陕西省兴平市秦岭中学高三数学上学期第一次摸底试卷 理（含解析）.doc

陕西省兴平市秦岭中学2015届高三上学期第一次摸底数学试卷 （理科）一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求（本大题共10小题，每小题共5分，共计50分）1（5分）设集合m=x|x0，xr，n=x|x21，xr，则mn=（）a0，1b0，1）c（0，1d（0，1）2（5分）函数f（x）=cos（2x）的最小正周期是（）abc2d43（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）ae+2be+1cede14（5分）根据如图框图，对大于2的正数n，输出的数列的通项公式是（）aan=2nban=2（n1）can=2ndan=2n15（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）ab4c2d6（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）abcd7（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）af（x）=xbf（x）=x3cf（x）=（）xdf（x）=3x8（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）a真，假，真b假，假，真c真，真，假d假，假，假9（5分）设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，10），则y1，y2，y10的均值和方差分别为（）a1+a，4b1+a，4+ac1，4d1，4+a10（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点a的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）ay=xby=x3xcy=x3xdy=x3+x二、填空题：把答案写在答题卡相应的题号后的横线上（本打题共4小题，每小题5分，共计25分）11（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=12（5分）若圆c的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆c的标准方程为13（5分）设0，向量=（sin2，cos），=（cos，1），若，则tan=14（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（f）顶点数（v）棱数（e）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中f，v，e所满足的等式是考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.【不等式选做题】15（5分）设a，b，m，nr，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为【几何证明选做题】16如图，abc中，bc=6，以bc为直径的半圆分别交ab、ac于点e、f，若ac=2ae，则ef=【坐标系与参数方程选做题】17在极坐标系中，点（2，）到直线sin（）=1的距离是三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共计6小题，共计75分）18（12分）abc的内角a，b，c所对应的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sina+sinc=2sin（a+c）；（）若a，b，c成等比数列，求cosb的最小值19（12分）如图1，四面体abcd及其三视图（如图2所示），过棱ab的中点e作平行于ad，bc的平面分别交四面体的棱bd，dc，ca于点f，g，h（）证明：四边形efgh是矩形；（）求直线ab与平面efgh夹角的正弦值20（12分）在直角坐标系xoy中，已知点a（1，1），b（2，3），c（3，2），点p（x，y）在abc三边围成的区域（含边界）上（）若+=，求|；（）设=m+n（m，nr），用x，y表示mn，并求mn的最大值21（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg）610概率0.40.6（）设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的分布列；（）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率22（13分）如图，曲线c由上半椭圆c1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线c2：y=x2+1（y0）连接而成，c1与c2的公共点为a，b，其中c1的离心率为（）求a，b的值；（）过点b的直线l与c1，c2分别交于点p，q（均异于点a，b），若apaq，求直线l的方程23（14分）设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0，其中f（x）是f（x）的导函数（）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x），nn+，求gn（x）的表达式；（）若f（x）ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）设nn+，比较g（1）+g（2）+g（n）与nf（n）的大小，并加以证明陕西省兴平市秦岭中学2015届高三上学期第一次摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求（本大题共10小题，每小题共5分，共计50分）1（5分）设集合m=x|x0，xr，n=x|x21，xr，则mn=（）a0，1b0，1）c（0，1d（0，1）考点：交集及其运算 