新课标高考数学基础知识(人教B版必修1第二章函数).doc

新课标高考数学基础知识归纳单调性映射定义表示解析法列表法三要素图象法定义域对应关系值域性质奇偶性周期性对称性最值抽象函数复合函数函数与方程零点函数的应用函数分段函数一次、二次函数、反比例函数定义域关于原点对称，在x0处有定义的奇函数f (0)01、函数在某个区间递增(或减)与单调区间是某个区间的含义不同；2、证明单调性：作差（商）、*导数法；3、复合函数的单调性二次函数、数形结合、对勾函数、*基本不等式、*三角函数有界性、*导数.赋值法、典型的函数二分法、图象法、二次及*三次方程根的分布建立函数模型使解析式有意义换元法求解析式注意应用函数的单调性求值域周期为T的奇函数f (T)f ()f (0)0复合函数的单调性：同增异减图象、性质和应用平移变换对称变换翻折变换伸缩变换图象及其变换应用计算机实现算法计算机作图用Scilab求函数值必修1 第二章 函数一、映射与函数的基本概念：1函数：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则称这种对应关系为A上的一个函数记作y = f(x)，x A其中x叫自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域y = f(a)或y | x = a称为函数在a处的函数值，所有函数值构成的集合y | y = f(x)，x A叫做这个函数的值域函数y = f(x)也经常写作函数f或函数f(x)注：(1) 函数有解析式和图象两种具体的表示形式偶尔也用表格表示函数(2) 函数三要素：定义域A：x取值范围组成的集合值域B：y取值范围组成的集合对应法则f：y与x的对应关系，有解析式、图象和列表三种表示形式(3) 相同函数的判断方法： 定义域相同； 对应法则相同(两点必须同时具备)(4) 函数与普通映射的区别在于： 两个集合必须是数集； 不能有剩余的象，即每个函数值y都能找到相应的自变量x与其对应2映射：设AB是两个非空集合，若按照某种对应法则f，对A中的每一个元素x，在B中都有唯一的一个元素y和它对应，则这样的对应称为A到B的映射此时称y是x在映射f作用下的象，记作f(x)即y = f(x)，x称为y的原象映射f也记作f：A B，或x f(x)其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)3一一映射：设f是A到B的映射，并且对于B中的每一个元素，在A中都有唯一的一个原象，则称这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从A到B的一一映射这里要注意：(1) 在映射中，要求元素的对应形式是“多对一”或“一对一”，一一映射中元素的对应形式必须是“一对一”(2) 判断对应是否为映射时，抓住两点： A中元素必须都有象且唯一； B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象例图1是映射图2是一一映射图3不是映射(3) 求映射的个数：m个元素的集合到n个元素的集合的映射个数是nm二、定义域题型：1具体函数：即有明确解析式的函数，直接考查：列不等式求解，主要考解不等式(1) 在中f(x) 0；(2) 在中，f(x) 0；(3)在f(x)0中，f(x) 0；*(4) 在loga f(x)中，f(x) 0； *(5) 在 ax与logax中a 0且a 1(这两类见第三章)2抽象函数：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同3复合函数：(1) 若已知f(x)的定义域为a，b，其复合函数fg(x)的定义域由不等式a g(x) b解出即可；(2) 若已知fg(x)的定义域为a，b，求f(x)的定义域，相当于x a，b时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域)(含参问题的定义域要分类讨论)4对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定三、值域题型：1函数值域的求法：(1) 配方法：常转化为形如：f(x) = ax2 + bx + c，x (m，n)的形式；利用二次函数的特征来求值域(2) 逆求法(反求法)：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围常用来解形如：y =，x (m，n)的形式；(3) 换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数(化归思想)；(4) 三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；(5) 基本不等式法：转化成形如：y = x +(k 0)，利用平均值不等式来求值域；(6) 单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域；(7) 数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等)：根据函数的几何图形，利用数形结合的方法来求值域；(8) 判别式法：化为关于x的二次方程，用判别式法求值域；*(9) 导数法2常规函数求值域：画图象，定区间，截段常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，对勾函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数(后四种不在本章)3非常规函数求值域：想方设法变形成常规函数求值域解题步骤：(1) 换元变形；(2) 求变形完的常规函数的自变量取值范围；(3) 画图象，定区间，截段4分式函数求值域：四种题型(1)(a 0)：则且y R(2)：利用反表示法求值域先反表示，再利用x的范围解不等式求y的范围或分离常数后用单调性求解(3) ：，则且y R(4) 求的值域，当x R时，用判别式法求值域 yx2 + (y - 2)x + y + 1 = 0， = (y - 2)2 - 4y(y + 1) 0 值域(注意分y是否为0讨论)5不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图象，定区间，截段判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义详情见单调性部分知识讲解6已知值域求系数：利用上面各种求值域的方法与求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围四、函数解析式的求法：1配方法：如f(2x + 3) = x2 + 3x + 5，求f(x)2换元法：如f(2x + 3) = x2 + 3x + 5，求f(3 - 7x)，(设2x + 3 = 3-7t)3待定系数法：在已知函数的类型时，先设其一般形式，再由已知条件求系数4构造法：如，求f(x)5递推：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推6求反函数的步骤是： 将y = f(x)看成关于x的方程，解出x = f - 1(y)，若有两解，要注意解的选择； 