基于根轨迹德水箱温度控制系统.doc

青 岛 滨 海 学 院 毕 业 设 计引言在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置（称控制装置或控制器），使机器，设备或生产过程（统称被控对象）的某个工作状态或参数（即被控制量）自动地按照预定的规律运行。 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，主要用于工业控制，二战期间为了设计和制造飞机及船用自动驾驶仪，火炮定位系统，雷达跟踪系统以及其他基于反馈原理的军用设备，进一步促进并完善了自动控制理论的发展。到战后，以形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经典控制理论，它主要研究单输入-单输出，线形定常数系统的分析和设计问题。本次水箱控制采用理论分析和实验测定两种方法相结合的方法来进行设计。理论知识与实验数据相配合改进恒温水箱的设计过程，使得设计即符合理论又拥有实际意义。1控制系统方案选择、设计1.1控制理论与过程控制系统的发展状况控制理论与其他学科一样源于社会实践和科学实践。20实际40年代开始形成的控制理论被称为“20世纪上半叶三大伟绩之一”。在人类社会的各个方面有着深远的影响。到第二次世界大战前后，控制理论有了很大发展。电信事业的发展导致了Nyquist频率域分析技术和稳定盘踞的产生。1948年，Evans提出了一种易于工程应用的求解闭环特征方程根的简单求解方法根轨迹法。至此，自动化控制技术开始形成一套完整的，以传递函数为基础的，在频率域对单输入单输出控制系统进行分析与设计的理念，这就是今天所谓的经典控制理论。20世纪60年代，控制理论发展迅速，这是以状态空间方法为基础，以极小值原理和动态规划方法等最优控制理论为特征的，而以采用Kalman滤波器的随机干扰下的线性二次型系统为标志性系统的理论体系已基本建立。从20世纪70年代开始，为了解决大规模复杂系统的优化与控制问题，现代控制理论和系统理论的相结合，逐步发展形成了大系统理论。其核心思想是系统的分解与协调，多阶梯阶优化与控制正式应用大系统理论的典范。20世纪80年代发展起来智能控制，对于含有大量不确定性和难遇建模的复杂系统，基于知识的专家系统、模糊系统、人工神经网络控制、学习控制和基于信息论的智能控制等应运而生，它们在许多领域都得到了广泛的应用，成为自动控制的前沿学科之一。20世纪80年代以后出现优化与控制二层结构，在DCS的基础上实现先进控制和操作优化。在硬件上采用上位机和DCS或自动单元组合仪表相结合，构成二级计算机优化控制。随着计算机及网络技术的发展，DCS出现了开放式系统，实现多层次计算机网络构成的管控制一体化系统，即综合自动化系统。1.2 PID控制的概述目前工业自动化水平已成为衡量各行各业现代化水平的一个重要标志。同时，控制理论的发展也经历了古典控制理论、现代控制理论和智能控制理论三个阶段。智能控制的典型实例是模糊全自动洗衣机等。自动控制系统可分为开环控制系统和闭环控制系统。一个控制系统包括控制器、传感器、变送器、执行机构、输入输出接口。控制器的输出经过输出接口。执行机构，加到被控系统上，控制系统的被控量，经过传感器、变送器，通过输入接口送到控制器。不同的控制系统，其传感器、变送器、执行机构是不一样的。比如压力控制系统要采用压力传感器。电加热控制系统的传感器是温度传感器。目前，PID控制机器控制器或智能PID控制器（仪表）已经很多，产品已在工程实际中得到了广泛的应用，有各种各样的PID控制器产品，各大公司均开发了具有PID参数自整定功能的智能调节器（intelligent regulator）,其中PID控制器参数的自动调整是通过智能化调整或自校正、自适应算法来实现。有利用PID空盒子实现的压力、温度、流量、液位控制器，能实现PID控制功能的可编程控制器（PLC），还有可实现PID控制的PC系统等等。可编程控制器（PLC）是利用其闭环控制模块来实现PID控制功能的控制器，如Rockwell的Logix产品系列，它可以直接与ControlNet相连，利用网络来实现其远程控制功能。1.3 PID控制的基本概念、控制原理及其特点所谓PID调节，就是在一个闭环控制系统中，使被控物理量能够迅速而准确地无限接近于控制目标的一种手段。在工程实际中，应用最为广泛的调节器控制规律为比例、积分、微分控制，简称PID控制，又称PID调节。PID控制器问世至今已有近70年历史，它以其结构简单、稳定性好、工作可靠、调整方便而成为工业控制的主要技术之一。