数学分析中的反例教学.doc

目录摘要2Abstract3一、函数与极限4（一）数列极限4（二）函数极限6二、连续函数7三、可导函数10四、中值定理12五、定积分14六、反常积分与积分极限18七、数项级数20八、一致收敛23九、幂级数、三角级数、含参量积分24十、多元微积分25参考文献28致谢29数学分析中的经典反例摘要： 数学分析中存在大量的反例，应用列举反例来驳斥命题真实性的思想在数学中非常重要。本文阐述了一些数学分析中经典反例，这些反例比较多见也容易理解和掌握。本文按照数学分析中重要板块分为十个部分，在每一部分总结并提出一些经典的反例。运用命题的形式给出一个数学问题，这些命题均为不正确的，列举满足命题条件但使得结论不成立的例子进行反驳，证明其错误性。进一步，文章针对某些命题加上一些说明和注解，目的是说明其错误根源在于命题中的某些条件没有被限制，并且通过加上一些限制条件使得原命题成立。文章还对一些反例加上引申和推广，主要是通过对命题中的条件进行分析，拓宽一些限制条件，寻找在新条件下仍满足命题错误的反例。关键词：命题；反例；注解和推广Classic Counterexamples in Mathematical AnalysisAbstract: There are many counterexamples in mathematical analysis. The idea that counterexamples cited to refute the authenticity of proposition is very important in math. In this paper, I summarize some classical counterexamples which are not only common but also easy to understand. This article is divided into ten parts, in each part I sum up and introduce a number of classic counterexamples, in accordance with the important plates in mathematical analysis. I give a math problem by using the form of propositions which are not true, and then I list examples which satisfy conditions of the proposition but not fulfill the conclusions to refute and demonstrate that error of the propositions. In addition, the article adds several notes and comments for some propositions in order to answer the reason -why is error -is rooted in not being restricted to certain conditions, and I try to make the original proposition right by adding a few restrictive conditions. The article also appends explication and promotion, mainly through the mean analysis the conditions of the proposition and wide the limitations of the conditions to search counterexamples which still meet the conditions in new proposition.Key words: the proposition; counterexamples; comment and promotion一、 函数与极限（一）数列极限1. 