定积分及其应用(精讲精练).doc

第5章 定积分及其应用学习目标理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质.掌握变上限定积分的导数的计算方法.熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分，熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法.了解定积分在经济管理中的应用，会利用定积分计算平面图形的面积.定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、性质和微积分基本定理,最后讨论定积分在几何、物理上的一些简单应用.5.1 定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线及曲线所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.a o xa o b xya o b xbyy(a)(b)(c)图5.1现在求时，在连续区间上围成的曲边梯形的面积A（如图5.1(a),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间内任意插入个分点：，把区间分成个小区间：，第个小区间的长度为，过每个分点作垂直于轴的直线段，它们把曲边梯形分成个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为. o xy图5.2(2)近似用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间上任取一点，作以为底，为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则.(3)求和求个小矩形面积之和个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和，即.(4)取极限令，当分点无限增多且时，和式的极限便是曲边梯形的面积A，即.2变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间的连续函数，求物体在时刻到间所经过的路程.我们知道，匀速直线运动的路程公式是：，现设物体运动的速度是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割把整个运动时间分成个时间段在时间间隔内任意插入个分点：，把分成个小区间：，第个小区间的长度为第个时间段内对应的路程记作.(2)近似在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间上任取一点,用速度近似代替物体在时间上各个时刻的速度，则有.(3)求和求个小时间段路程之和将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即.(4)取极限令，当分点的个数无限增多且时，和式的极限便是所求的路程.即 从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1 设函数在区间上有定义，任取分点把区间任意分割成个小区间，第个小区间的长度为，记.在每个小区间上任取一点作和式，当时，若极限存在（这个极限值与区间的分法及点的取法无关），则称函数在上可积，并称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即 . 其中，“”称为被积函数，“”称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：曲边梯形的面积是曲线在区间上的定积分.().变速直线运动的物体所走过的路程等于速度函数在时间间隔上的定积分.关于定积分的定义作以下几点说明：闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的.定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数和积分区间，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有.在定积分的定义中，有，为了今后计算方便，我们规定：.容易得到 .5.1.3定积分的几何意义设是上的连续函数，由曲线及直线所围成的曲边梯形的面积记为.由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：（1）当时，（2）当时，（3）如果在上有时取正值，有时取负值时，那么以为底边，以曲线为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，如图5.3所示，有其中分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.例5.1.1 利用定积分的几何意义，证明.证 令 ，显然，则由和直线，所围成的曲边梯形是单位圆位于轴上方的半圆.如图5.4所示.因为单位圆的面积，所以 半圆的面积为.由定积分的几何意义知： .5.1.4定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.性质5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即.性质5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即.