河北省唐山市高三数学上学期摸底试卷 理（含解析）.doc

河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）已知集合m=x|x1，n=x|2x20，则mn=（）a，+）b1，c1，+）d（，1，+）2（5分）复数z=，则（）a|z|=2bz的实部为1cz的虚部为idz的共轭复数为1+i3（5分）函数f（x）=是（）a偶函数，在（0，+）是增函数b奇函数，在（0，+）是增函数c偶函数，在（0，+）是减函数d奇函数，在（0，+）是减函数4（5分）抛物线y=2ax2（a0）的焦点是（）a（，0）b（，0）或（，0）c（0，）d（0，）或（0，）5（5分）已知sin（x）=，则sin2x的值为（）abcd6（5分）2015届高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）abcd7（5分）设向量，满足|=|=|+|=1，则|t|（tr）的最小值为（）a2bc1d8（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）abc1d29（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）a5bcd10（5分）将函数f（x）=sinx（其中0）的图象向左平移单位长度，所得图象关于x=对称，则的最小值是（）a6bcd11（5分）已知a0，且a1，则函数f（x）=ax+（x1）22a的零点个数为（）a1b2c3d与a有关12（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）a5b12c20d8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在的展开式中，x6y2项的系数是14（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是15（5分）已知双曲线c：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，c的一个焦点到l的距离为1，则c的方程为16（5分）在abc中，ab=，点d在边bc上，bd=2dc，cosdac=，cosc=，则ac+bc=三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知等差数列an的前n项和为sn，sn=kn（n+1）n（kr），公差d为2（1）求an与k；（2）若数列bn满足b1=2，bnbn1=n2（n2），求bn18（12分）某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目（每名大学生只参加一个项目的服务）（1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；（2）设x，y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记=|xy|，求随机变量的分布列和数学期望e（）19（12分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，点d是bc的中点（1）求证：a1b平面adc1；（2）若abac，ab=ac=1，aa1=2，求平面adc1与aba1所成二面角的正弦值20（12分）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，p（m，0）为c的长轴上的一个动点，过p点斜率为的直线l交c于a、b两点当m=0时，=（1）求c的方程；（2）求证：|pa|2+|pb|2为定值21（12分）已知函数f（x）=2exax2（ar）（1）讨论函数的单调性；（2）若f（x）0恒成立，证明：x1x2时，2（e1）【选修4-1：几何证明选讲】共1小题，满分10分）22（10分）如图，o过平行四边形abct的三个顶点b，c，t，且与at相切，交ab的延长线于点d（1）求证：at2=btad；（2）e、f是bc的三等分点，且de=df，求a【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线c：sin2=2acos（a0），过点p（2，4）的直线l的参数方程为（t为参数），l与c分别交于m，n（1）写出c的平面直角坐标系方程和l的普通方程；（2）若|pm|，|mn|，|pn|成等比数列，求a的值【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24设函数f（x）=|x|+|x+m|（m0）（1）证明：f（x）4；（2）若f（2）5，求m的取值范围河北省唐山市2015届高三上学期摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）已知集合m=x|x1，n=x|2x20，则mn=（）a，+）b1，c1，+）d（，1，+）考点：并集及其运算 专题：集合分析：解不等式求出集合n，根据集合并集的定义得到答案解答：解：集合m=x|x1，n=x|2x20=x|x，mn=x|x=，+），故选：a点评：本题考查的知识点是集合的并集及其运算，属于基础题2（5分）复数z=，则（）a|z|=2bz的实部为1cz的虚部为idz的共轭复数为1+i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi的形式，然后判断选项即可解答：解：复数z=1i显然a、b、c都不正确，z的共轭复数为1+i正确故选：d点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力3（5分）函数f（x）=是（）a偶函数，在（0，+）是增函数b奇函数，在（0，+）是增函数c偶函数，在（0，+）是减函数d奇函数，在（0，+）是减函数考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：判断函数的定义域为r，然后利用定义判断f（x）与f（x）的关系，利用2x的单调性判断f（x）单调性解答：解：f（x）的定义域为r，f（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数；又y=2x为增函数，y=2x为增函数，f（x）为增函数；故选b点评：本题考查了函数奇偶性的判定以及单调性的判定4（5分）抛物线y=2ax2（a0）的焦点是（）a（，0）b（，0）或（，0）c（0，）d（0，）或（0，）考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标解答：解：整理抛物线方程得x2=，p=焦点坐标为（0，） 