10函数综合应用.doc

中国特级教师高考复习方法指导数学复习版10函数综合应用 一基础知识自测题： 1函数yf (x)中，若对于一切xR, 都有f (ax)f (ax)，则函数yf (x)的图象关于直线 xa 对称。 2函数yf (x)与函数yf (x)的图象关于直线 x0 对称；函数yf (x)与函数yf (x)的图象关于直线 y0 对称；函数yf (x)与函数yf (x)的图象关于 原点 对称。 3若函数yf (x), 则函数yf (ax)与函数yf (ax)的图象关于直线 x0 对称。 4若奇函数yf (x)在区间(0, )上是增函数，则yf (x)在区间(, 0)上是 增函数 。 5若偶函数yf (x)在区间(0, )上是增函数，则yf (x)在区间(, 0)上是 减函数 。 6函数yf (xa)的图象是把函数yf (x)的图象沿 x轴向左平移a个单位 得到的；函数yf (x)a的图象是把函数yf (x)的图象沿 y轴向上平移a个单位 得到的。 7函数yf (ax)的图象是把函数yf (x)的图象沿 x轴伸缩为原来的1/a 得到的；函数yaf (x)的图象是把函数yf (x)的图象沿 y轴伸缩为原来的a倍 得到的。 二基本要求： 1在解与函数有关的问题时，应重视函数定义域的作用；例如，函数的单调区间必须是定义域区间的子区间；函数的奇偶性必须当定义域在数轴上所示的区间关于原点对称的前提下进行研究；求反函数时原函数的定义域对求反函数的法则及定义域都有较大的影响；从中可见定义域的重要地位； 2函数的值域往往与取值范围问题密切相关，要掌握求函数值域的常用方法，注重值域与函数的单调性等性质的联系； 3函数的图象直观地显示了函数的性质，它是解答函数问题的重要工具。例如，由奇函数、偶函数图象的对称性可得，奇函数在区间上与它的对称区间上的增减性一致，偶函数则相反；奇(偶)函数在区间上有最大值或最小值，则在其对称区间上分布有最小值或最大值(最大值或最小值)； 4函数与其它的数学分支有着密切的联系。函数作为高中数学的主体内容，其思想方法贯穿于高中数学与应用的各个领域。在练习中要始终重视函数思想方法的体现和应用。 例一函数y是（A）。 （A）奇函数，不是偶函数 （B）偶函数，不是奇函数 （C）非奇非偶函数 （D）既是奇函数，又是偶函数 解： 1x20且|x2|20, 1x0或00, 2x0 f (x) f (x), 原函数是奇函数。 例二如果奇函数yf (x)在区间3, 7上是增函数，且最小值为5，那么yf (x)在区间7, 3上是（B）。 （A）增函数且最小值为5 （B）增函数且最大值为5 （C）减函数且最小值为5 （D）减函数且最大值为5 解：利用函数的性质，奇函数yf (x)在区间3, 7上是增函数，yf (x)在区间7, 3上也是增函数，又奇函数yf (x)在区间3, 7上最小值为5，即f (3)5， f (x) 在区间7, 3上的最大值为f (3)5. 例三函数y2x的图象C关于点A(1, 0)对称的图象为C1， C1与C2关于直线xy0对称，那么图象C2对应的函数解析式为（D）。 （A）y2x2 （B）y2x2 （C）ylog 2x2 （D）ylog 2x2 解：设C2上任意一点为P2(x, y), 则它关于直线xy0对称的点为P1(y, 一x), P1(y, 一x)关于点A(1, 0)对称的点P的坐标是P(2y, x), 点P在函数y2x的图象上， x22y, y log 2x2, 选D. 例四设a0且a1, f (x)log a(x), (1) 求f 1(x)及它的定义域； (2) 设nN，若f 1(n)1时, f (x)0, 当0a1时, f 1(x)的定义域是0, ), 当0a1，其次是, 得 (an2n)0, 即(an2n)(an)0, 解得an2n, a2, 于是1a2. 例五设曲线C的方程是yx3x，将C沿x轴、y轴分别平行移动t、s个单位长度后得曲线C1， (1) 写出C1的方程；(2) 证明曲线C与C1关于点A(, )对称；(3) 如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明st且t0. 解：(1) 曲线C1的方程是y(xt)3(xt)s. (2) 在曲线C上任取一点B1(x1, y1), 设B2(x2, y2)是B1关于点A的对称点， 有, , x1tx2, y1sy2, 代入曲线C的方程得 sy2(tx2)3(tx2), 即y2(x2t)3(x2t)s, 点B2(x2, y2)在曲线C1上，反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上， 曲线C和曲线C1关于点A对称。 (3) 因为曲线C与曲线C1有且仅有一个公共点，所以方程组有且仅有一组解，消去y得 3tx23t2x(t3ts)0, 若t0，则s0, 此时C与C1重合，与题设矛盾； 若t0，此时上述关于x的一元二次方程有且仅有一个根， 9t412t(t3ts)0, 即t0, t(t34t4s)0, st且t0. 三试题精选： (一) 选择题： 1下面四种说法中不正确的是（C）。 （A）函数的值域中每个元素都有原象 （B）定义域和对应法则完全相同的函数表示同一函数 （C）若函数的值域中只含有一个元素，则定义域中也一定只含有一个元素 （D）若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也一定只含有一个元素 2设有三个函数，第一个函数是y(x), 它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于直线xy0对称，那么第三个函数是（A）。 （A）y(x) （B）y(x) （C）y(x) （D）y(x) 3设f (x),则f f (x)的值为（A）。 （A）0 （B）1 （C）0或1 （D）以上都不对 4关于x的方程有一个正根，则实数p的取值范围是（C）。 （A）p （B）p （C）p与p （D）p 5某县计划十年内年产值翻两番，则产值平均每年增长的百分点应为（B）。(lg11.491.0603) （A）17% （B）14.9% （C）20% （D）8.9% 6设函数yf (x)是定义在R上的一个减函数，g(x)f (x)f (x), 则g1(x)一定是（C）。 （A）增函数且是奇函数 （B）增函数且是偶函数 （C）减函数且是奇函数 （D）减函数且是偶函数 7设函数yf (x)是定义在R上的周期为2的奇函数，已知当x(0, 1)时, f (x)log(1x)，则f (x)在(1, 2)上是（A）。 （A）增函数且f (x)0 （C）减函数且f (x)0 8设函数yf (x)定义在R上，则函数yf (x1)与yf (1x)的图象关于（A）。 （A）直线x1对称 （B）直线x0对称 （C）直线y1对称 （D）直线y0对称 9如果函数y的图象关于点A(1, 2)对称，那么（A）。 （A）p2, n4 （B）p2, n4 （C）p2, n4 （D）p2, n4 10已知函数yf (x)是定义在R上的偶函数，并满足f (x2)，当2x3时，f (x)x,则f (5.5)等于（D）。 （A）5.5 （B）5.5 （C）2.5 （D）2.5 (二) 填空题： 11方程1x2x2a在上1, 1有实数解，则实数a的取值范围是. 12已知函数f (x)4x，则方程f (x)f f 1(2x2)的解集是 1 . 13函数yf (x)的图象与g(x)关于直线yx对称，则函数的单调递增区间是 0, 2) . 14定义在实数集R上的函数yf (x1)的反函数是yf 1(x1)，并且f (1)3999, 则f (2000)的值为 2000 .(说明：yf (x)的反函数是yf 1(x), 对于函数yf (x1)的反函数应表示为yf 1(x)1, 由f 1(x)1 f 1(x1)知y f 1(x)的图象是斜率为1的直线，f (x)的图象也是斜率为1的直线y4000x) 15函数f (x)ax(a0且a1)在1, 2上的最大值比最小值大, 则a的值为. 16已知f (x)9x3x1，则f 1(18) 1 . 17若函数ylg(x22xa)的值域为R，则a的取值范围是 (, 1 . (三) 解答题： 18设函数f (x)3x, f 1(18)a2，试确定G(x)3ax4x在区间0, 1上的单调性及值域。 解：由题设f (x)3x, f 1(18)a2， 183a2, alog 32, G(x)2x(2x)2, 令2xt, 由x0, 1, t1, 2, 且t是x的增函数， 于是有ytt2(t)2, t1, 2时，y是t的减函数， 在区间0, 1上G(x)是x的减函数。值域是2，0. 19设函数f (9x)x，a表示f (324)的小数部分，求函数g(y)3ay4y在区间0, 2上的最大值与最小值，并求出相应的y的值。 解：令9xt, f (t)log 9t, f (x)log 9x, f (324)log 93242log 94, a log 94log 32, g(y)34y2y4y, 令2yu, 由y0, 2, 有u1, 4, 原问题转化为h(u)u2u(u)2, 在u1, 4上的最值. 函数h(u)在1, 4上是减函数， y0, u1时有最大值为0，y2, u4时有最小值为12. 20已知函数f (x2)ax2(a3)x(a2) (aZ)的图象经过点(p2, 0), pR，设g(x)f f (x), F(x)pg(x)qf (x), 问是否存在实数p(p0), q，使函数F(x)在区间(, f (2)上递增，在f (2), 0上递减。 解：由函数f (x2)ax2(a3)x(a2) (aZ)的图象经过点(p2, 0), 令p2x2代入，即px时，ap2(a3)p(a2)0 , 由pR 0, 解得, 又a为负整数， a1, 于是f (x)x21, f f (x)(x21)21x42x2f (x)21, f (2)3, F(x)pf (x)21qf (x)pf (x)2qf (x)p, 设tf (x), 有 f (t)pt2qtp, 当x(, f (2)时, 即x(, 3时递增， 可推知tf (x)在（, 8上F(x)递增, 同理当xf (2), 0时,即x3, 0时递减， 可推知tf (x)在8, 1上F(x)递减, 故t8,是为抛物线f (t)pt2qtp的对称轴且开口向下， p0, 且8, q16p. 21已知函数f (x)x2b