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第十一章 量子跃迁111)荷电的离子在平衡位置附近作小振动(简谐振动)。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为,波长较长。求:(a)跃迁选择定则;(b)设离子原来处于基态,求每秒跃迁到第一激发态的几率。112)氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率(取沿轴方向来计算)。解:令 (6)初始条件(5)亦即 (5)用式(6)代入式(4),但微扰项中取初值(这是微扰论的实质性要点!)即得以左乘上式两端并全空间积分,得再对积分,由,即得 (7)因此时(即脉冲电场作用后)电子已跃迁到态的几率为可直接代入 P291式(23)、P321式(15)而得下式 (8)根据选择定则,终态量子数必须是即电子只能跃迁到各态,而且磁量子数。跃迁到各激发态的几率总和为 (9)其中 (为奇宇称) (10)为Bohr半径,代入式(9)即得 (11)电场作用后电子仍留在基态的几率为 (12)113)考虑一个二能级体系,Hamilton量表为(能量表象) , ,设时刻体系处于基态,后受微扰作用, ,求时刻体系处于激发态的几率。解:时,体系 ,其矩阵表示(表象)为 (1)设的本征函数为 (2)代入本征方程 (3)得到 (4)上式存在非平庸解的条件为由此解出 (5)令 , (6)式(5)可以写成 (5)当,由式(4)求得取,即得相应的能量本征函数(未归一化)为 (7)当,类似可求得 (8)时,体系的初始状态为 (9)其中 (10)因此时波函数为 (11)以式(5)、(7)、(8)代入上式,即得 (12)体系处于态的几率为 (13)114)自旋为的粒子,磁矩为,处于沿轴方向的常磁场中,初始时刻粒子自旋向下。后来加上沿轴方向的常磁场 。求时刻粒子测得自旋向上的几率。(磁矩算符,与外磁场的的作用 )解:粒子的磁矩算符可表示成 (1)为泡利算符,磁场对粒子的作用势为 (2)在表象中,的矩阵表示为 (2)以下求的本征值和本征函数,设本征函数为 (3)本征方程为,则 (4)能级方程为 (5)令 , , (6)由式(5)容易解出 (7)将之值代回式(4),即可求出如下本征函数: (8)注意,这两个本征函数并未归一化。将时的初始波函数按能量本征函数展开, (9)因此,时波函数 (10)注
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