武汉科技大学线性代数练习册答案.doc

第三章 行列式及其应用3-1 行列式的定义一、填空题。1、行列式=_;=_-24_.2、行列式=_0_.3、已知行列式,则=_4_;=_-4_.4、已知排列为奇排列，则=_8_;=_3_.5、4阶行列式中含且符号为负的项是_.二、选择题。1、方程的实根为_C_.（A）0; （B）1; （C）-1; （D）2.2、若阶行列式中零元素的个数大于，则此行列式的值为_A_.（A）0; （B）1; （C）-1; （D）2.3、排列396721584的逆序数为_C_.（A）18; （B）19; （C）20; （D）214、阶行列式的值为_D_. （A）; （B）; （C）; （D）.5、行列式中的系数为_A_.(A）-1; （B）1; （C）2; （D）3.三、计算下列行列式1、 解：2、解：3、 解：四、设排列的逆序数为，证明排列的逆序数为.证明：设在排列的逆序数为，则，且在排列的逆序数为，则，所以，所以，排列的逆序数为（另解：因为中的任两个不同的元素必在排列或排列中构成逆序且只能在其中一个中构成逆序，所以排列和的逆序数之和等于从n个元素中任取两个不同数的组合数，即的逆序数为.）3-2 行列式的性质与计算一、填空题。1、行列式=_.2、行列式=_0_. 3、若，则行列式=_0_. 4、若行列式,则=_0_.解：=5、若行列式，则=_0_;=_0_;=_0_.二、选择题。1、行列式的值为_C_.（A）; （B）; （C）; （D）.2、行列式的值为_A_.（A）12; （B）11; （C）13; （D）14.3、若行列式，则的值为_D_.（A）-6; （B）6; （C）40; （D）0;4、若行列式，则行列式=_B_.（A）0; （B）; （C）; （D）.5、行列式，则的根的个数为_B_.(A）1; （B）2; （C）3; （D）4.三、解方程解：所以，四、计算下列行列式1、 解：2、解：3、解：而所以，4、 解：5、解： 6、计算行列式解：五、证明：.证明：所以，于是，1）当时， 2）当时，将按r1展开得：， 3-3 行列式的应用一、填空题。1、 矩阵，则=_16_;=_.解：，所以，而 所以，=2、 若矩阵,则=_;=_.3、若阶方阵等价，若,则=_0_.4、为一个5阶行列式，且，则=_-3_;=_96_;=_.5、若向量 线性相关，则=_1_.二、选择题。1、设都为阶方阵，且,则_D_.（A）; （B）且; （C）; （D）或.2、设都为阶方阵,则必有_C_.（A）; （B）; （C）; （D）.3、设为4阶方阵，且，则=_C_.（A）4; （B）; （C）; （D）.4、为3阶方阵，且,则=_A_.（A）27; （B）-27; （C）3; （D）-3.解：5、若阶矩阵的秩为，则_C_.（A）; （B）; （C）; （D）.三、为阶可逆矩阵，若，求的值。解：四、设向量组线性相关，求常数并找到一组最大无关组。解：所以，时线性相关，为极大无关组。五、设同为阶正交阵，且,证明：.证明：又六、若是正交矩阵，证明: 当时,;当时,.证明：若是正交矩阵，则所以，当时,;当时,.七、设阶矩阵的伴随矩阵为,证明:.证明：由，若则；若假设，则可逆，由此得矛盾。所以，。第四章 线性方程组4-1 克拉默法则一、选择题1下列说法正确的是（ C ）A.元齐次线性方程组必有组解；B.元齐次线性方程组必有组解；C.元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.2下列说法错误的是（ B ）A.当时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则；D.若非齐次线性方程组有无解，则.二、填空题1已知齐次线性方程组有非零解，则 1 ， 0 .2由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式,则方程组有唯一解 .三、用克拉默法则求解下列方程组1 解：，所以，2解：，所以， 3解：，所以， 4解：所以， 4-2 齐次线性方程组一、选择题1已知矩阵的秩为，是齐次线性方程组的两个不同的解， 为任意常数，则方程组的通解为（ D ）. A.； B.； C.； D.解：因为矩阵的秩为，所以方程组的基础解系含1个向量。而是齐次线性方程组的两个不同的解，所以为的解，则方程组的通解为。2设线性方程组 有非零解，则正确的是（ C ） A.必定为0； B. 必定为1； C. 为0或1； D.这样的值不存在.3,且，则的基础解系中含有（ A ）个向量.A.； B.； C.； D.不确定.解：因为 所以，所以，。4设为阶方阵， ，且是的三个线性无关的解向量，则的基础解系为（ A ）A； B；C； D二、填空题1元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 .2当 时，齐次线性方程组有非零解. 3写出一个基础解系由，组成的齐次线性方程组_ _ .解：方程组可为即三、求解齐次线性方程组 解：所以，同解方程组为，则为一组基础解系，所以，通解为。四、已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组 的解.求的值；证明. 解：因为3阶非零矩阵的每一列都是方程组的解，所以方程组有非零解。系数行列式。 证明：依题意，。假设，则B可逆，矛盾。所以，。补充：求证：，.证明：依题意，矩阵B的所有列向量都是齐次线性方程组的解，而解空间的维数是，所以，即。