将x，y互换，得y = f - 1(x)； 写出反函数的定义域(即y = f(x)的值域)五、函数的单调性：1定义：在给定区间范围内，如果x越大y越大，那么原函数为增函数；如果x越大y越小，那么原函数为减函数一般地，设函数y = f(x)的定义域为A，区间M A如果任取区间M中的两个值x1，x2，改变量x = x2 - x1 0，则当y = f(x2) - f(x1) 0时，就称函数y = f(x)在区间M上是增函数；当y = f(x2) - f(x1) 0 f(x)在a，b上是增函数；(x1 - x2)f(x1) - f(x2) 0 f(x)在a，b上是减函数(2) 单调性是相对于某个区间而言的，不能光说函数是增函数或是减函数2单调性题型：(1) 求单调区间：先找到最基本函数单元的单调区间，用复合函数法判断函数在这个区间的单调性，从而确定单调区间复合函数法(由“同增异减”判定)：如：当0 x 0为增函数，f (x) 0为减函数； 利用定义：设x1 x2 f(x1) f(x2)或f(x1) f(x2) x1 x2减函数x1 x2 f(x1) f(x2) x1 0)恒成立，则y = f(x)是周期为2a的周期函数； 一般地，若f(a + x) = f(b + x) (a b)，则y = f(x)是周期为| a - b| 的周期函数(2) 若f(a + x) = - f(b + x) (a b)，则y = f(x)是周期为2| a - b| 的周期函数*(3) 若y = f(x)是偶函数，其图象又关于直线x = a对称，则f(x)是周期为2| a | 的周期函数；*(4) 若y = f(x)奇函数，其图象又关于直线x = a对称，则f(x)是周期为4| a | 的周期函数；*(5) 若y = f(x)关于点(a，0)，(b，0)对称，则f(x)是周期为2| a - b| 的周期函数；*(6) y = f(x)的图象关于直线x = a，x = b(a b)对称，则函数y = f(x)是周期为2| a - b| 的周期函数；*(7) y = f(x)对x R时，f(x + a) = - f(x) (或f(x + a) = -)，则y = f(x)是周期为2| a | 的周期函数八、函数图象(或方程曲线)的对称性：1对称性的证明：(1) 证明函数图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上；(2) 证明图象C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在C2上，反之亦然；2两个图关于点对称：(1) y = f(x)关于原点对称的函数：x - x，y - y，即- y = f(- x)；(2) y = f(x)关于点(a，b)对称的函数：x 2a - x，y 2b - y，即2b - y = f(2a - x)；(3) 曲线C1：f(x，y) = 0关于点(a，b)的对称曲线C2的方程为：f(2a - x，2b - y) = 03两个图关于直线对称：(1) 原函数与反函数：关于直线y = x对称；(2) 与y = f(x)的图象关于直线y = x + c对称的函数：x y - c，y x + c，即x + c = f(y - c)；(3) 与y = f(x)的图象关于直线y = - x + c对称的函数：x - y + c，y - x + c，即- x + c = f(- y + c)；(4) 曲线C1：f(x，y) = 0关于y = x + a ( y = - x + a)的对称曲线C2的方程为f( y - a，x + a) = 0(或f(- y + a，- x + a) = 0)；(5) y = f(x)与y = f(- x)的图象关于y轴对称 y = f(a + x)与y = f(b - x)的图象关于直线对称；(6) y = f(x)与y = - f(x)的图象关于x轴对称4图象作法：(1) 描点法(特别注意三角函数的五点作图)； (2) 图象变换法5函数图象变换：(重点)要求掌握常见基本函数的图象，掌握函数图象变换的一般规律(1) 平移变换： y = f(x) y = f(x a)，(a 0) 左“+”右“”； y = f(x) y = f(x) k，(k 0) 上“+”下“”注意： 若系数不是1，则要先提取系数如：把函数y = f(2x)的图象向左平移1个单位得到函数y = f(2x + 4)的图象 平移变换能够用向量的语言解释，会结合向量的平移，理解按照向量= (m，n)平移的意义(2) 伸缩变换： y = f(x) y = f(wx)，(w 0) 图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)； y = f(x) y = Af(x)，(A 0) 图象上各点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)注意：y = f(x)y = Af(wx + )具体参照三角函数的图象变换(3) 对称变换： y = f(x) y = - f(- x)(关于原点对称)； y = f(x) y = - f(x) (关于x轴对称)； y = f(x) y = f(- x) (关于y轴对称)； y = f(x) x = f(y) (关于直线y = x对称)(4) 翻折变换： y = f(x) y = f(|x|)(去左翻右)把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称注意： f(x)在y左侧的图象要去掉； y = f(|x|)是一个偶函数 y = f(x) y = |f(x)|(留上翻下) 把x轴上方图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称(|f(x)|在x下面无图象)yxOy= f(x)(2,0)(0,-1)如：y = f(x)的图象如右图，作出下列函数图象：(1) y = f(- x)； (2) y = - f(x)； (3) y = f(|x|)；(4) y = |f(x)|； (5) y = f(2x)； (6) y = f(x + 1)；(7) y = f(x) + 1； (8) y = - f(- x)； (9) y = f - 1(x)九、分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论十、常用的初等函数：1一次函数：(1) 解析式：y = ax + b (a 0)，在R上，当a 0时，是增函数；当a 0时：(- ，为减区间，+ )为增区间；当a 0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a 0时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a 0)的图象和性质：函数y = a +(b - ac 0)y = x +( a 0)定义域(- ，- c)(- c，+ )(- ，0)(0，+ )值域(- ，a)(a，+ )(- ，- 22，+ )奇偶性非奇非偶函数奇函数单调性当b - ac 0时：在(- ，- c)，(- c，+ )上单调递减；当b - ac 0时：在(- ，- c)，(- c，+ )上单调递增；在(