这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形.性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点，有.注意 的任意性意味着不论是在之内，还是在之外，这一性质均成立.性质5.1.4如果被积函数为常数),则.特别地,当时,有.性质5.1.5（积分的保序性）如果在区间上,恒有，则.性质5.1.6（积分估值定理）如果函数在区间上有最大值和最小值,则性质5.1.7 (积分中值定理) 如果函数在区间上连续,则在内至少有一点,使得 .证 因在内连续，所以在内有最大值和最小值，由性质5.1.6知： 从而有 这就说：是介于与之间的一个实数.由连续函数的介值定理1.10知：至少存在一点，使得.即 .o a b xy图5.5注 性质5.1.7的几何意义是:由曲线,直线和轴所围成曲边梯形的面积等于区间上某个矩形的面积,这个矩形的底是区间,矩形的高为区间内某一点处的函数值，如图5.5所示.显然，由性质5.1.7可得，称为函数在区间上的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.性质5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设在对称区间上连续,则有如果为奇函数,则；如果为偶函数,则.例5.1.2 估计定积分的值.解 设,，令,得驻点，比较及区间端点的函数值,有,.显然在区间上连续,则在上的最小值为,最大值为，由定积分的估值性质,得.例5.1.3 比较定积分与的大小.解 因为在区间上,有,由定积分保序性质,得.定积分定积分的原始思想可以追溯到古希腊古希腊人在丈量形状不规则的土地的面积时，先尽可能地用规则图形(例如矩形和三角形)把要丈量的土地分割成若干小块，并且忽略那些边边角角的不规则的小块计算出每一小块规则图形的面积，然后将它们相加，就得到土地面积的近似值后来看来，古希腊人丈量土地面积的方法就是面积思想的萌芽在十七世纪之前，数学家们没有重视古希腊人的伟大思想，当时流行的方法是不可分量法这种方法认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的这种方法没有包含极限概念，也没有采用代数与算数的方法因此，不可分量的思想没有取得成功虽然积分概念未能很好得建立起来，然而，到牛顿那个年代，数学家们已经能够计算许多简单的函数的积分虽然十三世纪就出现了利用分割区间作和式并计算面积的朦胧思想(奥雷姆，法国数学家)但是建立黎曼积分(即定积分)的严格定义的努力基本上由柯西开始他比较早地用函数值的和式的极限定义积分(他还定义了广义积分)但是柯西对于积分的定义仅限于连续函数1854年，黎曼指出了积分的函数不一定是连续的或者分段连续的，从而把柯西建立的积分进行了推广他把可积函数类从连续函数扩大到在有限区间中具有无穷多个间断点的函数黎曼给出关于黎曼可积的两个充分必要条件其中一个是考察函数的振幅；另一个充分必要条件就是对于区间的每一个划分，构造积分上和与积分下和:S= s=其中M和m分别是函数在每个子区间上的最大值和最小值.在黎曼可积的充分必要条件就是至今，这个定理仍然经常出现在微积分和数学分析的教科书中达布(法国数学家)对于黎曼的积分的定义作了推广他严格地证明了不连续函数，甚至有无穷多个间断点的函数，只要间断点可以被包含在长度可以任意小的有限个区间之内就是可积分的在牛顿和莱布尼兹之前，微分和积分作为两种数学运算、两种数学问题，是分别加以研究的虽然有不少数学家已经开始考虑微分和积分之间的联系，然而只有莱布尼兹和牛顿(各自独立地)将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者之间内在的直接的联系，指出微分和积分是互逆的两种运算而这正是建立微积分的关键所在牛顿在1666年发表的著作流数简论中，从确定面积率的变化入手，通过反微分计算面积，把面积计算看作是求切线的逆从而得到了微积分基本定理在1675年，莱布尼兹就认识到，作为求和过程的积分是微分的逆他于16751676年给出了微积分基本定理并于1693年给出了这个定理的证明简单直观并且便于应用，是黎曼积分的优点.黎曼积分的缺点主要是理论方面的一方面,黎曼积分的可积函数类太小基本上是“分段连续函数”构成的函数类另一方面，黎曼积分在处理诸如函数级数的逐项积分、重积分的交换积分顺序以及函数空间的完备性这样一些重要的理论问题时，存在许多不可克服的障碍于是在上一世纪末到本世纪初，一种新的积分理论勒贝格积分应运而生它是黎曼积分的推广，勒贝格积分的建立是积分学领域的重大发展它在很大程度上克服了黎曼积分在理论上遇到的上述困难勒贝格积分是近代分析数学发展的重要动力和基础习题5.11.用定积分表示由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积.2.利用定积分的几何意义,作图证明：(1) (2)3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小.(1), (2),(3), (4), 4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围.(1) (2)(3) (4)5.试用积分中值定理证明.5.2 定积分的基本公式定积分就是一种特定形式的极限，直接利用定义计算定积分是十分繁杂的，有时甚至无法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具牛顿莱布尼兹公式.5.2.1变上限定积分定义5.2 设函数在区间上连续，对于任意，在区间上也连续，所以函数在上也可积.