故选：c点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，其中将抛物线方程化为标准方程是解答本题关键5（5分）已知sin（x）=，则sin2x的值为（）abcd考点：二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：利用sin2x=即可得出解答：解：sin2x=故选：a点评：本题考查了诱导公式、倍角公式，属于基础题6（5分）2015届高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）abcd考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计分析：4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有12种，其中甲丙相邻的只有4种，由此能求出甲乙相邻，则甲丙相邻的概率解答：解：4人排成一排，其中甲、乙相邻的情况有：（甲乙丙丁）、（甲乙丁丙）、（丙甲乙丁）、（丁甲乙丙）、（丙丁甲乙）、（丁丙甲乙）、（乙甲丁丙）、（乙甲丁丙）、（丙乙甲丁）、（丁乙甲丙）、（丙丁乙甲）、（丁丙乙甲），共计12种，其中甲丙相邻的只有4种，甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为：p=点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用7（5分）设向量，满足|=|=|+|=1，则|t|（tr）的最小值为（）a2bc1d考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：平面向量及应用分析：由题意易得向量的夹角，进而由二次函数可得|t|2的最小值，开方可得解答：解：设向量，的夹角为，|=|=|+|=1，=1+1+211cos=1，解得cos=，=，|t|2=+t2=t2+t+1=（t+）2+，当t=时，上式取到最小值，|t|的最小值为故选：d点评：本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题8（5分）已知a0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为1，则a=（）abc1d2考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点b时，从而得到a值即可解答：解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点b时，z最小，由 得：，代入直线y=a（x3）得，a=故选：b点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定9（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）a5bcd考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解答：解：当n=1时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=2，当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=3，当n=3时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=4，当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=5，当n=5时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=6，当n=6时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=7，当n=7时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=5，a=5，n=8，当n=8时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=9，当n=9时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，b=，a=，n=10，当n=10时，不满足进行循环的条件，故输出的a值为，故选：c点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题10（5分）将函数f（x）=sinx（其中0）的图象向左平移单位长度，所得图象关于x=对称，则的最小值是（）a6bcd考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+=k+，kz，即=k+，由此求得的最小值解答：解：将函数f（x）=sinx（其中0）的图象向左平移单位长度，可得函数y=sin（x+）=sin（x+）的图象再根据所得图象关于x=对称，可得+=k+，kz，即=k+，故的最小值为，故选：d点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题11（5分）已知a0，且a1，则函数f（x）=ax+（x1）22a的零点个数为（）a1b2c3d与a有关考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：令g（x）=ax2a，h（x）=（x1）2，而x=1时：g（x）=ax2a=a0，h（x）=（x1）2=0，从而得出函数有2个交点，即函数f（x）有2个零点解答：解：令f（x）=0，得：ax2a=（x1）2，令g（x）=ax2a，h（x）=（x1）2，x=1时：ax2a=a0，（x1）2=0，a1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