专题：集合分析：先解出集合n，再求两集合的交即可得出正确选项解答：解：m=x|x0，xr，n=x|x21，xr=x|1x1，xr，mn=0，1）故选b点评：本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解答的关键2（5分）函数f（x）=cos（2x）的最小正周期是（）abc2d4考点：三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：由题意得=2，再代入复合三角函数的周期公式求解解答：解：根据复合三角函数的周期公式得，函数f（x）=cos（2x）的最小正周期是，故选b点评：本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于基础题3（5分）定积分（2x+ex）dx的值为（）ae+2be+1cede1考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：根据微积分基本定理计算即可解答：解：（2x+ex）dx=（x2+ex）=（1+e）（0+e0）=e故选：c点评：本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数4（5分）根据如图框图，对大于2的正数n，输出的数列的通项公式是（）aan=2nban=2（n1）can=2ndan=2n1考点：程序框图；等比数列的通项公式 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程判断递推关系式，根据递推关系式与首项求出数列的通项公式解答：解：由程序框图知：ai+1=2ai，a1=2，数列为公比为2的等比数列，an=2n故选：c点评：本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断递推关系式是解答本题的关键5（5分）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（）ab4c2d考点：球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径r=1，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积解答：解：正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，正四棱柱体对角线的长为=2又正四棱柱的顶点在同一球面上，正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径r=1根据球的体积公式，得此球的体积为v=r3=故选：d点评：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题6（5分）从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（）abcd考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：应用题；概率与统计；排列组合分析：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，即可得出结论解答：解：设正方形边长为1，则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为，两条长度为，所求概率为=故选：c点评：本题考查概率的计算，列举基本事件是关键7（5分）下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）af（x）=xbf（x）=x3cf（x）=（）xdf（x）=3x考点：抽象函数及其应用 专题：函数的性质及应用分析：对选项一一加以判断，先判断是否满足f（x+y）=f（x）f（y），然后考虑函数的单调性，即可得到答案解答：解：af（x）=，f（y）=，f（x+y）=，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故a错；bf（x）=x3，f（y）=y3，f（x+y）=（x+y）3，不满足f（x+y）=f（x）f（y），故b错；cf（x）=，f（y）=，f（x+y）=，满足f（x+y）=f（x）f（y），但f（x）在r上是单调减函数，故c错df（x）=3x，f（y）=3y，f（x+y）=3x+y，满足f（x+y）=f（x）f（y），且f（x）在r上是单调增函数，故d正确；故选d点评：本题主要考查抽象函数的具体模型，同时考查幂函数和指数函数的单调性，是一道基础题8（5分）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）a真，假，真b假，假，真c真，真，假d假，假，假考点：四种命题间的逆否关系 专题：简易逻辑分析：根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假解答：解：根据共轭复数的定义，原命题“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|=|z2|”是真命题；其逆命题是：“若|z1|=|z2|，则z1，z2互为共轭复数”，例|1|=|1|，而1与1不是互为共轭复数，原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，命题的否命题是假命题，逆否命题是真命题故选：b点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了共轭复数的定义，熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键9（5分）设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yi=xi+a（a为非零常数，i=1，2，10），则y1，y2，y10的均值和方差分别为（）a1+a，4b1+a，4+ac1，4d1，4+a考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数 专题：概率与统计分析：方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论解答：解：方法1：yi=xi+a，e（yi）=e（xi）+e（a）=1+a，方差d（yi）=d（xi）+e（a）=4方法2：由题意知yi=xi+a，则=（x1+x2+x10+10a）=（x1+x2+x10）=+a=1+a，方差s2=（x1+a（+a）2+（x2+a（+a）2+（x10+a（+a）2=（x1）2+（x2）2+（x10）2=s2=4故选：a点评：本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，若变量y=ax+b，则ey=aex+b，dy=a2dx，利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算10（5分）如图，某飞行器在4千米高空飞行，从距着陆点a的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为（）ay=xby=x3xcy=x3xdy=x3+x考点：导数的几何意义；函数解析式的求解及常用方法 