九年级数学下册 第7章 最短路径问题课件 （新版）青岛版.ppt

最短路径问题 相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的a地出发 到一条笔直的河边饮马 然后到b地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 将军饮马问题 精通数学 物理学的海伦稍加思索 利用轴对称的知识回答了这个问题 这个问题后来被称为 将军饮马问题 将军饮马问题 1 能够利用基本事实 两点之间线段最短 和 轴对称的性质 从复杂的图形中抽象出 最短路径 问题的基本数学模型 2 能将立体图形中的 最短路径问题 转化为平面图形来解决 3 通过训练 提高综合运用知识的能力 学习目标 如图所示 从a地到b地有三条路可供选择 选择哪条路距离最短 你的理由是什么 两点之间线段最短 知识回顾 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 轴对称的性质 知识回顾 如图 要在燃气管道l上修建一个泵站 分别向a b两镇供气 泵站修在管道的什么地方 可使所用的输气管线最短 p 所以泵站建在点p可使输气管线最短 数学原理 两点之间线段最短 相传 古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者 名叫海伦 有一天 一位将军专程拜访海伦 求教一个百思不得其解的问题 从图中的a地出发 到一条笔直的河边l饮马 然后到b地 到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短 你能将这个问题抽象为数学问题吗 将a b两地抽象为两个点 将河l抽象为一条直线 点p是直线上的一个动点 当点p在l的什么位置时 pa pb最小 你能利用轴对称的有关知识解答这个问题吗 1 作点b关于直线l的对称点b b p 如图 点a b在直线l的同侧 点p是直线上的一个动点 当点p在l的什么位置时 pa pb最小 2 连接ab 与直线l相交于点p 则点p即为所求 作法 已知直线l和a b两点 点p是直线上的一个动点 当点p在l的什么位置时 pa pb最小 1 a b两点在直线异侧时 p b p 2 a b两点在直线同侧时 模型分析 如图 在平面直角坐标系中 一次函数y 2x 4的图象与x y轴分别交于点a b两点 oa ab的中点分别为c d p为ob上一动点 当 pcd的周长最小时 求p点坐标 p c 典型例题1 1 什么情况下 pcd的周长最小 2 如何找到点p 题组一 1 如图 在边长为1的等边三角形abc中 点d是ac的中点 ae bc 点p是ae上任一点 则pc pd的最小值为 a b c d e p 利用等边三角形的轴对称性 2 如图 正方形abcd的边长为8 m在dc上 且dm 2 n是ac上的一动点 dn mn的最小值为 利用正方形的轴对称性 n 题组一 如图 圆柱形玻璃杯 高为12cm 底面周长为18cm 在杯内离杯底4cm的点c处有一滴蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点a处 则蚂蚁到达c的最短距离为 cm 典型例题2 1 在棱长为1的立方体的右下角a处有一只蚂蚁 欲从立方体的侧面爬行去吃右上角b处的食物 问怎样爬行路径最短 最短路径是多少 题组二 1 在底面半径为1 高为2的圆柱体的左下角a处有一只蚂蚁 欲从圆柱体的侧面爬行去吃右上角b处的食物 问怎样爬行路径最短 最短路径是多少 题组二 沿过点a的母线剪开 则侧面展开图如图所示 连接ab 则ab为爬行的最短路径 最短路径 问题解决 2 如图 圆锥的底面半径为1 母线长为4 一只蚂蚁要从底面圆周上一点b出发 沿圆锥侧面爬行一圈再回到点b 问它爬行的最短路线是多少 题组二 圆锥的侧面展开图如图所示 连接bb 则bb 为蚂蚁爬行的最短路径 思路分析 4 1 b 解 设圆锥的侧面展开图为扇形abb bab n abb 是直角三角形 解得 n 90 圆锥底面半径为1 母线长为4 连接bb 即为蚂蚁爬行的最短路线 bb 答 蚂蚁爬行的最短路线为 问题解决 2 这节课我学会了 反思小结 1 最短路径 问题的数学模型 2 利用转化的数学方法解决问题 3 分析问题时 要抓住问题的