点；0a1时，画出函数g（x）和h（x）的草图，如图示：，两个函数有2个交点，故选：b点评：本题考查了函数的零点问题，考查转化思想，考查数形结合思想，是一道基础题12（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）a5b12c20d8考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥；把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积解答：解：三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥；把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为1，1，则它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：=所以球的半径为：r=这个几何体的外接球的表面积是：4r2=5故选：a点评：本题是基础题，考查几何体的外接球的问题，空间想象能力，逻辑思维能力，和计算能力，注意本题中三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个球二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）在的展开式中，x6y2项的系数是56考点：二项式系数的性质 专题：计算题分析：先写出展开式的通项，再令r=2，进行计算可得结论解答：解：由题意，的展开式的通项为令r=2则x6y2项的系数是 56故答案为56点评：本题的考点是二项式系数的性质，主要考查展开式通项的运用，关键是写出展开式的通项，再进行计算14（5分）实数x，y满足x+2y=2，则3x+9y的最小值是6考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：利用基本不等式和指数运算的性质即可得出解答：解：实数x，y满足x+2y=2，3x+9y=3x+32y2=6，当且仅当x=2y=1时取等号因此3x+9y的最小值为6故答案为：6点评：本题考查了基本不等式和指数运算的性质，属于基础题15（5分）已知双曲线c：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，c的一个焦点到l的距离为1，则c的方程为x2=1考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线c：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，可得=，由c的一个焦点到l的距离为1，可得=1，求出a，b，即可求出双曲线的方程解答：解：双曲线c：=1（a0，b0）的一条渐近线与直线l：x+y=0垂直，=，c的一个焦点到l的距离为1，=1，c=2，a=1，b=，c的方程为x2=1故答案为：x2=1点评：本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用16（5分）在abc中，ab=，点d在边bc上，bd=2dc，cosdac=，cosc=，则ac+bc=3考点：解三角形 专题：解三角形分析：根据三角形的边角关系结合正弦定理和余弦定理求出bd，cd和ad的长度，即可得到结论解答：解：bd=2dc，设cd=x，ad=y，则bd=2x，cosdac=，cosc=，sindac=，sinc=，则由正弦定理得，即，即y=，sinadb=sin（dac+c）=+=，则adb=，在abd中，即2=4x2+2x22=2x2，即x2=1，解得x=1，即bd=2，cd=1，ad=在acd中，ac2=ad2+cd22adcdcos=2+12=5，即ac=，则ac+bc=3，故答案为：3点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题的关键三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）已知等差数列an的前n项和为sn，sn=kn（n+1）n（kr），公差d为2（1）求an与k；（2）若数列bn满足b1=2，bnbn1=n2（n2），求bn考点：数列递推式；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）根据通项公式及和与项的关系，列出关于首项公差的方程组，解之即可；（2）首先考虑利用迭代法去求bn，在求bn的过程中，将问题转化成了一个求和问题，根据其特点（等差等比）求和，所以采用错位相减法解答：解：（）由题意得a1=s1=2k1，a2=s2s1=4k1，由a2a1=2得k=1，则a1=1，an=a1+（n1）d=2n1（）bn=+=+由（）知，且b1=2，所以+（n1）22n3+n22n14bn=123+225+327+（n1）22n1+n22n+1，上述两式相减得3bn=21+23+25+22n1n22n+1=bn=+n4n=显然n=1时，上式也成立综上所述，bn=点评：错位相减法是2015届高考求和考查中的重点，关键在于弄清通项特点是否符合“错位相减法”适用条件，第二弄准错位相减后可求和化简部分的项数；最后勿忘记还原18（12分）某大学外语系有5名大学生参加南京青奥会翻译志愿者服务，每名大学生都随机分配到奥体中心体操和游泳两个比赛项目（每名大学生只参加一个项目的服务）（1）求5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率；（2）设x，y分别表示5名大学生分配到体操、游泳项目的人数，记=|xy|，求随机变量的分布列和数学期望e（）考点：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：概率与统计分析：（）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为ai，（i=0，1，2， 