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凹凸函数的性质 1 营山中学 四川营山 637700 2营山骆市中学 四川营山 638150摘要：若函数f(x)为凹函数，则 若函数f(x)为凸函数，则从而使一些重要不等式的证明更简明。中图分类号： 文献标识号： 文章编号：高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图（一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则 若函数f(x)是凸函数，则 证明：若函数f(x)是凹函数，如下图 点P（）在f(x)上设过P点的切线方程为：y=ax+b 则 （1）f(x) 是凹函数，切线在函数图像下方; (2)由（1），（2）得若函数f(x)为凸函数，如下图 点P（）在f(x)上设过P点的切线方程为：y=ax+b 则 （1）f(x) 是凸函数，切线在函数图像上方; (2)由（1），（2）得定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。均值不等式： （）证明： y=lgx 是凸函数 即 （）高斯不等式： （）证明： (x0)是凹函数 即 （）以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC 证明：A、B、C为三角形三内角A+B+C= A0 B0 C0又 y=sinx (0x)是凸函数 即 SinA+sinB+sinC例2 求证 证明： 为凹函数 例3 求证 （k） 证明： （k）为凹函数 通过
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