矩形线圈的磁场计算_李景天.pdf

1997年 3 月 第 17 卷 第 1 期 Journal of Yunnan Normal University 云南师范大学学报 Mar 1997 Vol 17 No 1 矩形线圈的磁场计算 李景天 郑勤红 云南师大化学系 云南师大物理系 摘 要 本文从毕奥 萨伐尔公式出发 推导出一般矩形线圈的磁场计算公式 实际计算结果 表明 所推导出的计算公式是方便可行的 可以很方便地应用于电工设备中的矩形线圈磁场分 析与设计 关键词 毕奥 萨伐尔公式 矩形线圈 磁场 1 引 言 载流线圈是大量电工设备中不可缺少的装置 是科学研究和工程问题中最常用的一种 磁体 在线圈磁体的设计与研制中 常需要计算线圈的磁场分布 由于工程实际需要和研 究问题方便 人们对轴对称线圈进行了大量而广泛的研究 1 2 3 取得了大量成果 在科学研究和工程设计中 矩形线圈的应用也是相当广泛的 但人们对矩形线圈的研究却 很少 文献 4 5 也仅研究了长方形载流导体的磁场计算问题 而未真正涉及矩形线圈 的磁场计算 本文从毕奥 萨伐尔公式出发 推导出具有一定厚度和长度的矩形线圈 在空间中任 意点所产生的磁场的计算公式 并通过实例计算验证其正确性 2 矩形线圈的磁场计算公式 如图 1 所示建立坐标系 设线圈沿Z 轴方向的长度 亦即线圈的高度 为 h h2 h1 线圈沿 X 轴方向的内外长度为a1和 a2 沿 Y 轴方向的内外长度为 b1和 b2 单位体积内的 电流密度为 J J 常量 场点坐标为 r xi yj zk 源点坐标为 r x i y j z k i j k 分别为沿 X 轴 Y 轴 Z 轴方向上的单位矢量 为讨论问题方便 将矩形线圈分为 四个区 如图 1 所示 其电流密度分别为 J1 Jj J2 i J3 Jj J4 Ji 并假设四个 区在空间中任意一点所产生的磁感应强度分别为 B1 B2 B3 B4 且图中tg b2 b1 a2 a1 k 1 1 k2 1996 08 26收稿 云南省教委基金资助项目 由毕奥 萨伐尔公式 令 R x x 2 y y 2 z z 2 可得 B1 0 4 h2 h1 dz a2 a1 dx k1x k1x dx Jj r r R 3 dy 0 4 J h2 h1 dz a2 a1 dx k1x k1x dx 1 R 3 z z i x x k dy 图 1 矩形线圈 令 y y t 再利用积分公式 dx ax 2 c 3 2 x cax 2 c可得 B1 0 4 J h2 h1dz a2 a1dx k1x k1x dx 1 R 3 z z i x x k dt 0 4 J h2 h1dz a2 a1 z z i x x k z z 2 x x 2 k1x y R11 k1x y R12 dx 1 式中R11 k1x y 2 z z 2 x x 2 R12 k1x y 2 z z 2 x x 2 同理可得 B2 0J 4 h2 h1dz b2 b1 z z i y y k z z 2 y y 2 k2y x R22 k2y x R21 dy 2 式中 R21 k2y x 2 z z 2 y y 2 R22 k2y x 2 z z 2 y y 2 B3 0J 4 h2 h1 dz a2 a1 z z i x x k z z 2 x x 2 k1x y R32 k1x y R31 dx 3 61 第 1期李景天等 矩形线圈的磁场计算 式中 R31 k1x y 2 z z 2 x x 2 R 32 k1x y 2 z z 2 x x 2 B4 0J 4 h2 h1dz b2 b1 z z i y y k z z 2 y y 2 k2y x R42 k2y x R41 dx 4 式中 R41 k2y x 2 z z 2 y y 2 R42 k2y x 2 z z 2 y y 2 由迭加原理可知 B B1 B2 B3 B4 5 1 2 3 4 5 五式即为矩形线圈在空间中任意一点所产生的磁场的计算公式 1 2 3 4 是四个二维定积分 采用二维高斯数值积分 6 即可算出该点的磁感应 强度B 3 计算实例 设在一方形空心铁芯内安置一矩形通 图 2 电直流线圈 7 图 2 是其八分之一剖面图 铁芯的相对磁导率 0 线圈的电流密度 J 1 6 安 米2 求非铁芯中的磁场分布 其 定解问题为 2A 0J Bt 0 6 根据偏微分方程理论 6 式的解 A 等于矢 量 poisson 方程 2A 0J 的一个特解 Ac和 矢量 Lap lace 方程 2A 0 的通解 Am的矢 量和 即 A Ac Am B A Bc Bm 7 Bm用文献 8 中所介绍的二阶矢量位的多 极理论进行求解 Bc用本文推导的磁场计算 公式进行计算 结果见表 1 表 1 磁场计算结果 X m Y m Z m Bx T By T Bz T 0 000000 000000 000000 000000 000000 986227 0 017500 017500 02000 0 012809 0 0128090 995023 0 037500 018750 02000 0 297629 0 0209170 479354 0 018750 037500 02000 0 020917 0 2976290 479354 62 云南师范大学学报 自然科学版 第 17 卷 由表 1见 表中的 Bz与文献 7 采用等参元矢量磁位有限元法所获得的 Bz是一致的 且与文献 7 中的理论分析相吻合 Bx B y则有一定差别 这可能是由于文献 7 中的 有限元网格过于稀疏所造成的 文献 7 中未对 Bx By的合理性进行分析 由此可见 本 文所讨论的矩形线圈的磁场计算公式是正确的 也是可行的 4 结 论 本文从毕奥 南萨伐尔公式出发 推导出矩形线圈在空间任意一点的磁场公式 实例 计算结果表明 所推导出的公式是正确的 可以很方便地用于工程设计中矩形线圈的磁场 计算 为矩形线圈的磁场计算问题提供了一套完整而有效的计算方法 参 考 文 献 1 雷银照 轴对称线圈的磁场计算 北京 中国计量出版社 1991 2 腾广汉 康建华 螺线管磁场强度的级数法计算 电工技术学报 1993 8 4 36 40 3 郭航 轴对称线圈静磁场的计算与应用 电工电能新技术 1996 1 1 5 4 樊明武 杜兴军 三维分布电流场量的积分解法 哈尔滨电工学院学报 1984 7 2 1 9 5 樊明武 颜威利 电磁场积分方程法 北京 机械工业出版社 1988 6 冯康 数值计算方法 北京 国防工业出版社 1978 7 傅丰礼 采用等参单元的电机电磁场三维向量磁位有限元法 华中工学院学报 1986 14 6 779 786 8 郑勤红 电磁场分析中的多极理论及其应用研究 西安交通大学博士学位论文 1996 9 A CALCULATING METHOD FOR MAGNETIC OF SQUARE COIL Li Jingtian Zheng Qinhong Yunnan Normal U niversity ABSTRACT T his paper derives the calculating formula of magnetic field of square coil from the Biot Savart formula By calculating a real problem it is proven that the formula is reliable and can be