r 2 化简即 a b 2 2r2 9 A 解析解析 直线 y 3x c 向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位 平移后的直线方程为 y 3 x 1 c 1 即 3x y c 4 0 由直线平移后与圆 x2 y2 10 相切 得 即 c 4 10 22 1 3 4 0 0 c 10 所以 c 14 或 6 10 C 解析解析 因为 C 0 1 0 容易求出 AB 的中点 M 3 2 3 2 所以 CM 2 2 2 0 3 1 2 3 0 2 2 53 二 填空题二 填空题 11 x2 y2 4x 3y 0 解析 解析 令 y 0 得 x 4 所以直线与 x 轴的交点 A 4 0 令 x 0 得 y 3 所以直线与 y 轴的交点 B 0 3 所以 AB 的中点 即圆心为 2 3 2 因为 AB 5 所以所求圆的方程为 x 2 2 22 3 4 2 2 3 y 4 25 即 x2 y2 4x 3y 0 第 33 页 共 42 页 12 0 或 2 解析 解析 画图可知 当垂直于 x 轴的直线 x a 经过点 0 0 和 2 0 时与圆相切 所以 a 的值是 0 或 2 13 8 解析 解析 令圆方程中 x 0 所以 y2 2y 15 0 解得 y 5 或 y 3 所以圆与直线 x 0 的交点为 0 5 或 0 3 所以直线 x 0 被圆 x2 y2 6x 2y 15 0 所截得的弦长等于 5 3 8 14 7 或 5 解析 解析 由 11 得 z 1 2 36 所以 z 7 或 5 222 1 7 2 4 6 z 15 22 解析解析 如图 S四边形PACB 2S PAC PA CA 2 PA 又 PA 2 1 1 2 PC 故求 PA 最小值 只需求 PC 最小值 另 PC 最小值即 C 到直线3x 4y 8 0 的距离 为 3 22 43 843 于是 S四边形 PACB最小值为 132 22 三 解答题三 解答题 16 解 解 1 由已知设所求圆的方程为 x a 2 y2 r2 于是依题意 得 解得 22 22 4 3 16 1 ra ra 20 1 2 r a 故所求圆的方程为 x 1 2 y2 20 2 因为圆与直线 x y 1 0 切于点 M 2 1 所以圆心必在过点 M 2 1 且垂直于 x y 1 0 的直线 l 上 则 l 的方程为 y 1 x 2 即 y x 3 由 解得 02 3 yx xy 2 1 y x 即圆心为 O1 1 2 半径 r 22 2 1 1 2 2 故所求圆的方程为 x 1 2 y 2 2 2 17 解 解 以 D 为坐标原点 分别以射线 DA DC DD1的方向为正方向 以线段 DA DC DD1的长为单位长 建立空间直角坐标系 Dxyz E 点在平面 xDy 中 且 第 15 题 第 34 页 共 42 页 EA 2 1 所以点 E 的坐标为 0 2 1 1 又 B 和 B1点的坐标分别为 1 1 0 1 1 1 所以点 F 的坐标为 同理可得 G 点的坐标为 2 1 1 1 2 1 2 1 1 18 解 解 设所求圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 因为圆与两坐标轴相切 所以圆心满足 a b 即 a b 0 或 a b 0 又圆心在直线 5x 3y 8 0 上 所以 5a 3b 8 0 由方程组 或 0 0835 ba ba 0 0835 ba ba 解得或所以圆心坐标为 4 4 1 1 4 4 b a 1 1 b a 故所求圆的方程为 x 4 2 y 4 2 16 或 x 1 2 y 1 2 1 19 解 解 1 设过 P 点圆的切线方程为 y 1 k x 2 即 kx y 2k 1 0 因为圆心 1 2 到直线的距离为 解得 k 7 或 k 1 2 1 3 2 k k 2 故所求的切线方程为 7x y 15 0 或 x y 1 0 2 在 Rt PCA 