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：分别求出四个选项中的导数，验证在x=5处的导数为0成立与否，即可得出函数的解析式解答：解：由题意可得出，此三次函数在x=5处的导数为0，依次特征寻找正确选项：a选项，导数为，令其为0，解得x=5，故a正确；b选项，导数为，令其为0，x=5不成立，故b错误；c选项，导数为，令其为0，x=5不成立，故c错误；d选项，导数为，令其为0，x=5不成立，故d错误故选：a点评：本题考查导数的几何意义，导数几何意义是导数的重要应用二、填空题：把答案写在答题卡相应的题号后的横线上（本打题共4小题，每小题5分，共计25分）11（5分）已知4a=2，lgx=a，则x=考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值解答：解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=故答案为：点评：本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题12（5分）若圆c的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆c的标准方程为x2+（y1）2=1考点：圆的标准方程 专题：直线与圆分析：利用点（a，b）关于直线y=xk的对称点为 （b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y1）2=1，故答案为：x2+（y1）2=1点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=xk的对称点为 （b，a），属于基础题13（5分）设0，向量=（sin2，cos），=（cos，1），若，则tan=考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出解答：解：，向量=（sin2，cos），=（cos，1），sin2cos2=0，2sincos=cos2，0，cos02tan=1，tan=故答案为：点评：本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题14（5分）观察分析下表中的数据：多面体面数（f）顶点数（v）棱数（e）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中f，v，e所满足的等式是f+ve=2考点：归纳推理 专题：归纳法；推理和证明分析：通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数f、顶点数v和棱数e，得到规律：f+ve=2，进而发现此公式对任意凸多面体都成立，由此得到本题的答案解答：解：凸多面体的面数为f、顶点数为v和棱数为e，正方体：f=6，v=8，e=12，得f+ve=8+612=2；三棱柱：f=5，v=6，e=9，得f+ve=5+69=2；三棱锥：f=4，v=4，e=6，得f+ve=4+46=2根据以上几个例子，猜想：凸多面体的面数f、顶点数v和棱数e满足如下关系：f+ve=2再通过举四棱锥、六棱柱、等等，发现上述公式都成立因此归纳出一般结论：f+ve=2故答案为：f+ve=2点评：本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识，属于基础题考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.【不等式选做题】15（5分）设a，b，m，nr，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2（m2+n2）（a2+b2）a2+b2=5，ma+nb=5，（m2+n2）5的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题【几何证明选做题】16如图，abc中，bc=6，以bc为直径的半圆分别交ab、ac于点e、f，若ac=2ae，则ef=3考点：与圆有关的比例线段 专题：选作题；立体几何分析：证明aefacb，可得，即可得出结论解答：解：由题意，以bc为直径的半圆分别交ab、ac于点e、f，aef=c，eaf=cab，aefacb，bc=6，ac=2ae，ef=3故答案为：3点评：本题考查三角形相似的判定与运用，考查学生的计算能力，属于基础题【坐标系与参数方程选做题】17在极坐标系中，点（2，）到直线sin（）=1的距离是1考点：点的极坐标和直角坐标的互化 专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标化为直角坐标的方法，利用点到直线的距离公式求得结果解答：解：根据极坐标和直角坐标的互化公式x=cos，y=sin，可得点（2，）即（，1）；直线sin（）=1即x+y=1，即xy+2=0，故点（，1）到直线xy+2=0的距离为=1，故答案为：1点评：本题主要考查把极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共计6小题，共计75分）18（12分）abc的内角a，b，c所对应的边分别为a，b，c（）若a，b，c成等差数列，证明：sina+sinc=2sin（a+c）；（）若a，b，c成等比数列，求cosb的最小值考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值分析：（）由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形即可得证；（）由a，bc成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用余弦定理表示出cosb，将得出的关系式代入，并利用基本不等式变形即可确定出cosb的最小值解答：解：（）a，b，c成等差数列，2b=a+c，利用正弦定理化简得：2sinb=sina+sinc，sinb=sin（a+c）=sin（a+c），sina+sinc=2sinb=2sin（a+c）；（）a，b，c成等比数列，b2=ac，cosb=，当且仅当a=c时等号成立，cosb的最小值为点评：此题考查了正弦、余弦定理，等差、等比数列的性质，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键19（12分）如图1，四面体abcd及其三视图（如图2所示），过棱ab的中点e作平行于ad，bc的平面分别交四面体的棱bd，dc，ca于点f，g，h（）证明：四边形efgh是矩形；（）求直线ab与平面efgh夹角的正弦值考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系 