合金钢的抗拉强度与钢中含碳量的回归分析.doc

沈阳理工大学 成 绩 评 定 表学生姓名陈基政班级学号1009010217专 业信息与计算科学课程设计题目合金钢的抗拉强度与钢中含碳量的回归分析评语组长签字：成绩日期 20 年 月 日课程设计任务书学 院理学院专 业信息与计算科学学生姓名陈基政班级学号1009010217课程设计题目合金钢的抗拉强度与钢中含碳量的回归分析实践教学要求与任务:通过该课程设计，使学生进一步理解概率论与数理统计的基本概念、理论和方法；初步掌握Excel统计工作表在随机模拟中是应用，MATLAB统计软件包对数据进行统计检验和统计分析；具备初步的运用计算机完成数据处理的技能，使课堂中学习到理论得到应用。1数据整理：收集数据，录入数据，画出相应图形；建立数学模型，数据的输入与整理，各种数据的图形显示。2假设检验： MATLAB绘制出直方图，做数据分布的推测；参数估计，假设检验，绘制概率密度图。3单因素、多因素方差分析：正态总体的方差分析问题； MATLAB统计软件中关于方差分析的相关命令，做出方差分析表，box图，能对结果进行简单分析。4一元、多元线性回归模型：回归系数的估计与检验，数据散点与回归直线的图示，残差图。运用MATLAB统计软件，对给定的数据拟合回归方程。工作计划与进度安排:周三12节：选题，设计解决问题方法 周三38节：调试程序周四14节：完成论文，答辩指导教师： 2012年6月28日 专业负责人：2012年7月8日学院教学副院长：2012年7月19日摘 要数理统计是具有广泛应用的数学分支，而区间估计和假设检验问题在其中占有很重要的地位。对于正态总体期望和方差的区间估计和假设检验问题已有完备的结论；对于非正态总体期望和方差的区间估计和假设检验问题，在大样本的情况下，可利用中心极限定理转化为正态总体来解决。但实际问题中常常碰到非正态总体，而且是小样本的情况，因此对它的区间估计和假设检验是一个值得研究的问题。本文利用概率纶与数理统计中的所学的回归分析知识，对小样本常用小样本常用分布参数置信区间和线性相关的显著性检验，相关系数的显著性检验 , 预测与监控，进行了深入研究，提出了小样本常用分布参数的置信区间与线性相关的显著性检验，相关系数的显著性检验，预测与监控，的解决方法。本文利用小样本情形的统计量法解决离散型的0-1分布、二项分布以及连续型的指数分布参数的置信区间与线性相关的显著性检验，相关系数的显著性检验，对于泊松分布的参数的置信区间与线性相关的显著性检验，相关系数的显著性检验则采用数学方法进行分析。对于均匀分布，利用两个参数的最大似然估计求出联合概率密度进行求解。 关键词：方差分析；置信区间；线性相关；预测与监控目 录1 设计目的52 设计问题53 设计原理53.1 模型回归系数的估计63.2 回归方程显著性检验73.3 回归系数的置信区间83.4 利用模型预测84 方法实现94.1 输入数据，观察线性关系94.2 作回归分析与检验94.3残差分析104.4 点预测及作图114.5 对含碳量X=0.15%进行预测124.6 下面用Excel“分析工具库”提供的“回归”工具，找出线性回归方程，并检验其显著性125设计总结16参考文献16致 谢171 设计目的 了解一元回归方程，回归系数的检验方法及应用一元回归方程进行预测的方法；学会应用MATLAB软件进行一元回归实验的分析方法。同时更好的了解概率论与数理统计的知识，熟练掌握概率论与数理统计在实际问题上的应用，并将所学的知识结合Excel对数据的处理解决实际问题。本设计是利用一元线性回归理论对合金钢的抗拉强度与钢中的碳含量的关系建立数学模型，并用Excel分析工具库中的回归分析软件进行解算。2 设计问题某种合金钢的抗拉强度Y(N/mm)与钢中含碳量X（%）有关，测得实验数据如下：0.054080.134560.074170.144510.084190.164890.094280.185000.104020.205500.114360.225580.124480.246601.