当被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到精确的数字模型时，控制理论的其他技术难以采用时，系统控制器的结构和参数必须依靠经验和现场调试来确定，这时应用PID控制技术最为方便。即当我们不完全了解一个系统和被控对象，或不能通过有效地测量手段来获得系统参数时，最适合PID控制技术。PID控制技术。PID控制，实际中也有PI和PD控制。PID控制器就是根据系统的误差，利用比例、积分、微分计算控制量进行控制的。比例（P）控制 比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器的输出与输入误差信号成比例关系。当仅有比例控制时系统输出存在稳态误差（Steady-state error）。 积分（I）控制 在积分控制中，控制器的输出与输入误差信号的积分成正比关系。对一个自动控制系统，如果在进入稳态后存在稳态误差，则称这个控制系统是有稳态误差的或简称有差系统（System with Steady-state Error）。为了消除稳态误差，在控制器中必须引入“积分项”。积分项对误差取决于时间的积分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进一步减小，直到等于零。因此，比例+积分(PI)控制器，可以使系统在进入稳态后无稳态误差。 微分（D）控制 在微分控制中，控制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系。 自动控制系统在克服误差的调节过程中可能会 出现振荡甚至失稳。其原因是由于存在有较大惯性组件（环节）或有滞后(delay)组件，具有抑制误差的作用，其变化总是落后于误差的变化。解决的办法是使抑制误差的作用的变化“超前”，即在误差接近零时，抑制误差的作用就应该是零。这就是说，在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的作用仅是放大误差的幅值，而目前需要增加的是“微分项”，它能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的严重超调。所以对有较大惯性或滞后的被控对象，比例+微分(PD)控制器能改善系统在调节过程中的动态特性。2 过程控制系统2.1过程控制系统概述 在生产过程中，对各个工艺过程的物理量有一定的控制要求。有些工艺变量直接表征生产过程，对产品的数量和质量起着决定性的作用。例如，精馏塔的塔顶或塔釜温度，一般在操作压力不变的情况下，必须保持一定，才能得到合格的产品；加热炉出口温度的波动不能超出允许范围，否则将影响后一阶段的效果；化学反应器的反应温度必须保持平稳，才能使效率达到指标。有些工艺变量虽不直接地影响产品的数量和质量，然而保持其平稳却是使生产获得良好控制的前提。例如，用蒸汽加热反应器或在沸腾器，在蒸汽总压波动剧烈的情况下，要把反应温度或塔釜温度控制好极为困难；中间贮槽的液位高度与其柜压力，必须维持在允许的范围之内，才能使物料平衡，保持连续的均衡生产。有些工艺变量是决定安全生产的因素，例如，锅炉锅筒的液位、受压容器的压力等，不允许超出规定多限度，否则将威胁生产的安全。对以上各种类型的变量，在生产过程中，都必须加以必要的控制。2.2 过程控制系统的特点过程控制系统的特点是与其它自动控制系统相比较而言的，大致可归纳如下：一、连续生产过程的自动控制 过程控制一般是指连续生产过程的自动控制，其被控量需定量地控制，而且应是连续可调的。若控制动作在时间上是离散的，但是其被控量需定量控制，也归纳入过程控制。 二、过程控制系统由过程检测、控制仪表组成 过程控制是通过各种检测仪表、控制仪表（包括电动仪表和气动仪表，模拟仪表和智能仪表）和电子计算机等自动化技术工具，对整个生产过程进行自动检测、自动监督和自动控制。一个过程控制系统是由被控过程和过程检测控制仪表两部分组成的。过程检测控制仪表包括检测元件、变送器、调节器（包括计算机）、调节阀等。过程控制系统的设计是根据工业过程的特性和工艺要求，通过选用过程检测控制仪表构成系统，再通过PID参数的整定，实现对生产的最佳控制。三、被控过程是多种多样的最佳控制在现代工业生产工程中，工业过程很复杂。由于生产规模大小不同，工艺要求各异，产品品种多样，因此过程控制中的被控过程市多种多样的。诸如石油化工过程中的精馏塔、化学反应、流体设备、热工过程中的锅炉、热交换器；冶金过程中的转炉、平炉；机械工业中的热处理炉等。它们的动态特性多数具有大惯性、大滞后、非线性特性。