小学奥数第22讲数阵问题.doc

第22讲数阵问题（二）把一些数按照一定的要求排成各种各样的图形，这类图形称为数阵图，简称数阵，数阵是由幻方演变而来的，数阵图种类繁多，这一讲我们就来讨论辐射型、封闭型和复合型三种数阵图。例题与方法例1、把3、4、5、6、7这五个数分别填入右图中的五个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。思路点拨丁丁：把3、4、5、6、7这五个数分别填入五个方格里，中心方格中的数既在横行上又在竖列中。机灵猴：是的，中心方格中的数用了两次，可以用每条线上的和2五个数的和，所得的差不就是中心数吗？即142（34567）=3。小麦斯：想得真好！本题属于辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数，然后把其余的数进行配对，采用试验法就能确定其它各位置上的数。解：例2、将17分别填入右图中的内，使每条线段上三个内数的和相等。思路点拨丁丁：这道题是辐射型的数阵图，从图中看出中心数用了三次。机灵猴：对！而题目中每条线上三个数的和没有告诉我们，怎样求中心数呢？小麦斯：别着急！求中心数是辐射型数阵图的关键，可以设中心数为a，则总和为：12372a=282a，每条线段上三个数的和为：（282a）3，所得的商是自然数。机灵猴：我懂了，经过分析，关键是确定中心数和相对应的每条线段上三个数的和。即：当a=1时，每条线段上三个数的和为10；当a=4时，每条线段上三个数的和为12；当a=7时，每条线段上三个数的和为14。小麦斯：在没有告诉每条线段上三个数的和时，还是抓住中心数，中心数往往不止一个，应逐个分析，再从中心数确定每条线段上三个数的和，因此本题有三种填法。解：例3、将16这六个数分别填入图中的内，使每条边上三个内数的和都等于9。思路点拨：丁丁：唉！每条边上三个数的和为9，而三角形三个顶点上3个数不是重复加了一遍吗？机灵猴：对！我们就从这里着手，假设三角形的三个顶点上的数为：a、b、c，这样a、b、c三个数的和为：93（123456）=6丁丁：a、b、c三个数的和等于6，可知a、b、c三个数分别是1、2、3。小麦斯：你们想得真棒！封闭型数阵，先要确定各边顶点所应填的数，一般地，数阵图中各边数之和所填入数的和=重复多加的各顶点之和，这样再来填图就不会太困难了。解：例4、将514这十个自然数填入右图中的中，使每个大圆上六个数的和都相等。思路点拨丁丁：这是一道封闭型数阵图，要求两个大圆圈中重复两个数的和，而题目中没有告诉我们每个大圆圈中六个数的和，该怎么办呢？小麦斯：既然每个大圆圈中六个数的和没有告诉我们，我们就从这里着手，假设重复的两个数为a、b，每个圆圈中六个数的和为：（56714ab）2=（95ab）2，那么a与b的和可能是11、13、15、27共9种。机灵猴：我会了，当a与b的和为11时，可得每个大圆圈上六个数的和为53，这样就容易在每个圆圈里填上符合条件的数。解：小麦斯：封闭型数阵图，关键是确定数阵中两个重复数的和，在没有告诉每个大圆圈中六个数的和的情况下，可以进行讨论，得出不同的重复数的和与它对应的大圆圈中六个数的和。这样数阵图还可以产生许多不同的填法，别的填法可想一想、试一试。例5、将110这十个自然数分别填入图中的十个内，使各条线段上四个内数的和相等，每个三角形三个顶点上内数的和也相等。思路点拨：丁丁：这幅数阵图与前面的例题相比，数阵比较复杂，该怎么填数呢？小麦斯：这是一幅复合型的数阵图，题目第一个要求：“使各条线段上四个内数的和相等”，这是在辐射型数阵中填数。第二个要求：“使每个三角形三个顶点上内数的和相等”，这是在封闭型数阵图中填数。机灵猴：我会在辐射型数阵图中填数，先确定中心数，假设中心数为a，则1239102a=552a 552a应能被3整除，则a可取1、4、7、10。如果取a=1时，每条线段上另外三个数的和为：（551）3=18 这样其余9个数可分成三组：（3、7、8）、（2、6、10）、（4、5、9），这样就容易填图（如右图）。小麦斯：你真行！在辐射型部分填好后再考虑封闭型部分的填法。已知每个三角形三个顶点上内三个数的和相等，所以，这三个数之和为：（551）3=18，这样将210九个数可分为和是18的三组：（3、5、10）、（2、7、9）、（4、6、8），然后把每条线段上的数在本线段上进行调整，使每个三角形3个顶点上的数的和都等于18。解：小麦斯：当a取4、7、10时，在复合数阵图中还会有不同种填法，我们可以试一试、填一填。总结与提示数阵问题是有趣的填数问题，数学兴趣活动中常会碰见这样的问题。解答这类问题，既可以提高同学们的学习兴趣，还可以培养同学们分析、推理的能力。要想正确、迅速地填数，就要做到以下几点。1、根据题型的特性，准确判断出问题是辐射型、封闭型、还是复合型。2、掌握各类题型的解题思路。例如，解答辐射型数阵问题的关键是找出中心数；解答封闭型数阵问题的关键是找出重复计算的顶点上的数。不管哪种题型，都要从“和相等”入手。3、要耐心地计算、试验，并把分析推理和试验结合进行。4、很多数阵问题的答案不是唯一的。练习与思考（每题10分，共100分）1、把19九个数填入“七一”内，使每一横行、竖行的数字和是13。2、将17这七个数分别填入右图中的里，使每条线上3个数的和等于10。3、将113这13个数分别填入图中的内，使每条线段上四个内的数的和相等。4、将1020填入右图的内，其中15已填好，使得每条边上的3个数字之和都相等。5、将16这六个数分别填入图中的内，使每条直线上三个内所填数的和相等。6、将110这十个自然数填入图中的中，使五边形每条边上的三个数之和相等，并使和尽可能地小。7、将19这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，使每4个小三角形组成的大三角形内的4个数的和等于20。8、将19这九个自然数分别填入图中九个小三角形中，要求靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并尽可能