显然对于上的每一个的取值，都有唯一对应的定积分和对应，因此是定义在上的函数.记为，.称叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.o a x b xy图5.6变上限积分函数的几何意义是：如果，对上任意x，都对应唯一一个曲边梯形的面积，如图5.6中的阴影部分.因此变上限积分函数有时又称为面积函数.函数具有如下重要性质.定理5.1 如果函数在区间上连续，则在上可导，且.证 给定函数的自变量的改变量，函数有相应的改变量.则.由定积分的中值定理，存在，使成立.所以.由定理5.1可知，如果函数在区间上连续，则函数就是在区间上的一个原函数.由定理5.1我们有下面的结论.定理5.2（原函数存在定理） 如果在区间上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为.注 这个定理一方面肯定了闭区间上连续函数的一定有原函数（解决了第四章第一节留下的原函数存在问题），另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础.例5.2.1 计算.解 =.例5.2.2 求.解 当时，此极限为型不定式，两次利用洛必塔法则有= =例5.2.3 求.解 注意，此处的变上限积分的上限是，若记，则函数可以看成是由与复合而成，根据复合函数的求导法则得=.一般地有，如果可导，则.上式可作为公式直接使用.例5.2.4 求极限.解 因为，所以这个极限是型的未定式，利用洛必塔法则得= =.5.2.2微积分基本公式定理5.3 如果函数在区间上连续，且是的任意一个原函数，那么.证 由定理5.2知，是在区间的一个原函数，则与相差一个常数C，即.又因为，所以.于是有.所以 成立.为方便起见，通常把简记为或，所以公式可改写为上述公式称为牛顿莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，又称为微积分基本公式.定理5.3揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系，它把求定积分的问题转化为求原函数的问题.确切地说，要求连续函数在上的定积分，只需要求出在区间上的一个原函数，然后计算就可以了.例5.2.5 计算.解 因为，所以=.例5.2.6 求.解 =.例5.2.7 求.解 根据定积分性质5.1.3，得=.例5.2.8 求极限解 根据定积分定义,得牛顿与莱布尼兹牛顿（Newton，Isaac，16431727）英国物理学家，数学家，天文学家.经典物理学理论体系的建立者.莱布尼兹（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）是17、18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才.他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献.微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论.实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿.莱布尼兹在1684年10月发表的教师学报上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献.牛顿在1687年出版的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法.他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外.”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了.）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的.牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹.莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的.莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一.因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx表示x的微分，表示积分，等等.这些符号进一步促进了微积分学的发展.1713年，莱布尼兹发表了微积分的历史和起源一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性.你知道为什么称为牛顿-莱布尼兹公式了吧！习题5.21. 求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4)2.求下列函数的极限：(1) (2)(3) (4)3.求函数在区间上的最大值和最小值.4.求由曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积.5.求下列定积分的值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)5.3 定积分的积分法在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式.5.3.1定积分的换元积分法定理5.4 设函数在区间上连续，并且满足下列条件：（1），且，；（2）在区间上单调且有连续的导数；（3）当从变到时，从单调地变到.