有些机理负责（如发酵、生化过程等）的过程至今尚未被人们所认识，所以很难用目前过程辨识方法建立其精确的数学模型，因此设计能适应各种过程的控制系统并非易事。四、过程控制的控制过程多属慢过程，而且多半为参量控制 由于被控过程具有大惯性、大滞后等特性，因此决定了过程控制的控制过程多属慢过程。另外，在石油、化工、电力、冶金、轻工、建材、制药等工业生产过程中。往往采用一些物理和化学量（如温度、压力、流量、液位、成分的等）来表征其生产过程是否正常，因此需要对上述过程参数进行自动检测和自动控制，故过程控制多半为参量控制。五、过程控制方案十分丰富 随着现代工业生产的迅速发展，工艺条件越来越复杂，对过程控制的要求也越来越高。过程控制系统的设计是以被控过程的特性为依据的。由于工业过程的复杂、多变，因此其特性多半数多变量、分布参数、大惯性、大滞后和非线性等等。为了满足上述特点与工艺要求，过程控制中的控制方案是十分丰富的。通常有单变量控制系统，也有多变量控制系统；有仪表控制系统，也有计算机集散控制系统；有复杂控制系统，也有满足特定要求的控制系统。六、定值控制是过程控制的一种形式 在石油、化工、电力、冶金、轻工、环保和原子能等现代工业生产工程中，过程控制的主要目的在于消除或减小外界干扰对被控量的影响，使被控量稳定在给定值上，是工业生产能实现优质、高产和低消耗的目标。定值控制仍是目前过程控制的一种常用形式。3 系统结构设计3.1系统结构原理图实验装置的结构如图3-1所示。温度控制系统由以下几个环节组成：1、被控水箱 2、电加热器 3、晶闸管电路 4、电压调节器 5、开放器KD 6、温度调节器TC 7、温度检测TT 8、液位调节器LC 9、执行器MLCZKDJKTC给定给定Q1Q2 220V图3 -1 水箱温度控制系统原理图系统要求：1.水箱规格：长宽高=0.250.20.4cm32.电加热器功率：2.5kw23.性能指标：液位：L=0.3m 稳态误差：ess5mm过滤时间：ts4分钟衰减比：n4:1温度：T=50稳态误差：ess0.2过滤时间：ts4分钟衰减比：n=10:13.2 装置的仪表选择采用DDZ-II单元组合仪表，统一信号0 10mADC。1、调节器（PID）：DTL-321 比例信号P=0200% TD=0300s TI=01200s2、开方器：DJK-03为使调节器输出与热量成正比而引进。输入输出信号：010mA3、电加热器：SRS3-220/2.5x2 台 Q=0.24V2/R=0.001756 V2（千卡/分）（R=8.3）时间常数1/3min4、可控硅电压调节器：ZK-50 输入：010mA 输出：0220VAC KV=225、温度变送器：DBW-120 输入：5071.40 输出：010mA6、铜热电阻CU50：输入：0100 输出：5071.4KCU=（71.450）/（1000）=0.214/ 时间常数T=2.5min研究的内容：当水位稳定于Q=0.7Kg/min，P=3，TD=1.5min时，水温稳定于50。当出水量突然增大为Q=0.82Kg/min时，系统过度过程的衰减比n=6:14:1,调整时间TS=4min5min,余差C0.2.33 控制系统数学模型的理论分析法理论在自动控制系统中，数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复数域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。3.3.1微分方程的建立一、线性元件的微分方程的建立：1、根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输入量。2、分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；3、消去中间变量，得到输出量与输入量之间的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端的导数均按降幂排列。二、控制系统微分方程的建立建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理线路图画出系统方块图，并分别列写组成系统各元件的微分方程；然后，消去中间变量便得输入量与输出量之间关系的微分方程。列写系统各元件的微分方程时，一是应注意信号传送的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级地单向传送；二是应注意前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。