存在正整数反例：令 使得.引申：使得.反例：令与任意使得成立矛盾.2. .反例： .引申: 有.反例：3. 则.注：这里极限对于不是一致的。当且仅当为柯西列时对一致。4. 设若则或.反例：5. 若,则.反例：.6.设是一个数列，若在任一子序列中均存在收敛子列则必为收敛数列.反例：令 为1，0，1，0，任一子序列都存在收敛子列但此数列发散.7.设数列为无穷大量，数列满足则数列为无穷大量.反例：.8.反例：（二）函数极限1. 若,则就有.反例：2. 反例：注：命题满足下列条件之一：（1）（2）在的某个邻域内当 Pamankutty和Vamanamurthy进一步指出，若则或者3. 对于，.反例：4.反例：5.有界区间上一一对应的连续函数，反函数必连续。反例：为一个从区间映到单位圆上一一对应的连续函数，但是则把单位圆映到上，把圆周展开映到这个区间上，把点映到0而把接近的圆周上的点映到接近上，所以明显不连续。注：当定义定义域为紧集时，命题结论正确。二、 连续函数1.反例：2. 反例： 注：若函数在它们共同的定义域上均一致连续，且有界则它们的乘积在上也一致连续。又易知在有界集上一致连续的任何函数在该集上都是有界的，所以只要连续定义域为有界的，该命题就成立。3.在上具有介值性，则在上连续.反例： 在0，1上满足介值性,但是它在0，1上不连续.注：闭区间上连续函数具有介值性，但是介值性不是决定连续函数的特征。对于不连续的函数也可能发生。4. 分别在上一致连续，则在=上一致连续.反例：那么分别在上一致连续，但是在上不一致连续.5.函数一致连续满足李普希茨条件（）反例：6.设在上连续且一致连续，那么上一致连续.反例：7.函数连续，一定有的某个邻域内连续.反例： 它在点处连续，但是对于任意，函数处均不连续。8.设上有定义，在内连续且则一定存在反例：令在上有定义，在内连续且但是不存在9.设上一致连续，且存在，都有成立，则.反例：令内一致连续，且对任意,都有成立，但是内不一致连续.注：加上条件上有界，则结论成立。三、 可导函数1. 设在处可导, ,则反例：令且注：反例不满足条件而在此条件下命题正确.反例： 3.若可导且导函数在上无界，那么在有限开区间内必无界.反例：引申：若在内无界且可导，则导函数在内亦必无界.反例：4. 设在上无限次可导,若存在，则存在,使反例：5.如果在上严格单调减少且可导，则0.反例：6.函数有有限极限，则单侧导数均存在且相等.反例：令当于是=然而=同理有均不存在。7.严格单调连续函数一定处处可导。反例：令 上连续.当所以上均严格单调递增，又因为当上严格单调递增，但是由于=不存在，所以处不可导.注：在上单调函数几乎处处可微。但严格单调函数的不可微的点一定为间断点。四、 中值定理1. 设在上可导,则反例：2.反例：3. 设在上可导,若有使则使在上单调增.反例： 在的任何邻域内有4.反例：反例：反例：五、 定积分1. 若在上存在原函数,则在上可积,且.反例：注：若再加上函数在上有界的条件，能否推出此函数可积呢？答案是否定的。见下例作康托集：首先从闭区间中去掉其中间长度为的开区间，然后从剩下的两个闭区间中各去掉其中间长度为的开区间。依此类推，在第步时，从第步剩下的个闭区间中各去掉其中间长度为的开区间。无限进行下去，从内去掉了一列总长度为的开区间。剩下来的点形成的闭集记为。令表示第步后剩下各个闭区间的长度，.因此时.表明的子区间，不管多么小，都不能完全含于.不是零测度集。定义对，令.若为去掉的开区间之一，则在邻近右边定义同理，在邻近左边定义.直到达到最靠近中间的极大值；在区间内定义为此极大值。其中中间的两个极大值点的取法说明：因为靠近的极大值使得=0.同理靠近的极大值使得=0所以有，由于图像的对称性，因此可以在区间中找到满足条件的两个极大值点.为上的连续函数。在去掉的各个区间内可微。在两点处导数为0.对充分接近的有当时，右边第一项趋于0，而第二项在-1，1之间摆动。对充分接近的有同样有此结论。对于有.可以先设若则.若含在某个已被去掉的区间内，则令当仍然如此.这样，处处存在，但在上不连续.若，则在每个邻域内存在被去掉的区间点，也存在被去掉的区间端点。在这样的端点处，振幅为2.由于不是零测度集，所以不可能可积.2. 设在上可积,则的不连续点集是有限集.反例：反例：4.