复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结.doc

第六章 留数理论及其应用1.留数1.（定理6.1 柯西留数定理）：Cfzdz=2ik=1nRes(fz,ak)2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，fz=(z)(z-a)n,其中(z)在点a解析，a0，则Resfz,a=n-1(a)n-1!3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，z=z-afz,则Resfz,a=(a)4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点z=z-a2f(z)则Resfz,a=(a)5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式6.无穷远点的留数：Resfz,=12i-f(z)dz=-c-1即，Resfz,等于f(z)在点的洛朗展式中1z这一项系数的反号7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,an,则f(z)在各点的留数总和为零。注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Resfz,=0，但是，如果点为f(z)的可去奇点（或解析点），则Resfz,可以不为零。8.计算留数的另一公式：Resfz,=-Resf1t1t2,02.用留数定理计算实积分一.02Rcos,sind型积分 引入z=ei注：注意偶函数二.-+P(x)Q(x)dx型积分1.（引理6.1 大弧引理）：SR上limR+zfz=则limR+SRf(z)dz=i(2-1)2.（定理6.7）设fz=PzQz为有理分式，其中Pz=c0zm+c1zm-1+cm(c00)Qz=b0zn+b1zn-1+bn(b00)为互质多项式，且符合条件：（1）n-m2;（2）Q(z)没有实零点于是有-+fxdx=2iImak0Res(fz,ak)注：limRR+-R+Rf(x)dx可记为P.V. -+f(x)dx三. -+P(x)Q(x)eimxdx型积分3.（引理6.2 若尔当引理）：设函数g(z)沿半圆周R:z=Rei(0，R充分大)上连续，且limR+gz=0在R上一致成立。则limR+Rg(z)eimzdz=04.（定理6.8）：设gz=PzQz，其中P(z)及Q(z)为互质多项式，且符合条件：（1）Q的次数比P高；（2）Q无实数解；（3）m0则有-+g(x)eimxdx=2iImak0Res(g(z)eimz,ak)特别的，上式可拆分成：-+PxQxcosmxdx及-+PxQxsinmxdx四.计算积分路径上有奇点的积分5.（引理6.3 小弧引理）：Sr:z-a=reilimr0(z-a)f(z)=于Sr上一致成立，则有limr0Srf(z)dz=i(2-1)五.杂例六.应用多值函数的积分3.辐角原理及其应用即为：求解析函数零点个数1.对数留数：12iCf(z)f(z)dz2.（引理6.4）：（1）设a为f(z)的n阶零点，则a必为函数f(z)f(z)的一阶极点，并且Resfzfz,a=n;（2）设b为f(z)的m阶极点，则b必为函数f(z)f(z)的一阶极点，并且Resfzfz,b=-m3.（定理6.9 对数留数定理）：设C是一条周线，f(z)满足条件：（1）f(z)在C的内部是亚纯的；（2）f(z)在C上解析且不为零。则有12iCf(z)f(z)dz=Nf,C-Pf,C=C内零点个数-极点个数=Cargfz2注1：当条件更改为：（1）f在Int(C)+C上解析；（2）C上有f0，有Pf,C=0，即12iCf(z)f(z)dz=Nf,C=Cargfz2注2：条件可减弱为：f(z)连续到边界C，且沿C有f(z)04.（辅角原理）：Nf,C-Pf,C=Cargfz25.（定理6.10 鲁歇（Rouche）定理）：设C是一条周线，函数f(z)及(z)满足条件：（1）它们在C的内部均解析，且连续到C；（2）在C上，|f(z)| (z)|则函数f(z)与