三、线性定常微分方程的求解1、考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转化为变量s的代数方程。2、由代数方程求出输出量拉式变换函数的表达式；3、对输出量拉式变换函数求反函数，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。3.4 传递函数3.4.1 传递函数的基本概念零初始条件下线性系统响应（即输出）量的拉普拉斯变换与激励（即输入）量的拉普拉斯变换之比。记作 G（s）=Y(s)/U(s)，其中Y(s)，U(s)分别为输出量和输入量的拉式变换。传递函数是描述线性系统动态特性的基本数学工具之一，经典控制理论的主要研究方法频率响应法和根轨迹法都是建立在传递函数的基础之上。系统的传递函数与描述其运动规律的微分方程是对应的。可根据组成系统各单元的传递函数和它们之间的联结关系导出整体系统的传递函数，并用它分析系统的动态特性、稳定性，或根据给定要求综合控制系统，设计满意的控制器。以传递函数为工具分析和综合控制系统的方法称为频域法。它不但是经典控制理论的基础，而且在以时域方法为基础的现代控制理论的发展工程中，也不断发展形成了多变频域控制理论，称为研究多变量控制系统的有用工具。传递函数中的复变量s在实部为零、虚部为角频率时就是频率响应。3.4.2 传递函数的应用传递函数主要应用在三个方面：1、 确定系统的输出响应。对于传递函数G（s）已知的系统，在输入作用U（s）给定后，系统的输出响应Y（s）由G（s）、U（s）运用拉式反变换方法来定出。2、 分析系统参数变化对输出响应的影响。对于闭环控制系统，运用根轨迹法可方便的分析开环增益的变化对闭环传递函数极点、零点位置的影响，从而可进一步估计对输出响应的影响。3、 用于控制系统的设计。直接由系统开环传递函数进行设计时，采用根轨迹法。根据频率响应来设计时，采用频率响应法。3.5 对象动态特性求取一.理论分析计算：输入热量：电热器供给W入=0.24U2/R60/1000(千卡)输入量：水温T进水Q1带入热量W1=Q1CT1 Q1入水流量（kg/分）,T1冷水温度出水Q2带走热量W2=Q2CT Q2出水流量（kg/分），T水温水箱间壁散失热量W0=(T-T0)/RS T0室温，RS热阻 千卡/热量平衡方程式： 稳态平衡：W入+W1=W2+W0 T不变动态方程式：（W入+W1）-(W2+W0)=GCdT/dt即：W入=GCdT/dt+Q2CT+(T-T0)/RS-Q1CT1两边拉氏变换： W入(S)=GCST(S)+Q2CT(S)+1/RST(S)=T(S)GCS+Q2C+1/RST(S)/W入(S)=1/(GCS+Q2C+1/RS)=K/(TS+1)=W(S)其中K=1/(Q2C+1/RS),T=GC/(Q2C+1/RS),一阶惯性环节二、实验测定数据1、实验需测定的各个数值： GC为水箱水的重量 GC=15kgL为水箱高度 L=0.3m水箱温度 T0 =15为冷水温度 T1=10为恒温阻值 Rs=8.3为流量 Q2=0.65kg分根据数据列表为： 表3-1 实验测定数据t(分)02.557.5101520T()2424.425.226.22718.630表3-2 实验测定数据t(分)2530354050.T()30.831.632.232.633.4.34求得： T=GC/(Q2C+1/Rs) W(s)=1.33/（20s+1） K=1.33 二、两点法利用响应曲线求对象传函：图3-2对象传递函数的响应曲线（1）放大倍数y=34-24=10x=0.2460(100 -75 )/(10008.3)=7.6千卡/分K=y/x=10/7.6=1.32分/千卡 x=0.2460(100 -75 )/(10008.3)=7.6千卡/分K=y/x=10/7.6=1.32分/千卡 2、无因次化：y(t)=y(t)/y()=0 13、y(t)=0.7 对应t7=26分4、t4=1/3t7=26/3=8.7分5、y4=0.266、 T=t7/2.4=26/2.4=10.87、 由 y4- 曲线上 求得=0.58 =0.768、 T1=T(1+)=19分 T2=T(1-)=2.4分 G(s)=1.32/(19s+1)(2.4s+1)图3-3偏差函数相应曲线四干扰通道传函求取 Q2的变化为主要干扰. 推导得出： Gf(s)=-50G(s)=-501.32/(20s+1)五控制方案选Q2-50T（s）R(s) 水箱电热器电压调整器开方器调节器 温变送器热电阻 图3-4 闭环传递函数4 自动化仪表的选择及参数确定4.1 自动化仪表的选择采用DDZ- 单元组合仪表. 