则有上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用把原积分变量换成新变量，积分限也必须由原来的积分限和相应地换为新变量的积分限和，而不必代回原来的变量，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿莱布尼兹公式求出定积分的值.例5.3.1 求.解 令，则，当时，当时，于是=例5.3.2 求.解法一设，则，当时，；当时，于是=.解法二=.解法一是变量替换法，上下限要改变；解法二是凑微分法，上下限不改变.例5.3.3 求.解 令，则，当时，；当时，于是=.例5.3.4 设在区间上连续，证明：（1）如果为奇函数，则；（2）如果为偶函数，则.这结论是定积分的性质5.1.8，下面我们给出严格的证明.证 由定积分的可加性知，对于定积分，作代换，得=，所以 =（1）如果为奇函数，即，则，于是 .（2）如果为偶函数，即，则，于是 .例5.3.5 求下列定积分：（1） （2）解 （1）因为被积函数是奇函数，且积分区间是对称区间，所以=.（2）被积函数是偶函数，积分区间是对称区间，所以=，令，则，当时，；当时，于是=.2.分部积分法定理5.5 设函数和在区间上有连续的导数，则有.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.例5.3.6 求.解 =.例5.3.7 求.解 =.例5.3.8 求.解 令，则，,当时，；当时，.于是=.此题先利用换元积分法，然后应用分部积分法.习题 5.31.求下列定积分的值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)2.求下列定积分：(1) (2)(3) (4)5.4 定积分的应用由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的，因而它的应用非常广泛.问题1 在机械制造中，某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程确定的，要计算该凸轮的面积和体积.问题2 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.为了解决这些问题，下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法微元法，然后讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习，不仅要掌握一些具体应用的计算公式，而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.5.4.1定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A的方法和步骤：(1)将区间分成个小区间，相应得到个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为；(2)计算的近似值，即（其中）；(3)求和得的近似值，即；(4)对和取极限得.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积）具有的特性：即在区间上具有可分割性和可加性.o a b xy图5.7第(2)步是关键，这一步确定的是被积表达式的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对省略下标，得，用表示内的任一小区间，并取小区间的左端点为，则的近似值就是以为底，为高的小矩形的面积（如图5.7阴影部分），即.通常称为面积元素，记为. 将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在上“无限累加”，就得到面积.即.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行：（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间；（2）在区间上任取一个小区间，并在小区间上找出所求量的微元；（3）写出所求量的积分表达式，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法.注 能够用微元法求出结果的量一般应满足以下两个条件：是与变量的变化范围有关的量；对于具有可加性，即如果把区间分成若干个部分区间，则相应地分成若干个分量.ya o b x图5.85.4.2定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下面积的计算(1)由曲线和直线所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线，及直线所围成平面的面积（如图5.8所示）.下面用微元法求面积.取为积分变量，.在区间上任取一小区间，该区间上小曲边梯形的面积可以用高，底边为的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素.写出积分表达式，即.求由两条曲线，及直线所围成平 o xyd y+dyyc面图形（如图5.9）的面积.这里取为积分变量，用类似 (2)的方法可以推出：.例5.4.1 求由曲线与图5.9所围图形的面积.解 先画出所围的图形（如图5.10）由方程组，得两条曲线的交点为，取为积分变量，.