检验合金钢的抗拉强度Y(N/mm)与钢中含碳量X（%）之间是否存在显著的线性相关关系；如果存在，求Y关于X的线性回归方程。2.设含碳量X=0.15%，求抗拉强度Y的置信水平为0.95的预测区间。3 设计原理在实际问题中，经常会出现两个变量之间的相关关系不是线性的（即直线型），而是非线性的（即曲线型）。设其中有两个变量与，我们可以用一个确定函数关系式： 大致的描述与之间的相关关系，函数称为关于的回归函数，方程成为关于的回归方程。 一元线性回归处理的是两个变量与之间的线性关系，可以设想的值由两部分构成：一部分由自变量的线性影响所致，表示的线性函数 ；另一部分则由众多其他因素，包括随机因素的影响所致，这一部分可以视为随机误差项，记为。可得一元线性回归模型: (1)式中，自变量是可以控制的随机变量，成为回归变量；固定的未知参数a,b成为回归系数；称为响应变量或因变量。由于是随机误差，根据中心极限定理，通常假定，是未知参数。 确定与之间的关系前，可根据专业知识或散点图，选择适当的曲线回归方程，而这些方程往往可以化为线性方程或者就是线性方程，因此我们可以用线性方程： 大致描述变量与之间的关系；3.1 模型回归系数的估计 为了估计回归系数，假定试验得到两个变量 与 的 个数据对我们将这对观测值代入式（1），得: 这里互独立的随机变量，均服从正态分布，即 回归系数估计的方法有多种，其中使用最广泛的是最小二乘法，即要求选取的， 的值使得述随机误差 的平方和达到最小，即求使得函数 取得最小值的，。由于是，的二元函数，利用微积分中的函数存在极值的必要条件，分别对求，偏导数，并令其为0，构成二元一次方程组：，化简后得到如下正规方程组： a解方程组得到总体参数估计量：, 这里， 均已有的观测数据。由此得到回归方程：带入观测，得到值称为回归预测值。方程的直线称为回归直线。3.2 回归方程显著性检验建立一元线性回归方程当且仅当变量之间存在线性相关关系时才是有意义的，因此必须对变量之间的线性相关的显著性进行检验，即对建立的回归模型进行显著性检验。我们首先引入几个概念：（1） ，称为总偏差平方和，它表示观测值总的分散程度；（2） ，称为回归平方和，它是由回归变量的变化引起的，放映了回归变量对变量线性关系的密切程度；（3） ，称为残差（剩余）平方和，它是由观测误差等其他因素起误差，它的值越小说明回归方程与原数据拟合越好。 可以证明下列关系成立 即 =+ 我们主要考虑回归平方和在总偏差和中所占的比重，记。(0=R F（1,n-2）,则认为y与x之间的线性关系显著；如果F= F（1,n-2），则认为y与x之间的线性关系不显著，或者不存在线性关系，在实际应用中也可以通过F对应的概率P来说明y与x之间的线性相关性显著。3.3 回归系数的置信区间回归方程（1）的回归系统,是一个点估计值，给定置信水平1-后，可得到他们对应的置信区间，并且回归区间越短越好，如果摸个回归系数的置信区间包含0点，则说明该回归变量的影响不显著，需要进一步地修改回归方程，尽量是每个回归系数的置信区间都不包含0点。3.4 利用模型预测在对所建立的回归模型进行相关程度检验与分析之后，如果预测变量y与相关变量x的每一个给定值x，带入回归模型，就可以求得一个相对应的回归预测值,称为模型的点估计值。4 方法实现4.1 输入数据，观察线性关系 在命令窗口输入： y=408 417 419 428 420 436 448 456 451 489 500 550 558 600 x=0.05 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 plot(x,y,*) 生成图（1），可以看出x和y大体成线性关系。