《杨辉三角与二项式系数的性质》教学点评.doc

理解新课程数学课堂的价值* 本文系课程教材研究所“十二五”规划重点课题基于中学数学课程核心知识的教学研究（课题编号：KC2011-006）和湖北省普通高中课程改革重大研究项目新课程学科课堂有效教学研究研究成果。-从“杨辉三角”与二项式系数的性质一课谈起孙延洲（湖北省教学研究室 430205 ）随着新课程于2009年开始在我省的推进，新的数学课程理念正逐步被我省数学教师所认识和了解，但不少数学教师对数学课程理念可能仅仅停留在对文本的认知阶段，他们认为这些新课程所倡导的理念难以把握，特别是新课程改革与考试评价制度的改革未能很好地配套，从而更关注的是新课程的高考如何考，以此来确定他们的教，所以对新课程为落实“构建共同基础，提供发展平台”和“提供多样课程，适应个性选择”而设计的新教材的改革难以适应；不少教师也认可“倡导积极主动、勇于探索的学习方式”和“注重提高学生的数学思维能力”，但在实际教学中，他们感到对新教材没有把握，只有“穿新鞋，走老路”、“用旧瓶、装新酒”，用着新教材，讲的旧教材，甚至新旧教材叠加使用，所以常感课时不够，负担过重；他们感叹，新课程理念好是好，但新教材的改革设计难适应，教学方式、学习方式的变革难跟上，更难以在数学课堂教学中实施。为了加快教师对新课程的适应步伐，由湖北省教育厅组织的全省第三次高中数学新课程培训活动于2011年6月在武汉举行，根据活动安排，要选择一名优秀青年教师对新课程数学课堂教学作课例展示，以期对新课程的数学教学起到示范和引领作用。我省优秀青年教师周少雄老师曾于去年在“全国第五届高中青年教师优秀课评比与观摩活动”中，凭借“杨辉三角”与二项式系数的性质一课获得全国一等奖，本次活动我们再一次对这节课进行了观摩和讨论，由此引发对新课堂数学课堂价值的一些思考。“杨辉三角”与二项式系数的性质是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时。教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含着丰富的数学内涵： “杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和聪明才智，抓住这一题材可丰富学生的数学文化；“杨辉三角”可以直观看出二项式系数的性质，由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用函数知识研究数学问题的方法；通过“杨辉三角”与二项系数的关系，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，培养学生的合情推理能力；通过对规律的发现，形成对规律的证明思路，这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，而且有利于加深学生对数学知识的理解，丰富学生的数学体验，涵养学生的数学素养。通过对数学教材的准确理解，周老师确定了本节课的教学目标是：通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律”的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。通过学生从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力。通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程，使学生掌握二项式系数的一些性质，体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程。通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。在确定教学目标后，周老师采用了“展示成果话杨辉、感知规律悟性质、联系旧知探新知、合作交流议方法、反馈升华拨思路、悬念小结再求索”六个教学环节，层层推进，环环相扣，并在教学活动中倡导学生自主探索、独立思考、动手实践、合作交流等形式，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件和广阔的空间，取得了良好的效果。体现在以下几个方面 这几个方面为周少雄老师在全国优秀课评比活动展示完后专家点评整理。：基本功：板书整齐、粉笔字较好，表达能力强、语速很适合教学、有亲和力、有激情，驾驭课堂和把握课堂节奏能力强。选 课：这一节课，很有代表性，内容丰富（数学史杨辉三角、二项式系数的性质），渗透的数学思想方法多（数形结合、特殊到一般、赋值法、模型化思想）。设 计：教学设计和教学说明质量很高，这需要教师认真学习新课程标准，深入钻研教材教法，灵活的设计教学环节，体现了教师的教学功力。效 果：这是一堂质量很高的课，不仅培养了学生的学习兴趣，而且通过“自主探究、合作交流”的学习方式，让学生真正成为课堂的主人，在学生掌握知识的同时，更注重培养学生的理性思维和发展学生的创新能力。亮 点：由学生归纳猜想各二项式系数的和，再让学生探究证明方法，在学生用赋值法予以证明后，引导学生用模型化思想加以说明，符合学生的认知规律，注重培养学生的思维能力和解决问题的能力；“课前研修课上探究课后延伸”的学习方式值得推广，着眼于提高学生的自主学习和再学习能力，若养成习惯，形成一种学习品质，对学生的终身学习和发展有很大的意义；课中开展了“学习小组代表展示课前研修成果，学生画图感知分析，小组讨论、展示，师生合作探讨交流，学生板演，学生谈学习体会”等多种学习活动，丰富了学习方式，学生亲身体验学习数学的快乐、体验我国古代数学成就、体验丰富的数学思想和灵活的方法、体验新旧知识之间的联系并运用已学知识解决新的问题，让学生在做中学、在学中做、在误中悟、在探中叹。以知识为载体，由给出知识转向引起活动；以方法为核心，由关注知识转向培养能力；以人本为基点，由完成任务转向促进发展。我们知道，数学教育的目的从大的方面来讲，应具有价值引导和自主建构的功能。