由公式得.o 2 8 xA(2,-2) y4-2B(8,4) 图5.11o 1 2 xy A (1,1)图5.10例5.4.2 求曲线与所围图形的面积.解 画出所围的图形（如图5.11）.由方程组得两条曲线的交点坐标为，取为积分变量，.将两曲线方程分别改写为得所求面积为.注 本题若以为积分变量，由于图形在两个区间上的构成情况不同，因此需要分成两部分来计算，其结果应为：.显然，对于例5.4.2选取作为积分变量，不如选取作为积分变量计算简便.可见适当选取积分变量，可使计算简化.例5.4.3 求曲线在区间上所围平面图形的面积.解 如图5.12所示，曲线的交点坐标为，选取作为积分变量，于是，所求面积为.0 xy 图5.122.极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程与射线所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角为积分变量，它的变化区间是，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为，中心角为的圆扇形的面积，从而得面积微元为于是，所求曲边扇形的面积为 .O 2a x图5.14xo图5.13例5.4.4 计算心形线所围图形的面积（如图5.14）.解 此图形对称于极轴，因此所求图形的面积是极轴上方部分图形面积的两倍.对于极轴上方部分图形，取为积分变量，由上述公式得：.这个结果就是本节前面问题1提到的凸轮横截面的面积，如果知道凸轮的厚度，可进一步求出它的体积，这里不再赘述.3定积分求体积(1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.15）.取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，相应薄片的体积近似于以为底面圆半径，为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为，于是，所求旋转体体积为.o xydy+dyyy图5.16co a x x+dx b xy 图5.15类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为 .例5.4.5 求由椭圆绕轴及轴旋转而成的椭球体的体积.解 (1)绕轴旋转的椭球体如图5.17所示,它可看作上半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成.取为积分变量,由公式所求椭球体的体积为.(2)绕轴旋转的椭球体,可看作右半椭圆与轴围成的平面图形绕轴旋转而成（如图5.18所示）,取为积分变量, ,由公式所求椭球体体积为bo xy 图5.18-b .当时,上述结果为,这就是大家所熟悉的球体的体积公式.(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为轴，则在处的截面面积是的已知连续函数，求该物体介于和之间的体积（如图5.19）.o a x x+dx b x图5.19取为积分变量，它的变化区间为，在微小区间上近似不变，即把上的立体薄片近似看作为底，为高的柱片，从而得到体积元素.于是该物体的体积为.例5.4.6 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.（如图5.20）解 取这平面与圆柱体的底面交线为轴-R o x R xyA (x)图5.20建立如图5.20的直角坐标系，则底面圆的方程为.立体中过点且垂直于轴的截面是一个直角三角形.它的直角边分别为，即.因而截面面积为.故所求立体体积为.4.定积分在物理上的应用举例(1)变力作功由物理学知道,物体在常力的作用下,沿力的方向作直线运动,当物体发生了位移时,力对物体所作的功是.但在实际问题中,物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的,这就需要考虑变力作功的问题.由于所求的功是一个整体量,且对于区间具有可加性,所以可以用微元法来求这个量.设物体在变力的作用下,沿轴由点移动到点,如图5.21所示,且变力方向与轴方向一致.取为积分变量,a x x+dx b xF(x)图5.21.在区间上任取一小区间,该区间上各点处的力可以用点处的力近似代替.因此功的微元为，因此,从到这一段位移上变力所作的功为.例5.4.7 弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即(为比例系数).已知弹簧拉长时,需力,要使弹簧伸长,计算外力所做的功.解 由题设,时,.代入,得.从而变力为,由上述公式所求的功为.(2)液体的压力由物理学知道,在液面下深度为处的压强为,其中是液体的密度,是重力加速度.如果有一面积为的薄板水平地置于深度为处,那么薄板一侧所受的液体压力.但在实际问题中,往往要计算薄板竖直放置在液体中(如前面问题2中的闸门)时，其一侧所受到的压力.由于压强p随液体的深度而变化,所以薄板一侧所受的液体压力就不能用上述方法计算,但可以用定积分的微元法来加以解决.设薄板形状是曲边梯形,为了计算方便,建立如图5.22所示的坐标系,曲边方程为.取液体深度为积分变量,o y axx+dx b x图5.22,在上取一小区间,该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看作长为,宽为的小矩形水平地放在距液体表面深度为的位置上时,一侧所受的压力.因此所求的压力微元为:.于是，整个平板一侧所受压力为. 下面我们来看本节前面问题2的答案.