反例：设是中的Cantor集四分集，将的邻接区间依次按长度大小进行分类：第一类是一个区间，是从闭区间中去掉其中间长度为的开区间。第二类是两个区间，是从剩下的两个闭区间中各去掉其中间长度为的开区间。依次类推，第类中有个长度为的开区间。定义函数如下：首先，定义第一步，将之间的纵轴三等分，令为下分点的纵坐标，为上分点的纵坐标。即：，中间用线性连接。第二步，将及的两节纵轴，各作三等分，且同前选两个下分点纵坐标为，两个上分点纵坐标为即： 两段中间均用线性连接。同理，依次类推。第步的第一个区间上定义最后一个区间上定义其间均用线性连接。因此在纵轴上也形成了一个对应的康托集，我们这里记为，它为康托三分集。这样的在上有定义，它在的每个构成区间上均单调递增，且在整个也为一个严格单调递增函数。现在将扩充定义到整个区间上。令这样整个也为一个严格单调递增函数。下面证明的连续性，在上所取函数值在中稠密。假设在某点处不连续，那么或者中的一切数将不是的函数值与的函数值在中稠密矛盾。综上所述，在上为一个严格单调递增的连续函数。接下来定义其中是上面说明的上的Cantor三分集。对于则，则.由康托集的构造可知，在的闭区间中。我们这里先做开区间，(稍微比大一点并且互不相交的开区间)对进行覆盖，不妨令每个区间长为，这样做个即可完全覆盖康托集.对，找到使得.再将中属于的所有端点并入，就得到了的一个分割：，在此分割下.因此上可积。 其中是上面构造的上的Cantor四分集。对于任意分割，当时，当时，.若某个时，则说明某个.由于的构造方法可知，所以对于的区间长度有：.因此在上有不可积，即： 不可积。注：如果此命题函数复合顺序倒置则结论成立。即：在有界闭区间上连续，上可积。六、 反常积分与积分极限1. 设在上非负连续.若反常积分收敛，则反例：注：如果上一致连续，则结论成立。2.设则反常积分发散.反例：反例：反例：注：若上可积，则上亦可积但是该命题对于反常积分不成立。5.设收敛，函数有界，则积分一定收敛.反例：令则对且当单调趋于0故.在有可去间断点，令此处值为1后， 可视为上的连续函数.所以.令对任意有，因此由狄利克雷判别法可知.注：若积分绝对收敛，函数在上有界，则积分一定绝对收敛.七、数项级数1.若有界，且收敛.反例：2. 若正项级数收敛,则.反例：3.若正项级数收敛,则反例：4. 若交错级数收敛,则交错级数 收敛.反例：5. 若级数收敛,则级数收敛.反例：注：若级数绝对收敛,则级数必收敛.6. 若级数收敛,则级数收敛.反例：7. 若级数收敛,而,则级数收敛.反例：8.若交错级数收敛,则收敛.反例：9.反例：10.反例：八、一致收敛1. 若和在内均一致收敛，则在上一致收敛.反例：注：如果两个函数列在它们共同的定义域上既有界又一致收敛，那么其乘积在上也一致收敛。2.若在上一致收敛于，在上连续,则在上一致收敛于.反例：3.若连续函数列在上内闭一致收敛于,且和可积，则.反例：九、幂级数、三角级数、含参量积分1. 若在上连续，则收敛且连续于.反例：反例：3. 设 是在处阶的泰勒多项式, 则是在处的阶的泰勒多项式.反例：十、多元微积分反例：反例：3.在有界闭域上只有唯一极值点则为最大值或最小值.反例：引申：是否存在二元可微函数，在全平面上有且只有一个极大值点，但是这一点不为它的最大值?见下例在全平面上可微。则=0有当时得极值点.当.因此，在全平面上只有一个极值点. 于是可得为极大值点，为极大值。但是当时，不是最大值.反例：反例：6.二重极限存在则两个累次极限存在且相等.反例：令则但是不存在.同理亦不存在.注：累次极限存在与否和二重极限没有绝对关系，但是若累次极限和二重极限均存在，二者必相等。因此，若两个累次极限存在但不相等，则二重极限一定不存在。7.若函数在通过一点的任一直线上取得极值，则在该点一定取极值.反例：令易知原点稳定点，过原点任作一条直线：那么=当在上与原点处取得极小值0.对于通过原点的另一条直线：在原点取极小值.因此，在一切通过原点的直线上均取得极小值，但是所以在点不取得极小值.参考文献1 王俊青.数学分析中的反例M.成都：电子科技大学出版社，19962 梁宗巨.多元函数的最大值与最小值J， 数学通报，19653 钱吉林.数学分析题解精粹M.武汉：崇文书局，20034 汪林.数学分析中的问题和反例M.昆明：云南科技出版社，1