统一信号D 10mADC1.调节器 DTL-321.(PID) 比例度：P=0200 TD=0300s TI=01200s2、开方器 DJK03 为使调节器输出与热量成正比而引入。 输出、输入信号：010mA DC 3、电加热器 SRS3220/2.5千瓦2台 时间常数：TR=1/3 min4、可控硅电压调节器：ZK50 输入：010mA 输出：0220V AC 5、温度变送器：DBW120 输入：5071.40 输出：010mA6、铜热电阻：Cu50 输入：0C100C输出：50100时间常数：T=2.5min4.2 自动化仪表自动化仪表是实现生产过程自动化的重要工具。在自动控制系统中，检测仪表将被控变量转换成测量信号后，还需送控制仪表，以便控制生产过程的正常运行，使被控变量达到预期的要求。这里所指的控制仪表包括在自动控制系统中广泛使用的控制器、变送器、运算期、执行器等，以及新型控制仪表及装置。图4-2为由控制仪表与控制对象组成的简单控制系统框图。图4-1 控制系统框图通常, 控制仪表及装置可按能源形式、 信号类型,和结构形式来分类。4.3 仪表分类一、按能源形式分类可分为电动, 气动, 液动和机械式等几类 。 工业上普遍使用电动控制仪表和气动制仪表。电动控制仪表具有能源获取方便, 信号传输和处理容易, 便于实现集中显示和操作等特点 。 目前在工业上电动控制仪表得到了最为广泛的应用 。气动控制仪表具有结构简单, 性能稳定, 可靠性高, 易于维护,安全防爆等特点 。 特别适用于石油, 化工等具有爆炸危险的场合 。二、按信号类型分类可分为模拟式和数字式两大类 。模拟式控制仪表由模拟元器件组成, 其传输信号通常为连续变化的模拟量, 如电流信号, 电压信号, 气压信号等 。数字 式控制仪表以微处理器, 单片机等大规模集成电路芯片为核心。 其传输信号通常为段续变化的数字量, 如脉冲信号 。三、按结构形式分类可分为单元组合式控制仪表, 基地式控制仪表, 集散型计算机控制系统以及现场总线控制系统 。1、单元组合式控制仪表是根据控制系统各组成环节的不同功能和使用要求, 将仪表做成能实现一定功能的独立仪表 （ 称为单元 ）, 各个仪表之间用统一的表标准信号进行联系 。 这类仪表有电动单元组合仪表 （ DDZ） 和气动单元组合仪表 （ QDZ） 两大类 。单元组合仪表可分为变送单元, 执行单元, 控制单元, 转换单元,运算单元, 显示单元, 给定单元和辅助单元等八类 。（1）变送单元 它能将各种被测参数, 如温度, 压力, 流量, 液位等物理量变换成相应的标准统一信号 （ 4 20mA,0 10mA或 20 100kPa） 传送到接受仪表或装置, 以供指示, 记录或控制 。变送单元的品种有：温度变送器, 压力变送器, 差压变送器, 流量变送器, 液位变送器等 。（2）执行单元 它有执行机构和调节阀两部分组成。执行机构按能源划分有气动执行器、电动执行器和液动执行器，结构阀可以根据结构特性和流量特性进行分类。这些分类方法可以很好地进行对仪表的执行。（3）转换单元 转换单元将电压, 频率等电信号转换成标准统一信号,或者进行标准统一信号之间的转换, 以使不同信号可以在同一控制系统中使用转换单元的品种有：直流毫伏转换器, 频率转换器, 电 -气转换器,气 -电转换器等 。（4）控制单元 它将来自变送单元的测量信号与给定信号进行比较,按照偏差给出控制信号, 去控制执行器的动作 。控制单元的品种有：比例积分微分控制器, 比例积分控制器, 微分控制器以及具有特种功能的控制器等 。（5）运算单元 它将几个标准统一信号进行加、减、乘、除,开方、平方等运算，适用于多种参数综合控制、比值控制、流量信号的温度压力补偿计算等。品种有：指示仪, 指示记录仪, 报警器, 比例积算器和开方积算器等。（6）显示单元 它对各种被测参数进行指示, 记录, 报警和积算, 供操作人员监视控制系统和生产过程工况之用 。显示单元输出的控制信号或手动操作信号, 去改变控制变量的大小。（7）给定单元 它将输出标准统一信号, 作为被控变量的给定值送到控制单元, 实现定值控制 。给定单元的品种有：恒流给定器, 定值器, 比值给定器和时间程序给定器等 。（8）辅助单元 辅助单元是为了满足自动控制系统某些要求而增设的仪表, 如操作器, 阻尼器, 限幅器, 安全栅等等 。2、基地式控制仪表基地式控制仪表是以指示、记录仪表为主体，附加控制机构而组成。它不仅能对某变量进行指示或记录，还具有控制功能。基地式模拟仪表一般结构比较简单；基地式数字仪表则功能较齐全，具有较高的性价比。这类仪表用于单机自动化系统。