价值引导就是让学生感到“数学有用”、“数学很美”、“数学好玩”，从而让学生喜欢数学、热爱数学、亲近数学；自主建构即数学知识的自主建构，人的生命是有限的，人的精力是有限的，但数学知识是无穷的，如何让学生能自主学习，并将数学知识建构到自己已有的知识体系中去，是一个非常重要的问题。人民教育出版社章建跃先生认为 曹才翰，章建跃：中学数学教学概论（第二版），北京：北京师范大学出版社，2008年版，第268页。：人的数学知识的获得都不是一蹴而就的，而是在一个较长时间内，在层次、螺旋上升地逐渐获得的。人的数学认知结构的形成过程是一个复杂的、不断对各种数学知识进行主动概括的过程。这就要求在数学教学中引导学生对数学知识的抽象和概括，引导学生对数学知识建立起一个系统的认知结构。数学课堂作为数学知识传授、能力培养和学生形成良好数学素养的主阵地，也应有其自己的价值，即有效地引导学生丰富对数学的理解，启迪学生数学思维，激发学生数学潜能，涵养数学智慧，传承数学文化。“杨辉三角”与二项式系数的性质一课较好地体现了新课程数学课堂的上述价值功能。1丰富数学理解我国的数学教学历来有重视数学基础知识、基本技能训练和能力培养的教学传统，但遗憾的是在数学课堂中，教师常常将原本相互联系的数学基础知识肢解为一个个孤立的知识点，为了形成熟练的解题能力，只有加强对数学公式、定理、法则的强记和大量的解题训练，从而形成了数学课堂的异化现象。随着新课程的推进，应注意到改革进程中出现的深层次问题，如如何把握数学学科本质和最有学习价值的知识；关于技能训练的定位，以及避免不必要的重复讲述和大运动量训练，减轻学生过重负担，充分利用课堂时间，相对降低活动成本等问题。对数学内涵的理解也不能仅仅局限于数学知识和数学技能，而应由原来的“双基”教学向“四基”教学转变，即由原来的基础知识、基本技能发展为基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。为了丰富学生数学内涵的理解，周老师通过创设问题情境，以活动为载体，让学生在小组中充分合作，在课堂上给时间、给机会充分展示，让学生动手做、动口说、动笔写、动脑想，在生生讨论、师生合作中努力促进学生的自主学习、自我发展。 2启迪数学思维数学是思维的体操，数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用，因此启迪学生数学思维是数学课堂的重要目的。而数学思维是一种极为复杂的心理现象，一般来说数学思维主要是指形象思维、抽象逻辑思维和直觉思维。在本节课中，周老师十分关注学生数学思维的培养，在小组合作时多次要求学生探求规律；在学生发现和概括二项式系数的对称性和增减性与最大值，如何证明呢？周教师进行了适当地引导，让学生联系函数知识，画出和7的函数图象，对函数的性质进行讨论，让学生经历再发现、再提炼、深入探究的学习过程，培育理性思维。在证明各二项式系数的和的过程中，教材中运用赋值法，求证很简略，教师认识到让学生记住这个结论可能并不难，难的是在这个学习过程中如何遵循学生的认知规律，提高学生的思维能力？基于此，教师又引导学生自己归纳、猜想各二项式系数的和，运用多种方法予以求证。所有这些都十分有利于学生数学思维的发展。3激发数学潜能我国数学教育家顾泠沅先生通过从有经验教师如何观课、评课出发，在上海的一个地区，广泛采集1982年与2007年的不同观点与视角，通过因素筛选与语义解释，然后作跨度25年的比对，结果表明我国的课堂教学发生了一些变化 顾泠沅先生基于课堂改进的教师在职学习，2011年4月在湖北黄石所作报告记录整理。：原先只是强调教学目的要求“不脱离主题”、“恰如其分”， 原先课堂安排以全班学生“可接受程度”为依据，取统一的最低线；原先教学效果评价仅关注当堂反应、检查和“直觉印象”；如今提倡技能、认知、情感全面“适合学生最近发展区”，突出了“学生发展为本”的目标，强调尊重每位学生的个性差异，在此基础上面向全体学生，还关注到学生“潜能发挥”和是否有利于提高“后续学习水准”。学生的数学潜能应该包括两个方面，一是在课堂上学生解决数学问题的潜能，表现为在教师的引导下，学生“跳一跳，摘上桃”；另一方面，表现为对数学的喜爱和对未来数学研究的潜能，我们在本节课的课堂教学中处处可见。4涵养数学智慧数学知识在本质上是一种数学结果，当然是学生数学经验的一个结果，也是学生数学思考的结果，而数学智慧并不表现于学生数学经验的结果上，也不表现于学生数学思考的结果上，而表现于数学经验的过程和数学思考的过程。我们知道，世界有很多东西是不可传递的，只能靠亲身经历。数学智慧并不完全依赖数学知识的多少，而依赖数学知识的形成过程、运用过程。周老师对本节课的理解始终把握“没有过程”就等于“没有思想”就等于“没有教学”，所以在这节课的在设计中，没有局限于教材，而是从学生认识问题的基本规律出发。如在处理教材上证明各二项式系数的和时，教材直接利用了“赋值法”，但从学生的知识结构看，是很难探索出这种方法的，他通过引导学生利用猜想结果和比较分析的过程，归纳出“赋值法”，学生就很自然地掌握了这种方法。学生在课堂中实实在在地经历和体验了方法探寻的认知过程，提炼了数学思想方法，锻炼了思维品质，深化了理性认识能把“现成”的数学变为“活动”的、学生能够自己建构的数学，巧妙地做到“智慧地引导学生智慧地学习数学智慧。”5传承数学文化数学是人类文化的重要组成部分。齐民友先生说 齐民友：数学与文化，大连：大连理工大学出版社，2008年版，第1718页。：一种没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。数学文化贯穿在整个高中数学课程的重要内容之一，并要求将其渗透在每个模块或专题中。数学教学应让学生了解数学在人类文明发展中的重要作用，了解数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神，激发学生的数学情感。“杨辉三角”其本身就是文化载体，在本节课中也得到了充分的体现。数学是美的，数学是好玩的，但我们