4-3 非齐次线性方程组一、选择题1若，则元线性方程组 D .A.有无穷多个解； B.有唯一解； C.无解； D.不一定有解.2线性方程组 （ A）.A. 无解； B. 只有0解； C. 有唯一解； D. 有无穷多解.3方程組 有唯一解，则应满足（ A ）.A.； B.；C.； D.4设A，有解的充分必要条件为（ D ）A.； B.；C.； D. .二、填空题1元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是 .2若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则3 .3设有一个四元非齐次线性方程组，又是它的三个解向量，其中，则非齐次线性方程组的通解为 .解：因为是三个解向量，则是的解，而，所以是的一组基础解系，又是的解，所以，的通解为三、求解非齐次线性方程组 解：同解方程组为令为一组基础解系则通解为四、取何值时，线性方程组 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？说明: 对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解系数行列式, 此种方法简单又不容易出错.解: 方程组有唯一解系数行列式第五章 相似矩阵与二次型5-1 方阵的特征值与特征向量一、填空题1.已知四阶方阵的特征值为0，1，1，2，则 2.设0是矩阵的特征值，则 1 3.已知三阶方阵的特征值为1，-1，2，则的特征值为 1,5,8 ； -2 ；的对角元之和为 2 .4.若0是方阵的特征值，则 不可逆5. 是阶方阵，则的特征值是 （共个） 二、选择题1.设，为n阶矩阵的特征值，分别是的属于特征值，的特征向量，则（ D ）（A）当时，必成比例 （B）当时，必不成比例（C）当时，必成比例 （D）当时，必不成比例2.设a=2是可逆矩阵A的一个特征值，则有一个特征值等于 （ C ）A、2； B、-2; C、; D、-;3.零为方阵A的特征值是A不可逆的（ B ）A、充分条件； B、充要条件; C、必要条件; D、无关条件;三、求下列矩阵的特征值和特征向量1. 解：的特征多项式为故的特征值为.当时，解方程.由得基础解系，故是对应于的全部特征向量.当时，解方程.由得基础解系，故是对应于的全部特征向量.2. 解：的特征多项式为故的特征值为.当时，解方程.由得基础解系，故是对应于的全部特征向量.当时，解方程.由得基础解系，故是对应于的全部特征向量.四、设为维非零列向量，证明：是矩阵的特征向量，并求对应的特征值.证明：因为； 所以，是矩阵的特征向量，对应的特征值为。五、设为阶方阵，1.当时，求的特征值；2.当时，求的特征值，其中为正整数.证明：1. 设的特征值为，则，所以，又因为，所以，即当时，的特征值为1或-1。2. 设的特征值为，则，所以，又因为，所以，即当时，的特征值为0。5-2相似矩阵5-3对称矩阵的相似矩阵一、填空题1.若是矩阵的特征向量，则 是的特征向量.2.若A,B相似，则 0 3.已知与相似，则 0 ， 1 4.若是的重特征根，则必有个相应于的线性无关的特征向量 不对 （对，不对）；如果是实对称矩阵，则结论 对（对，不对）.二、选择题1.阶方阵相似于对角阵的充分必要条件是有个（ C ） （A）互不相同的特征值； （B）互不相同的特征向量； （C）线性无关的特征向量； （D）两两正交的特征向量.2.方阵与相似，则必有（ B D ） （A） （B）与有相同的特征值 （C）与有相同的特征向量 （D）与有相同的秩3. 为阶实对称矩阵，则（ ACD ） （A）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B） （C）必有个两两正交的特征向量； （D）的特征值均为实数.三、设，试求一个可逆矩阵使得为对角阵，并求.解：先求的特征值和特征向量. 故的所有特征值为.当时，解方程.令，则即为对应于的特征向量.当时，解方程.令，则即为对应于的特征向量.显然，线性无关.令，则四、三阶实对称矩阵的特征值为0，2，2，又相应于特征值0的特征向量为，求出相应于2的全部特征向量.解：因为为三阶实对称矩阵，故有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的特征向量两两正交. 已知对应于的特征向量为，设对应于的特征向量为，则.即为齐次线性方程组的两个线性无关的解.由得取，则即为对应于的特征向量.令（不全为零）为对应于的全部特征向量.五、设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量分别为，求矩阵.解：因为，故可对角化，且所对应的特征向量线性无关.显然，令， 故.5-4 二次型及其标准形5-5 用配方法化二次型为标准形5-6 正定二次型一、填空题1.是不是二次型？答： 不是 2.的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数.3.设，为正定矩阵，则k .二、单项选择题1.设则与合同的矩阵是（ B）。（A） （B） （C） （D）2.二次型为正定二次型的充要条件是（D）。（A） （B）负惯性指数为（C）的所有对角元 （D）合同于单位阵3.当满足（ C）时，二次型为正定二次型。（A） （B）（C） （D）三、设 1.求二次型所对应的矩阵. 2.求正交变换，将二次型化为标准形.解：1. 故二次型所对应的矩阵.2. 问题可转化为求