南通大学实验报告.doc

南通大学实验报告定积分与定积分的近似计算 学院： 理学院 班级： 数师153班 学号： 1502012072 姓名： 顾阳 第一部分实验报告书解读一、实验目的实验主要是分析用矩阵公式，梯形公式，辛普森公式求定积分的近似值，并比较它们与定积分的近似情况。可以先学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼茨公式。二、实验材料1.1定积分的数值计算计算定积分的近似值，可将积分区间等分而得矩形公式程序为或也可用梯形公式近似计算如果要准确些，可用辛普森公式 对于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为 a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx; d=NIntegratefx,x,a,b,k;（计算精确值） s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（取小区间左端点的矩形公式） s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k（取小区间中点的矩形公式） s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; （取小区间右端点的矩形公式）s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; （梯形公式） s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;（辛普森公式） t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,1001.2可积的条件设f(x)=sinx,取a=0,b=1对于，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为 a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx; d=NIntegratefx,x,a,b,k;（计算精确值） s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k;（取小区间左端点的矩形公式） s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k（取小区间中点的矩形公式） s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; （取小区间右端点的矩形公式）s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; （梯形公式） s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k;（辛普森公式） r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:= t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,1001.3牛顿-莱布尼茨公式设函数在上连续，而且是的一个原函数，则有牛顿-莱布尼兹公式。函数在不连续、不存在原函数，但在上可积；函数在不连续，但在上可积。此外函数处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)上不可积。求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica程序 fx_:=Sinx; Integratef(x),x（求不定积分） Fx_:=%（定义原函数） d=NIntegratef(x),x,a,b（求定积分） df=Fb-Fa （计算原函数的增量）三、实验所用软件及版本Mathematica5.0第二部分 实验计划（一）定积分的数值计算1.程序修改a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx; d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100利用以上程序计算，并对几个公式比较。2.实验思路对以上程序，分别将sinx的x替换成1，x，x2，ex，In(1+x)（二）可积的条件1.实验思路：（1）如果函数f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在区间a,b上可积，反之亦然。（2）设一连续函数，判断其是否可积。2.程序修改 a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx; d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100利用以上程序计算，并对几个公式比较。（三）牛顿-莱布尼茨公式1. 程序修改 fx_:=Sinx; Integratef(x),x Fx_:=% d=NIntegratef(x),x,a,b df=Fb-Fa r=d-df2实验思路（1）先对一个函数sinx在区间0,1时,运行程序计算。（2）在考虑其他函数，y=1,y=x，y=x2，y=ex，y=In(1+x)，y=sign(x)在0,1时，进行程序计算。第三部分 实验过程与结果 实验一 定积分的实验计算 1. 在mathmatica上输入以下程序 a=0;b=1;k=10; fx_:=Sinx; d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：2. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=1 d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：3. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=x d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：4. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=x2 d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：5. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=Expx d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：6. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:= Log1+x d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：7. 实验观察结果：随着n的增大，以及公式的更加精确性，求积分的误差d越来越小，结果越来越准确。实验二 可积条件1. 以实验一的6组数据为基础，再加一组数据；2. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1;k=10; fx_:=Signx d=NIntegratefx,x,a,b,k; s1m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k; s2m_:=NSumfa+(i+1/2)*(b-a)/m*(b-a)/m,i,0,m-1,k s3m_:=NSumfa+i*(b-a)/m*(b-a)/m,i,1,m,k; s4m_:=NSum(fa+i*(b-a)/m+fa+(i+1)*(b-a)/m)/2*(b- a)/m,i,0,m-1,k; s5m_:=N(b-a)/m/6*(fa+fb)+2*Sumfa+i*(b-a)/m,i,1,m-1 +4*Sumfa+(i-1/2)*(b-a)/m,i,1,m),k; r1m_:=d-s1m;r2m_:=d-s2m;r3m_:=d-s3m;r4m_:=d-s4m;r5m_:=d-s5m; t=Tables1m,r1m,s2m,r2m,s3m,r3m,s4m,r4m,s5m,r5m, m,100,1000,100运行结果为：3. 实验观察结果：连续函数一定可积，但是非连续函数不一定不可积实验三 牛顿-莱布尼茨公式1. 在mathmatica上输入以下程序 a=0;b=1; fx_:=x; Integratefx,x Fx_=% d=NIntegratefx,x,a,b df=Fb-Fa r=d-df运行结果为2. 在mathmatica上输入以下程序a=0;b=1fx_:=1;Integratefx,xFx_:=%d=NIntegratefx,x,a,bd