自己的点阵中的规律1.doc

点阵中的规律东阳市实验小学 金江美教学内容：北师大版小学数学五年级上册尝试与猜测中的第二课时。（第82、83页。） 教材分析：1、这是一段“探索规律、策略多样”的发现之旅。 教材开头有这样两句话：阿拉伯数字的发明，使我们记录和计算更加方便，然而在表现一些数的特征方面，点阵更加直观；2000多年前，希腊数学家利用图形研究数。短短两句话，数学带着其精练、思辨、冷静的迷人魅力从厚重、光辉的历史中走来，一种研究数学的使命感油然而生，在这浓浓的数学味道里，学生开始了对点阵规律的发现之旅。教材首先给出了最为典型的正方形点阵，通过对其规律的探究，建立起点阵与数、与算式之间的联系。并且从不同角度，不同的划分方法中发现不同的规律，从而让学生体会到点阵研究数的形式是多样的，渗透解决问题的策略多样化。在此基础上再研究长方形、三角形、以及特殊形状的点阵。通过这些数学素材，引导学生探索规律，归纳概括，建立模式。 2、这是一次“尝试猜测，归纳概括”的方法会师。 教材将“点阵中的规律”和“鸡兔同笼”两个内容都划分在尝试和猜测这个章节中，在教学“鸡兔同笼”的问题时，教材运用表格、计算，让学生不断地进行尝试，猜测，验证，不断地调整自己的猜测，直至得到正确的结果，并在经历了曲折的尝试和猜测之路后，学会选择最优的策略。在探索点阵中的规律时，也是一样的，要求学生大胆猜测点阵的变化规律，并加以验证。从一组点阵的变化中，抽象概括出规律的本质，并加以归纳推理。因此“点阵中的规律”这个内容是培养学生抽象概括、归纳推理的能力的最好素材。3、这是一场“数形结合，数形转化”的思想盛宴。 数形结合是数学解题中常用的思想方法。“点阵中的规律”这一课特别适宜于学生充分感受“数形结合”的思想魅力。教材一开始就呈现古代希腊数学家们用图形来研究数的情境。在正方形点阵的研究中，教材从三种不同的角度引导学生观察点阵，列出不同的算式，发现不同的规律，从得出像1、4、9、16这样一组数所具备的三种不同特点。这组数既可以看作为一组连续的完全平方数，也可以看作是几个连续奇数相加，还可以看作是从1连续加到几，再加回到1。这是一个从形到数的过程。教材在学生概括规律，归纳推理出下一个点阵的点数后，又让学生画出这个点阵图，这是一个从数到形的过程。充分体现了“数形结合，数形转化”的思想方法。学生分析：1、学生的知识基础 五年级学生在数的方面，已经认识了自然数和整数，倍数因数，奇数偶数，质数合数，小数、分数等。在形的方面，对长方形、正方形、平行四边形，三角形，梯形的特征也有了深刻的认识。但是学生对利用图形研究数，寻找数和图形之间的联系，还有困难。学生对线围成的基本图形有深刻的认识，但是点阵中的几何图形，只有点，没有线，学生要利用自己的想象加以补充和延伸，这对学生来说会感觉比较陌生。2、学生的能力基础 学生在一年级学过找规律填数，二年级学过按规律接着画，四年级学过探索图形的规律。因此五年级学生具备一定的观察能力、抽象概括能力、逻辑推理能力等。北师大版的数学教材中许多抽象概念的教学都是通过数形结合的思想方法来引导学生学习的，比如通过画线段图、韦恩图、示意图以及表格等将抽象的数量关系转化为形象的数量关系，所以五年级的学生具备用数形结合的方法分析问题的基础的。 但是小学生的思维特点是从具体形象思维逐步向抽象思维过渡，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持。而这节课完全是数学思想、数学方法的教学，极为抽象，因此对部分学生来说还是会感觉有点困难。3、学生的情感态度基础 小学生好奇心强，对新奇的事物感兴趣，点阵对于学生是完全新鲜的，因此学生研究的兴趣比较浓厚，课堂的注意力会比较集中。