高数—不定积分讲解和例题ppt课件.ppt

第四章不定积分 1 1 不定积分的概念与性质 2 已知物体运动的位置函数s s t 求时刻t的瞬时速度v v t 微分学解决的问题 已知物体运动的速度函数v v t 求运动的位置函数s s t 积分学解决的问题 一般 已知函数f x 要找另一个函数F x 使F x f x 积分学的任务 3 一 原函数与不定积分的概念 定义1 已知f x 是一个定义在区间I上的函数 则称F x 为f x 在I上的原函数 如 x2是2x的原函数 dsinx cosxdx sinx是cosx的原函数 s t 是v t 的原函数 如果存在函数F x 使在I内的任一点都有 4 有关原函数的几个问题 1 在什么条件下 f x 一定存在原函数 原函数存在定理 若f x 在区间I上连续 则在I上必存在原函数 2 如果f x 有原函数 那么共有几个 设F x 为f x 的原函数 则 f x 如有原函数 就有无穷多个 5 F x C包含了f x 的所有原函数 3 如果f x 有一个原函数F x 那么F x C是否包含了f x 的 所有原函数 6 定义2 函数f x 的全体原函数就称为 f x 的不定积分 记作 其中 积分号 f x 被积函数 f x dx 被积表达式 x 积分变量 例 若F x 为f x 的一个原函数 则 7 不定积分的几何意义 f x 的一个原函数F x 的图形称为f x 的一条积分曲线 方程为y F x 就表示了一族积分曲线y F x C 它们相互平行 即在横坐标相同的点处有相同的切线斜率 x 8 先积分后微分的作用相互抵消 由不定积分的定义 则有 又 或 先微分后积分的作用抵消后加任意常数C 9 例 求通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标6倍的一条曲线 解 设所求曲线方程为y f x 由题意 曲线上点 x y 的切线斜率 为一簇积分曲线 10 二 基本积分表 注意 依基本导数公式与不定积分的定义 即可得基本积分公式 请同学们参见教材第186页15个公式 11 例题讨论 求下列不定积分 例1 例2 12 三 不定积分的性质 性质2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外 13 利用基本积分表和不定积分性质 可计算一些简单函数的不定积分 注意3点 1 在分项积分后 对每个不定积分的任意常数不必一一写出 可在积分号全部不出现后简写为一个常数 2 检验积分结果是否正确 只要将其结果求导 看它的导数是否等于被积函数即可 3 由于微分形式不变性 积分表中的每个公式中的x可用其它变量u替代 公式仍正确 技巧 先将被积函数变形 化为表中所列的类型 然后再积分 14 例3 例4 掌握被积函数的恒等变形 15 例5 同理 例6 例7 16 例8 例9 假分式 多项式 真分式 17 从理论上来讲 只需把积分结果求导 就可检验积分是否正确 但由于函数变形及原函数间可相差一个常数等因素 一般不检验 所以注重积分过程的正确性是至关重要的 即每一步运算都要看能否还原到上一步 18 课外作业 习4 1 A 1 双 习4 1 B 1 5 6 7 11 2 19 一 第一类换元法 凑微分法 1 凑常数 例1 2 2x u 2 换元积分法 20 例2 例3 1 x 1 u 21 例4 a a 1 同理 22 例5 同理 23 例6 24 2 凑函数 变量 定理1 设F u 是f u 的一个原函数 且 原函数 且有换元公式 u x 可导 证明 25 换元公式 x u 前例 u sinx 26 例1 例2 题目做得熟练后 中间变量u可以不写出来 27 例3 同理 例4 secx tanx secx tanx 28 同理 例5 或 29 例6 2 30 例7 31 例8 32 例9 33 一般 34 例10 例11 35 一般 36 例12 例13 37 课外作业 习4 2 A 3 4 5 6 13 16 17 习4 2 B 2 4 7 8 38 二 第二类换元法 变量代换法 定理2 设x t 是单调的可导函数 换元公式 令x t 39 1 三角代换 例1 分析 目的 消去根式 利用三角恒等式 若令x asint 被积函数 40 例1 解 令x asint dx acostdt t x a 41 例2 分析 若令x atant 解 令x atant dx asec2tdt t x a 42 也可令x asht t 0 解 令x asht dx achtdt 43 例3 分析 若令x asect 解 令x asect dx asecttantdt t x a 44 或令x acht t 0 如 45 小结 当被积函数含有因子 目的 去根号 46 例题讨论 例1 解 t x 47 例2 解 令x tant dx sec2tdt x 1 t 48 2 根式代换 例1 分析 目的 化分数幂为整数幂 去根号 解 1 1 49 回代 50 例2 解 51 例3 令x sect dx asecttantdt 解二 解一 52 3 倒代换 对形如 前例3 53 例4 解二 解一 54 熟记 教材第203页积分公式 16 24 另外补充一个积分公式 55 杂例 例1 例2 例3 56 例4 例5 57 例6 例7 58 例8 例9 59 例10 60 例10 另