中 因为 PC CA 22 2 1 1 2 102 所以 PA 2 PC 2 CA 2 8 所以过点 P 的圆的切线长为 2 2 3 容易求出 kPC 3 所以 kAB 3 1 如图 由 CA2 CD PC 可求出 CD PC CA2 10 2 设直线 AB 的方程为 y x b 即 x 3y 3b 0 3 1 由 解得 b 1 或 b 舍 10 2 2 3 1 3 6 1 b 3 7 所以直线 AB 的方程为 x 3y 3 0 3 也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解 第 19 题 第 35 页 共 42 页 20 解 解 因为圆心 C 在直线 3x y 0 上 设圆心坐标为 a 3a 圆心 a 3a 到直线 x y 0 的距离为 d 2 2 a 又圆与 x 轴相切 所以半径 r 3 a 设圆的方程为 x a 2 y 3a 2 9a2 设弦 AB 的中点为 M 则 AM 7 在 Rt AMC 中 由勾股定理 得 2 3 a 2 2 2 2 a 7 解得 a 1 r2 9 故所求的圆的方程是 x 1 2 y 3 2 9 或 x 1 2 y 3 2 9 综合测试题综合测试题 考试时间 考试时间 90 分钟分钟 试卷满分 试卷满分 100 分分 一 选择题一 选择题 1 点 1 1 到直线 x y 1 0 的距离是 A B C D 2 1 2 3 2 2 2 23 2 过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行的直线方程是 A x 2y 1 0B x 2y 1 0C 2x y 2 0D x 2y 1 0 第 20 题 第 36 页 共 42 页 3 下列直线中与直线 2x y 1 0 垂直的一条是 A 2x y 1 0B x 2y 1 0 C x 2y 1 0D x y 1 0 2 1 4 已知圆的方程为 x2 y2 2x 6y 8 0 那么通过圆心的一条直线方程是 A 2x y 1 0 B 2x y 1 0 C 2x y 1 0D 2x y 1 0 5 如图 1 2 3 4 为四个几何体的三视图 根据三视图可以判断这四个几何 体依次分别为 A 三棱台 三棱柱 圆锥 圆台B 三棱台 三棱锥 圆锥 圆台 C 三棱柱 四棱锥 圆锥 圆台D 三棱柱 三棱台 圆锥 圆台 6 直线 3x 4y 5 0 与圆 2x2 2y2 4x 2y 1 0 的位置关系是 A 相离B 相切 C 相交但直线不过圆心D 相交且直线过圆心 7 过点 P a 5 作圆 x 2 2 y 1 2 4 的切线 切线长为 则 a 等于 32 A 1B 2C 3D 0 8 圆 A x2 y2 4x 2y 1 0 与圆 B x2 y2 2x 6y 1 0 的位置关系是 A 相交B 相离C 相切D 内含 9 已知点 A 2 3 5 B 2 1 3 则 AB A B 2C D 26622 10 如果一个正四面体的体积为 9 dm3 则其表面积 S 的值为 4 3 1 2 第 37 页 共 42 页 A 18dm2B 18 dm2C 12dm2D 12 dm233 11 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2 AD 1 E F G 分别是 DD1 AB CC1的中点 则异面直线 A1E 与 GF 所成角余弦值是 A B C D 0 5 15 2 2 5 10 12 正六棱锥底面边长为 a 体积为a3 则侧棱与底面所成的角为 2 3 A 30 B 45 C 60 D 75 13 直角梯形的一个内角为 45 下底长为上底长的 此梯形绕下底所在直线旋转 2 3 一周所成的旋转体表面积为 5 则旋转体的体积为 2 A 2 B C D 3 2 4 3 2 5 3 7 14 在棱长均为 2 的正四棱锥 P ABCD 中 点 E 为 PC 的中点 则下列命题正确的 是 A BE 平面 PAD 且 BE