考研试题分析八（多元函数微分学）.doc

考研试题分析八（多元函数微分学）例1.(1991年数学一、二)由方程所确定的函数在点处的全微分_答案分析本题是隐函数全微分的题. 有两种方法:其一是对方程两边求全微分,解出, 另一种方法是先求出.再利用全微分公式 .解法一 对方程两边求全微分可得将代入上式可得由此得到解法二 设= ; =;=;将代入上式可得例2.(1998年数学一)设,具有二阶连续导数, 则=_.答案分析这是一道基本运算题, 求复合函数的导数. 依题意是一元函数.解答;点评本题中的,其中间变量均是一元, 如果考生误认为中间变量是二元,将出现等记号,从而无法化简导致错误.,.都是用表示,而不能将前一式写成,后一式写成 .对于亦如此, .而2000年数学一第四题设,其中具有二阶连续偏导数,具有二阶连续导数, 求.这个题目从题设条件中就可看出,的不同,前者二个中间变量,后者一个中间变量,要区别开. 例3.（2001年数学一）设函数在点处可微, , 求分析求全导数,应用多元复合函数求全导数的法则求之. 关键是弄清复合函数的复合关系.如果,就少复合了一次.解.取,由于,故=.例4.(2002年数学一)考虑二元函数的下面4条性质:在点处连续,在点处的两个偏导数连续,在点处可微,在点处的两个偏导数存在.若用表示可由性质推出性质,则有( )(A) ; (B) ;(C) ; (D) .答案(A)分析本题考查下面因果关系的认知: 记住上述因果关系,不难看出应选(A).如果误认为偏导数存在必然为连续函数, 就有,就选择了(C).错误在于把一元函数的情形搬到二元函数中来了.例5.(2001年数学二)设函数由方程所确定,则曲线在点处的法线方程为_.答案分析本题考查隐函数求导和曲线的法线方程,本题应注意的是求法线方程而不是切线方程.解法一方程两边对求导,得解得 ,所以 因此法线的斜率为,法线方程为.解法二设, ,则 因此法线的斜率为,法线方程为.例6.(1994年数学二)在椭圆上求一点, 使其到直线的距离最短.分析点到直线的距离,因此问题变成了求函数在限制条件下的极值问题.解问题可以转化成求函数,在限制条件下的极值问题, 构造拉格朗日函数=那么 消去, 解得,于是由问题的实际意义知最短距离是存在的, 因此即为所求的点.例7.(2002年数学一)设有一小山, 取它的底面所在的平面为坐标面, 其底部所占的区域为,小山的高度函数为.(1)设为区域上一点, 问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动, 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点, 也就是说, 要在的边界线上找出使(1)中的达到最大值的点, 试确定攀登起点的位置.分析和解法一(1)高度函数在点处的梯度是由梯度的几何意义知, 沿此梯度方向, 高度函数的方向导数取最大值, 并且这个最大值就是此梯度的模, 于是(2) 令,依题意, 只需求二元函数在约束条件下的最大值点.令, 则 消去, 解得,于是得到4个可能的极值点又.故可以作为攀登起点.分析和解法二把山看作曲面, 山岗某一处坡度的大小就是曲面在该处的切平面与水平面的夹角的大小, 也就是切平面的法线与轴的夹角(锐角的那个)的大小. 山曲面在点处的切平面法向量是, 设它与轴的夹角(锐角的那个)为,那么由此可见, 为了要在的边界线上找出使最大, 只要最小, 也只要二元函数在条件下找最大值.以下同解法一.例8.(1994年数学四)某养殖场饲养两种鱼, 若甲种鱼放养(万尾), 乙种鱼放养 (万尾), 收获时两种鱼的收获量分别为 和,求使产鱼总量最大的放养数.解 设总产量为, 则,由极值的必要条件,得方程组 , 方程组的唯一解.记, 有, 因此在处有极大值. 又由问题的实际意义,知最大值是存在的, 所以即最大值.易验证,且综上所述, 和分别为所求甲和乙两种鱼的放养数.例9.(2005年数学四)设二元函数则答案分析利用二元函数的全微分公式,再在中以代入.解应用二元复合函数求偏导数法则得,所以 +,以代入得 .例10.(2005年数学四) 设具有二阶连续偏导数, 且,求.解利用复合函数偏导数的链锁法则,可得,于是= .例11.(2004年数学三)函数由关系式确定, 其中函数可微, 且, 则=_.答案 分析第一种解法可令解出代入以求出,再计算所求的偏导数.第二种解法是,在题给的等式两边求偏导, 使出现待求的,从而解之.解法一令即 代入原式得 ,两边对求偏导得两边对求偏导得.解法二在等式两边对求偏导2次, 得 但按已知, , 所以.在等式两边对求偏导, 得 以代入, 并解出得 ,其中满足方程组, 从而例12.(2003年数学三)设具有二阶连续偏导数, 且满足 又, 求.分析利用求偏导数的链锁法则求二元复合函数的偏导数.解 . . .例13.(2003年数学一)已知函数在点(0,0)的某个邻域内连续, 且, 则(A)点(0,0)不是的极值点. (B)点(0,0)是的极大值点.(C)点(0,0)是的极小值点. (D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为的极值点.答案(A)解由在点(0,0)的连续性及知.且,其中则令, 得令, 得从而在(0,0)点的邻域内始终可正可负, 又, 由极值定义可知在点(0,0)没有极值,故应选(A).例14.(2004年数学一)设是由方程确定的函数,求的极值点极值.分析是求二元函数的极值问题. 应用隐函数求偏导法则求两个偏导数,并求出函数的驻点.再求二阶偏导数, 判断是否为极值点. 解法一方程两边分别对求偏导得 令, 得故 将上式代入, 可得 或方程两边分别对求偏导得方程两边对求偏导得 所以故又,从而点(9,3)是的极小值点,极小值为类似地, 由可知又,所以点是的极大值点,极大值为解法二令应用隐函数求偏导法则得 由解得,与原式联立解得驻点为 与.再求二阶导数, 于是又,从而点是的极小值点,极小值为对于驻点,类似地可求得于是又,从而是的极大值点,极大值为例15.(2003数学一