专题：空间角分析：（）由三视图得到四面体abcd的具体形状，然后利用线面平行的性质得到四边形efgh的两组对边平行，即可得四边形为平行四边形，再由线面垂直的判断和性质得到adbc，结合异面直线所成角的概念得到efeh，从而证得结论；（）分别以db，dc，da所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，求出及平面efgh的一个法向量，用与所成角的余弦值的绝对值得直线ab与平面efgh夹角的正弦值解答：（）证明：由三视图可知，四面体abcd的底面bdc是以bdc为直角的等腰直角三角形，且侧棱ad底面bdc如图，ad平面efgh，平面adb平面efgh=ef，ad平面abd，adefad平面efgh，平面adc平面efgh=gh，ad平面adc，adgh由平行公理可得efghbc平面efgh，平面dbc平面efgh=fg，bc平面bdc，bcfgbc平面efgh，平面abc平面efgh=eh，bc平面abc，bceh由平行公理可得fgeh四边形efgh为平行四边形又ad平面bdc，bc平面bdc，adbc，则efeh四边形efgh是矩形；（）解：解法一：取ad的中点m，连结，显然mebd，mhcd，mfab，且me=mh=1，平面meh平面efgh，取eh的中点n，连结mn，则mneh，mn平面efgh，则mfn就是mf（即ab）与平面efgh所成的角，meh是等腰直角三角形，mn=，又mf=ab=，sinafn=，即直线ab与平面efgh夹角的正弦值是解法二：分别以db，dc，da所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知db=dc=2，da=1又e为ab中点，f，g分别为db，dc中点a（0，0，1），b（2，0，0），f（1，0，0），e（1，0，），g（0，1，0）则设平面efgh的一个法向量为由，得，取y=1，得x=1则sin=|cos|=点评：本题考查了空间中的直线与直线的位置关系，考查了直线和平面所成的角，训练了利用空间直角坐标系求线面角，解答此题的关键在于建立正确的空间右手系，是中档题20（12分）在直角坐标系xoy中，已知点a（1，1），b（2，3），c（3，2），点p（x，y）在abc三边围成的区域（含边界）上（）若+=，求|；（）设=m+n（m，nr），用x，y表示mn，并求mn的最大值考点：平面向量的基本定理及其意义；平面向量的坐标运算 专题：平面向量及应用分析：（）先根据+=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再根据向量模的公式，问题得以解决；（）利用向量的坐标运算，先求出，再根据=m+n，表示出mn=yx，最后结合图形，求出mn的最小值解答：解：（）a（1，1），b（2，3），c（3，2），+=，（1x，1y）+（2x，3y）+（3x，2y）=03x6=0，3y6=0x=2，y=2，即=（2，2）（）a（1，1），b（2，3），c（3，2），=m+n，（x，y）=（m+2n，2m+n）x=m+2n，y=2m+nmn=yx，令yx=t，由图知，当直线y=x+t过点b（2，3）时，t取得最大值1，故mn的最大值为1点评：本题考查了向量的坐标运算，关键在于审清题意，属于中档题，21（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300500概率0.50.5作物市场价格（元/kg）610概率0.40.6（）设x表示在这块地上种植1季此作物的利润，求x的分布列；（）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（）分别求出对应的概率，即可求x的分布列；（）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论解答：解：（）设a表示事件“作物产量为300kg”，b表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则p（a）=0.5，p（b）=0.4，利润=产量市场价格成本，x的所有值为：500101000=4000，50061000=2000，300101000=2000，30061000=800，则p（x=4000）=p（）p（）=（10.5）（10.4）=0.3，p（x=2000）=p（）p（b）+p（a）p（）=（10.5）0.4+0.5（10.4）=0.5，p（x=800）=p（a）p（b）=0.50.4=0.2，则x的分布列为： x4000 2000 800 p 0.3 0.50.2 （）设ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则c1，c2，c3相互独立，由（）知，p（ci）=p（x=4000）+p（x=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为p（c1c2c3）=p（c1）p（c2）p（c3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为p（c2c3）+p（c1c3）+p（c1c2）=30.820.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力22（13分）如图，曲线c由上半椭圆c1：+=1（ab0，y0）和部分抛物线c2：y=x2+1（y0）连接而成，c1与c2的公共点为a，b，其中c1的离心率为（）求a，b的值；（）过点b的直线l与c1，c2分别交于点p，q（均异于点a，b），若apaq，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：向量与圆锥曲线分析：（）在c1、c2的方程中，令y=0，即得b=1，设c1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2；（）由（）知上半椭圆c1的方程为+x2=1（y0），设其方程为y=k（x1）（k0），代入c1的方程，整理得（k2+4）x22k2x+k24=0（*）设点p（xp，yp），依题意，可求得点p的坐标为（，）；同理可得点q的坐标为（k1，k22k），利用=0，可求得k的值，从而可得答案解答：解：（）在c1、c2的方程中，令y=0，可得b=1，且a（1，0），b（1，0）是上半椭圆c1的左右顶点设c1：的半焦距为c，由=及a2c2=b2=1得a=2a=2，b=1（）由（）知上半椭圆c1的方程为+x2=1（y0）