（1）集散控制系统 （ DCS系统 ）DCS系统是一种以微型计算机为核心，在控制技术(Control)、计算机技术(Computer)、通信技术(Communication)、屏幕显示技术(CRT)四“C”技术迅速发展的基础上研制成的一种计算机控制装置。 其基本特点是分散控制, 集中管理 。（2）现场总线控制系统 （ FCS系统 ）FCS系统是20世纪90年代发展起来的新一代工业控制系统。它是计算机网络技术、通信技术、控制技术、和现代仪器仪表技术的最新发展成果。现场总线的出现改变了传统控制系统的结构，它将具有数字通信功能的现场智能仪表连接成工厂底层网络系统，并同上一层监控级、管理级联系起来成为全分布式的新型控制网络。其特点是现场控制和双向数字通 。5系统性能分析5.1根轨迹法根轨迹的概念根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征根在S平面上变化的轨迹。可分成常义根轨迹和广义根轨迹。绘制根轨迹的规则当 从零到无穷变化时，依据相角条件，可以在复平面上找到满足 变化时的所有闭环极点，即绘制出系统的根轨迹。但是在实际中，通常我们并不需要按相角条件逐点确定该点是否为根轨迹上的点，而是依据一定的规则，找到某些特殊的点，绘制出闭环极点随参数变化的大致轨迹，在允许的范围内，再用幅值条件和相角条件确定极点的准确位置。下面以变参量 ，传递函数 为例，讨论绘制根轨迹的基本规则。规则1 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 证明 根轨迹的起点对应根轨迹增益=0 时特征方程的根，根轨迹的终点对应 时的特征方程根，可得闭环系统特征方程为 对于物理可实现系统，开环传递函数分母多项式的阶次n与分子多项式的阶次m，满足不等式 mn 时，有 如果把无穷远处的极点看成无限极点，于是我们可以说，根轨迹必起于开环极点。当nm 时，有 满足幅值条件，说明根轨迹的终点是开环零点。规则2 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等，根轨迹是连续的且关于实轴对称。证明 由于根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷时，闭环特征方程的根在s平面上变化的轨迹，所以根轨迹的分支数与闭环特征方程的根的数目一样。可见，特征根的数目等于开环有限零点数m和有限极点数n中的较大者，即根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n 中的较大者相等。可知，参变量无限小增量与s平面上的长度的无限小增量相对应，此时，复变量s在n条根轨迹上就各有一个无穷小的位移，因此，当从零到无穷连续变化时，根轨迹在s平面上一定是连续的。由于闭环特征方程是实系数多项式方程，其根或为实数位于实轴上，或为共轭复数成对出现在复平面上。因此，根轨迹是对称于实轴的。在绘制根轨迹时，只要作出s平面上半部的轨迹，就可根据对称性得到下半平面的根轨迹。规则3 实轴上，若某线段右侧的开环实数零、极点个数之和为奇数，则此线段为根轨迹的一部分。 证明 为确定实轴上的根轨迹，选择s0作为试验点。开环极点到s0点的向量的相角为, (i=1,2,3)，开环零点到s0点的向量的相角为，（j=1,2,3 ）。共轭复数极点到实轴上任意一点的向量的相角和为，共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为 ，因此，当我们在确定实轴上的某点是否在根轨迹上时，可以不考虑复数开环零、极点对相角的影响。下面分析位于实轴上的开环零、极点对相角的影响。由图还可见，点左边开环实数零、极点到点的向量相角为零，而点右边开环实数零、极点到点的向量相角均等于。如果令代表点之右所有开环实数零点到点的向量相角和，令代表点之右所有开环实数极点到点的向量相角和，那么点位于根轨迹上的充分必要条件，是下列相角条件成立： 式中，为奇数。 在上述相角条件中，考虑到这些相角中的每一个相角都等于，而与-代表相同角度，因此减去角就相当于加上角。于是，位于根轨迹上的等效条件是 式中为奇数。于是本法则得证。 对于此系统，根据本法则可知，和之间、和之间，以及和之间的实轴部分，都是根轨迹的一部分。规则4 根轨迹的渐近线。 当有限开环极点数n大于有限零点数m时，有n-m条根轨迹沿着与实轴交点为、交角为的一组渐近线趋于无穷远处，且交点坐标为 渐近线与实轴的夹角为 ；k=0,1,2,.,n-m-1 证明 由式知，系统的特征方程为 中， (上式左端用长除法，因s很大，故只保留前两项，得渐近线方程为 或 根据二项式定理， 由于 s值 很大，只保留级数的前两项，可近似为 将上式代入下式，有渐近线方程 令 代入式，得 令式(两端实部和虚部分别相等，有 从最后两个方程中解出 式中 在s平面上为一直线方程，直线与实轴的交点为，交角为。