高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-3-2双曲线的几何性质.doc

2.3.2双曲线的几何性质一、选择题1(2009宁夏、海南)双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2 B2 C. D1答案A解析本题主要考查双曲线的几何性质由双曲线1得焦点坐标为(4,0)，渐近线方程为xy0，焦点到渐近线的距离d2.2双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析顶点为(0,2)，a2且焦点在y轴上，又实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，有42b2c，且4b2c2，解得b2.3已知双曲线1与直线y2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是()A(1，) B(1，)(，)C(，) D，)答案C解析用数形结合法解决较为简单，由图分析可知，只有当渐近线斜率2时，才能保证y2x与双曲线有公共点，4，即5.4如果1表示焦点在y轴上的双曲线，那么它的半焦距c的取值范围是()A(1，)B(0,2)C(2，) D(1,2)答案A解析方程化为：1，k2.又c1，故选A.5(2009四川)已知双曲线1(b0)的左右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为yx，点P(，y0)在该双曲线上，则()A12 B2 C0 D4答案C解析本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质由题意得b22，F1(2,0)，F2(2,0)，又点P(，y0)在双曲线上，y1，(2，y0)(2，y0)1y0，故选C.6已知椭圆1和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()Axy ByxCxy Dyx答案D解析由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，椭圆焦点(，0)，双曲线焦点(，0)3m25n22m23n2.m28n2.又双曲线渐近线为yx，代入m28n2，|m|2|n|，得yx.7如果双曲线1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()A. B2 C. D2答案A解析双曲线1的渐近线方程为yx，又两渐近线互相垂直，所以ab，ca，e.8已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B. C2 D.答案B解析由题意|PF1|PF2|2a，即3|PF2|2a，|PF2|a，设P(x0，y)，则x00，aex0a，e.|x0|a，1.e.故选B.9(2010浙江理，8)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为()A3x4y0 B3x5y0C4x3y0 D5x4y0答案C解析如图：由条件|F2A|2a，|F1F2|2c又知|PF2|F1F2|，知A为PF1中点，由a2b2c2，有|PF1|4b由双曲线定义：|PF1|PF2|2a，则4b2c2a2bca，又有c2a2b2，(2ba)2a2b2，4b24aba2a2b23b24ab，渐近线方程：yx.故选C.10已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F(，0)，直线yx1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析设双曲线方程为1(a0，b0)，依题意c，方程可化为1，由得(72a2)x22a2x8a2a40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2.，解得a22.故所求双曲线方程为1.二、填空题11与椭圆1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为_答案1解析双曲线的两渐近线互相垂直，双曲线为等轴双曲线，又c25，a2b2.12(2008安徽)已知双曲线1的离心率为，则n_.答案4解析若焦点在x轴上，a2n，b212n，c2a2b212，e，n4.若焦点在y轴上，a2n12，b2n，c2a2b212不合题意故n4.13已知点F、A分别为双曲线C1(a0，b0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足0，则双曲线的离心率为_答案解析由已知F(c,0)，A(a,0)，(c，b)，(a，b)，由0得acb20，即c2aca20，e2e10，解得e(另一根舍去)14(2008江西)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_答案1解析易知右顶点为(a,0)，1，a2，又双曲线1(a0，b0)的两条渐近线方程也是yx，ab，b，双曲线的方程为1.三、解答题15已知双曲线与椭圆x24y264共焦点，它的一条渐近线方程为xy0，求双曲线的方程解析解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为xy0，则另一条为xy0，可设双曲线方程为x23y2(0)，即1.由椭圆方程1可知c2a2b2641648.双曲线与椭圆共焦点，则48，36.故所求双曲线方程为1.解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为1，由渐近线方程yx可得.28.故所求双曲线方程为1.16F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且F1PF260，SPF1F212，又离心率为2.求双曲线的方程解析设双曲线方程为1，因|F1F2|2c，而e2，由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2ac.由余弦定理，得(2c)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos60)，4c2c2|PF1|PF2|，又SPF1F2|PF1|PF2|sin6012，|PF1|PF2|48，3c248，c216得a24，b212.所求双曲线方程为1.17已知双曲线1(a0，b0)过点A(，)，且点A到双曲线的两条渐近线的距离的积为，求此双曲线方程解析双曲线1的两渐近线的方程为bxay0.点A到两渐近线的距离分别为d1，d2，已知d1d2，故又A在双曲线上，则14b25a2a2b2，代入，得3a2b24a24b2，联立、解得b22，a24.故所求双曲线方程为1.18已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1MF2；(3)求F1MF2的面积解析(1)e，可设双曲线方程为x2y2.过点(4，)，1610，即