例5.4.8 修建一道梯形闸门，它的两条底边各长6m和4m，高为6m,较长的底边与水面平齐，要计算闸门一侧所受水的压力.解 根据题设条件.建立如图5.23所示的坐标系，的方程为.取为积分变量,在上任一小区间的压力微元为，从而所求的压力为 .5.定积分在经济中应用举例在第3章我们研究了导数在经济问题的应用，可以对经济函数进行边际分析和弹性分析，但在实际中往往还要涉及到已知边际函数或弹性函数，来求原函数的问题，就需要利用定积分或不定积分来完成，根据导数与积分的关系有：(1)已知边际成本，求总成本.有，其中是固定成本，一般不为零.(2)已知边际收益，求总成本.有.其中被称为自然条件，意指当销售量为0时，自然收益为0.下面通过实例说明定积分在经济方面的应用.例5.4.9 已知某产品边际成本函数且固定成本为1000元，求总成本函数C(Q).解 .例5.4.10 某工厂生产某产品（百台）的边际成本为=2（万元/百台）设固定成本为0，边际收益为(万元/百台).求：（1）生产量为多少时，总利润L最大？最大总利润是多少？（2）在利润最大的生产量的基础上又生产了50台，总利润减少多少？解 （1）因，所以利润函数，则，令，得唯一驻点，且有.故，即产量为2.5百台时，有最大利润，最大利润为万元.（2）在2.5百台的基础上又生产了50台，即生产3百台，此时利润为万元.即利润减少了0.25万元.习题5.41.求下列曲线围成平面图形的面积.(1) (2) (3) (4)(5) （6）2.求由直线与曲线及它在点处的法线所围成图形的面积.3.求下列平面图形分别绕轴,轴旋转所产生的立体的体积.(1)及 (2)及4.有一弹簧,用的力可以把它拉长,求把弹簧拉长时力所做的功.5.有一圆柱形贮水桶,高,底圆半径为,桶内装深的水,试问要将桶内的水全部吸出要作多少功?6.求曲线所围成图形的面积. 7.已知物体作变速直线运动的速度为,求该物体在前5秒内经过的路程.8.设一沿轴运动的物体所受的外力是(牛顿),试问当此物体从(米)处移到(米)处时外力所做的功.9.一水库闸门的形状为直角梯形,上底为,下底为,高为,求当水面与上底相齐时,闸门一侧所受的压力.10.已知某产品的的固定成本为1万元，边际收益和边际成本分别为（单位：万元/百台） .(1)求产量由1百台增加到5百台时，总收益增加了多少？(2)求产量由2百台增加到5百台时，总成本增加了多少？(3)求产量为多少时，总利润最大；(4)求总利润最大时的总收益、总成本和总利润.5.5 广义积分前面讨论定积分的定义时，要求函数的定义域只能是有限区间，并且被积函数在积分区间上是有界的.但是在实际问题中，还会遇到函数的定义域是无穷区间，或，或被积函数为无界的情况.前者称为无限区间上的积分，后者称为无界函数的积分.一般地，我们把这两种情况下的积分称为广义积分，而前面讨论的定积分称为常义积分.本节将介绍广义积分的概念和计算方法.5.5.1无穷区间上的广义积分无穷积分定义5.3 设函数在区间上连续, 取，若极限 存在,则称此极限为函数在 上的广义积分,记作,即 .此时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在, 就称发散.类似地，定义f(x)在区间上的广义积分为.f(x)在(-, +)上的广义积分定义为.其中为任意实数.当且仅当上式右端两个积分同时收敛时，称广义积分收敛，否则称其发散.从广义积分的定义可以直接得到广义积分的计算方法，即先求有限区间上的定积分，再取极限.例5.5.1 计算广义积分.解 任取实数，则 .例5.5.2 计算.解 =.所以，广义积分是发散.利用极限的性质，可以把定积分的分部积分法、换元积分法推广到广义积分.例5.5.3 计算.解 .注 显然这里的极限是不定式，利用洛必达法则可得其结果为零.例5.5.4 判断的收敛性.解 .显然时,没有极限,所以广义积分是发散的.例5.5.5 求曲线与直线所围成的图形的面积.图5.24o 1 xy解 如图5.24所示，阴影部分的面积可以看作函数在的定积分，故所求图形的面积为.例5.5.6 讨论广义积分的敛散性.解 当时，（发散）；当时，.故时，该广义积分收敛，其值为；当时，该广义积分发散.此广义积分称为积分，牢记它的敛散性，可以直接运用.5.5.2无界函数的广义积分瑕积分定义5.4 设函数在区间上连续，且.取,如果极限存在,则称此极限为函数在上的广义积分,记作，即.此时也称广义积分收敛，否则就称广义积分发散.类似地，当为的无穷大间断点时，在上的广义积分为：取,.当无穷间断点位于区间的内部时，则定义广义积分为：.注 上式右端两个积分均为广义积分，当且仅当右端两个积分同时收敛时，称广义积分收敛，否则称其发散.注 (1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿莱布尼兹公式.(2)求广义积分就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必塔法则.(3)为了方便，利用下列符号表示极限：；.(4)瑕积分与常义积分的记号一样，要注意判断和区别.例5.5.7 求.解 因为函数在上连续，且，所以是广义积分，于是.例5.5.8 求.解 因为函数在上连续，且，所以是广义积分,于是故发散.例5.5.9 计算.解 因为，所以是广义积分，于是.由于，即发散，从而发散.对于例5.5.9，如果没有考虑到被积函数在处有无穷间断点的情况，仍然按定积分来计算，就会得出如下错误的结果：.例5.5.10 求积分.解 因为被积函数，当时无界，所以按瑕积分进行.例5.5.11 讨论广义积分的敛散性.解 当时，发散；当时，.故时，该广义积分收敛，其值为；当时，该广义积分发散.此广义积分称为积分，牢记它的敛散性，可以直接运用.习题5.51.求下列广义积分：(1)