图（1）散点图（横轴：X 纵轴：Y）4.2 作回归分析与检验在命令窗口输入：n=length(y);x=ones(n,1),x;b,bint,r,rint,s=regress(y,x);b,bint,s输出：b = 1.0e+003 * 0.3328 1.0165bint = 1.0e+003 * 0.3095 0.3561 0.8568 1.1761s =0.9413 192.4745 0.0000 234.8459这个结果可整理成如表（1）的形式。表（1）MATLAB回归分析结果表回归系数回归系数估计值回归系数置信区间 332.8309.5,356.1 1.01650.8568,1.1761r0.9413 F=192.4745 p在【数据】菜单中选中【数据分析】，则会弹出【数据分析】对话框，然后“分析工具”中选择“回归”选项，如图（5）所示。单击【确定】后，则弹出【回归】对话框，如图（6）所示。2填写【回归】对话框。如图（6）所示，该对话框的内容较多，可以根据需要，选择相关项目。在“X值输入区域”内输入队因变量数据区域的引用，该区域必须有单列数据组成，如本题中组分B；在“Y只输入区域”输入对自变量数据区域的引用，如本题中组分A。“标志” ：如果输入区域的第一行中包含标志项，则选中此复选框，本题中的输入区域包含标志项；如果在输入区域中没有标志项，则应清楚此复选框，Excel将在输出表中生成合适的数据标志。“置信度” ：如果需要在汇总输出表中包含附件的置信度信息，则选中此复选框，然后在右侧的编辑框中，输入所要使用的置信度。Excel默认的置信度为95%，相当于显著性水平a=0.05。“常数为零” ：如果要强制回归线通过原点，则选中此复选框。“输出选项” ：选择“输出区域”，在此输出对输出表左上角单元格的引用。3“残差” ：如果需要以残差输出表形式查看残差，则选中此复选框。“标准残差” ：如果需要在残差输出表中包含标准残差，则选中此复选框。“残差图” 如果需要生成一张图表，绘制每个自变量及其残差，则选中此复选框。“线性拟合图” ：如果需要为预测值和观察值生成和观测值生车一个图表，则选中此复选框。“正态概率图” ：如果需要绘制正态概率图，则选中此复选框。图（5）Excel数据分析工具图（6）回归分析工具界面回归分析工具运行结果：表（2）表（2）中，“Multiple R”是线性回归的系数“R Square”是拟合系数“Adjusted R Square” 调整后的拟合系数。表（3）方差分析表（4）回归分析结果表（5）回归分析结果 残差与标准残差图（7）用Excel处理数据得出的残差分布图图（8）用Excel处理数据得出线性拟合图根据运行结果分析：由表3所知，若保留四位有效数字，该回归方程的截距是332.8，斜率为1.0165，所以回归方程的表达式为：；根据回归统计结果，知决定系数x=0.9409，即相关系数r=0.970，说明自变量与因变量之间有较高的相关性；根据方差分析的结果，F=91.5475，有效的F0.01，所以建立的回归方程非常显著。在表五中，除了列出了回归系数，还有标准误差等项目。其中“标准误差”表示的事对应回归系数的标准误差，其中偏回归系数的标准误差。“t Stat”就是t检验时的统计量t；如果多元线性回归，则可直接根据“t Stat”的大小，判断因素的主次顺序。“P-value”表示t检验偏回归系数不显著的概率，如果P-value0.01，则可认为该系数对应的变量对试验结果影响非常显著，如果0.01 P-value 0.05,则可认为该系数对应的变量对试验结果影响显著；对于常数项，P-value则表示常数项为零的几率。5设计总结通过对概率论与数理统计的这道实际问题的解决，不仅使我更加深刻的理解了概率论与数理统计的基础知识，而且使我对这些知识在实际中的应用产生了浓厚的兴趣，同时对我学习好概率论与数理统计这门课有很大帮助。在实现这道题的过程中我应用了Matlab和Excel软件，学会了该软件的一些新的应用，更加熟练的操作该软件进行一些数据上的处理。参考文献1沈恒范.概率论与数理统计教程M.第四版.北京：高等教育出版社,2003.4:140-1962张玉春、刘玉凤、姚俊.概率论与数理统计学习指