3，4，5），由此利用等可能事件概率计算公式能求出5名大学生中恰有2名被分配到体操项目的概率（）的所有可能取值是1，3，5分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望e（）解答：解：（）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为ai，（i=0，1，2，3，4，5），则p（a2）=（4分）（）的所有可能取值是1，3，5p（=1）=p（a2+a3）=p（a2）+p（a3）=；p（=3）=p（a1+a4）=p （a1）+p（a4）=+=；p（=5）=p（a1+a4）=p（a0）+p（a5）=+=则随机变量的分布列为135p（10分）则的数学期望e（）=1+3+5=（12分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题19（12分）如图，在直三棱柱abca1b1c1中，点d是bc的中点（1）求证：a1b平面adc1；（2）若abac，ab=ac=1，aa1=2，求平面adc1与aba1所成二面角的正弦值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）连接a1c，交ac1于点e，连接de，则dea1b，由此能证明a1b平面adc1（）建立空间直角坐标系axyz利用向量法能求出平面adc1与aba1所成二面角的正弦值解答：（）证明：连接a1c，交ac1于点e，则点e是a1c及ac1的中点连接de，则dea1b因为de平面adc1，所以a1b平面adc1（4分）（）解：建立如图所示空间直角坐标系axyz则a（0，0，0），b（1，0，0），c（0，1，0），c1（0，1，2）d（，0），=（，0），=（0，1，2）（6分）设平面adc1的法向量=（x，y，z），则，不妨取=（2，2，1）（9分）平面aba1的一个法向量=（0，1，0）（10分）|cos，|=|=，设平面adc1与aba1所成二面角的平面角为，sin=平面adc1与aba1所成二面角的正弦值是（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养20（12分）椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，p（m，0）为c的长轴上的一个动点，过p点斜率为的直线l交c于a、b两点当m=0时，=（1）求c的方程；（2）求证：|pa|2+|pb|2为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）因为离心率为，所以=当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=，由此能求出椭圆c的方程（）l的方程为x=y+m，代入，得25y2+20my+8（m225）=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则|pa|2=（x1m）2+=，同理|pb|2=，由此能证明|pa|2+|pb|2是定值解答：（本小题满分12分）解：（）因为离心率为，所以=当m=0时，l的方程为y=x，代入：+=1，并整理得x2=（2分）设a（x0，y0），则b（x0，y0），p（m，0），=又因为=，所以a2=25，b2=16，椭圆c的方程为（5分）（）l的方程为x=y+m，代入，并整理得25y2+20my+8（m225）=0设a（x1，y1），b（x2，y2），则|pa|2=（x1m）2+=，同理|pb|2=（8分）则|pa|2+|pb|2=（+）=（y1+y2）22y1y2=（）2=41所以，|pa|2+|pb|2是定值（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段平方和为定值的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21（12分）已知函数f（x）=2exax2（ar）（1）讨论函数的单调性；（2）若f（x）0恒成立，证明：x1x2时，2（e1）考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的运算法则可得f（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（2）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且ex1x，当且仅当x=0时，取“=”利用此结论即可证明解答：解：（1）f（x）=2exa若a0，则f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增；若a0，则当x（，ln）时，f（x）0，f（x）单调递减；当x（ln，+）时，f（x）0，f（x）单调递增（2）证明：由（）知若a0，f（x）在（，+）上单调递增，又f（0）=0，故f（x）0不恒成立若a0，则由f（x）0=f（0）知0应为极小值点，即ln=0，所以a=2，且ex1x，当且仅当x=0时，取“=”当x1x2时，f（x2）f（x1）=2（ex2ex1）2（x2x1）=2ex1（ex2x11）2 （x2x1）2ex1（x2x1）2（x2x1）=2（ex11）（x2x1），所以2（ex11）点评：本题考查导数研究函数的单调性、函数恒成立问题及不等式的证明，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，对能力要求较高，属于中档题【选修4-1：几何证明选讲】共1小题，满分10分）22（10分）如图，o过平行四边形abct的三个顶点b，c，t，且与at相切，交ab的延长线于点d（1）求证：at2=btad；（2）e、f是bc的三等分点，且de=df，求a考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：（1）证明ab=bt，结合切割线定理，即可证明结论；（2）取bc中点m，连接dm，tm，可得o，d，t三点共线，dt为o的直径，即可求a解答：（1）证明：因为a=tcb，atb=tcb，所以a=atb，所以ab=bt又at 2=abad，所以at 2=btad（4分）（2）解：取bc中点m，连接dm，tm由（1）知tc=tb，所以tmbc因为de=df，m为ef的中点，所以dmbc所以o，d，t三点共线，dt为o的直径所以abt=dbt=90所以a=atb=45（10分）点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一