对应不同的k值，可得n-m个角，而不变。因此根轨迹渐近线是n-m条与实轴交点为，交角为的一组射线。规则5 两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上某点相遇又立即分开，则称该点为分离点，分离点的坐标 d可由以下方程求得： 式中，为各开环零点的数值，为各开环极点的数值；分离角为 。证明 由根轨迹方程，有 所以闭环特征方程为 根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征方程有重根出现。设重根为d，根据代数中重根条件， 或 将式1除式2得 代人 及得 从上式中解出s，即为分离点d。 这里不加证明地指出：当条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由决定，其中k=0,1,.，l-1。需要说明的是，分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。显然，当=2时，分离角必为直角。规则6 根轨迹离开复数极点的切线方向与正实轴间的夹角称为起始角，用表示；进入复数零点的切线方向与正实轴间的夹角称为终止角，用表示，可根据下面的公式计算 证明 设开环系统有 n 个极点， m个零点。在十分靠近待求起始角（或终止角）的复数极点（或复数零点）的根轨迹上，取一点。由于无限接近于求起始角的复数极点（或求终止角的复数零点），因此，除（或）外，所有开环零、极点到点的向量相角和，都可以用他们到（或）的向量相角（或）和（或）来代替，而（或）到点的向量相角即为起始角（或终止角）。根据点必满足相角条件，应有移项后，立即得到式32 33。应当指出，在根轨迹的相角条件中，与是等价的，所以为了便于计算起见，在上面最后两式的右端有的用表示。规则7 若根轨迹与虚轴相交，其交点处的值和W值可由劳斯判据求得，或将代入特征方程，并令其实部和虚部分别相等求得。证明 若根轨迹与虚轴相交，则说明系统处于临界稳定状态，可令劳斯表的第一列系数含有的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的值。此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯表中行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴交点上的w值。如果根轨迹与正虚轴（或者负虚轴）有一个以上交点，则应采用劳斯表中幂大于2的s的偶次方行的系数构造辅助方程。除了用劳斯判据求根轨迹与虚轴的交点外，还可令代入特征方程，即得 令特征方程的实部和虚部分别相等，有 联立解上面二方程，即可求出与虚轴交点处的 值和w值。根据以上7条规则，就可以在s平面上绘制出大致的根轨迹图。5.2 系统要求指标 由自动控制原理 过渡过程的质量指标 要求的闭环极点位置 该系统根轨迹坐标图如下：其中阴影区为满足性能指标区域。图5-1 校正后的主导极点 2、未校正系统的根轨迹开环传递函数为： 20扰动下，稳定系统，由终值定理可求： 由根轨迹绘图规则：画出校正前根轨迹如下图。可见：动、静态均不满足指标要求，必须整定。图5-2 未校正的根轨迹八、基于根轨迹整定调节器参数 1、PD调节器参数的确定 （补偿相角）作图法：得到 图5-3 PD调节器参数的确定PD 整定后的开环传递函数 满足要求整定后根轨迹绘图规则如图一， 图5-4 整定后的根轨迹5.3 整定法一、工程整定法反应曲线法是通过阶跃信号的输入，通过在输出图形中，可以找到停滞时间。如图4-1为输入信号，图4-2为输出信号。1反应曲线法（动态特性参数法）图5-5 输入信号 图5-6 输出信号表5-1列出了PID在不同输入情况下，可通过计算求出和表5-1 PID参数值PTiTdPKT100%PD0.8KT100%(0.250.3)PI1.1KT100%3.3PID0.85KT100%2(0.5)0.24V22-V1260/1000R0.242202-060/1000R34-24100-0由响应曲线测得 PID：P = 0.850.92/19 = 0.08 TI= 2=4分 Td=0.5=1分二、临界比例度法临界比例度法，是通过改变放大倍数，直到出现等幅振荡为止，看此时的比例度，找到