但这一课的抽象性也会使学生的兴趣停留在短暂的直接兴趣，很难转化为对数学研究的间接兴趣。因此我们在教学中根据小学生的心理年龄特点，将这些单调静止的点阵图加以生活化、童趣化、动态化。教学目标：1、能观察发现点阵中的规律，体会“图形与数”的联系。2、发展归纳和概括的能力。3、感受“数形结合”的神奇之美，并获得“我能发现”之成功体验。 教学重、难点：探究发现点阵中的规律是教学的重点。难点是独立发现同一点阵中不同的规律。教学过程：一激趣导入，引出课题：师：今天的数学课，老师给大家带来了一个非常重要的图形，一定要注意看哦。（课件出示一个圆点）。生：老师，就是一个点啊。师：是啊，点是几何中最基本的图形，可别小看这个点。许多点排列起来就组成一个有趣的点阵，两千多年前，希腊数学家们已经利用图形来研究数，在表现一些数的特征方面，点阵更加直观。 这节课，我们也要来研究点阵的规律（板书课题点阵中的规律）。二.多方观察，探求规律1.一探：横竖看(1)师：（出示点阵），这就是希腊数学家当时研究过的一组点阵，请大家用数学的眼光仔细观察，数数每个点阵中分别有多少个点？（数好坐正）生：第一个点阵有1个点，第二个点阵有4个点，第三个点阵有9个点，第四个点阵有16个点。(2)师：谁来说说你是怎么知道的？生：我是通过数出每个点阵中点的个数得到的。师：谁还有不同的方法？（或指名快的同学：“你怎么数得这样快？有窍门吗？”）生：我是通过计算得到的。师：能具体说一说是怎样通过计算得到的吗？生：第一个点阵有1个点；第二个点阵可以看成边长是2的正方形，共有224个点；第三个点阵可以看成边长是3的正方形，共有339个点；第4个点阵可以看成边长是4的正方形，共有4416个点。(3)教师根据学生的回答，板书第一组算式第1个 11=1第2个 22=4第3个 33=9第4个 44=16（一个“算”字，使学生的思维顺利的实现了由形 数的第一次转换。）（4）师：“刚才你也是这样想的请举手。不错。这种数法真的是又快又方便。不过，老师不明白的是：为什么第4个点阵可以用44？”生：每行有4个，有4行，所以就是44。师：按这位同学的意思，第一个4表示的是（横排数）第二个4表示的是（竖排数）（5）师：现在请你仔细观察黑板上的这些算式，诶，好像很有规律吗？谁来说说你发现了什么？”生1：第二个是22，第三个是33，第四个是44生2：第几个点阵就是几乘几师：那么第五个方阵该怎么画？（这个画点阵的过程虽然简单，但体现了由数形的转换。培养了学生主动进行数形转换的意识。）第六个呢？算式？第10个？第100个呢？讲得完吗？谁能用一句话来概括？（第几个点阵就是几乘几）那么第n个点阵呢？也就是说：用“横排数竖排数”（6）师：刚才我们通过横竖看发现了第几个方阵就是几乘几。按这个规律如果第一个点阵也用算式表示，该怎么列式？在数学上11=1也就是1的平方等于1，22=4所以1、4、9、16这些数又叫作平方数。那么nn=n的平方。（7）师：那么第15个点阵怎么列式？请你估计得数大约是几？A 256 B225 C175师：第（ ）个点阵共有361个点。（有了前面的铺垫，学生很容易就总结出“第几个点阵就用几乘几”，也有的学生会说，“第几个点阵就是几的平方。”）2、二探：斜着看（1）师：“刚才我们通过横竖看找到了规律，那么换个角度观察斜着看，又可以得到什么新的算式呢？”（电脑演示）请同学们独立思考，写出算式，然后汇报。”（教师板书：第1个： 1=1第2个： 1+2+1=4第3个： 1+2+3+2+1=9第4个： 1+2+3+4+3+2+1=16（2）师：“谁发现什么规律呢？”生：“如第2个点阵就从1加到2再加回来，第3个点阵就从1加到3再加回来，第4个点阵就从1加到4再加回来”。 “第几个点阵就从1连续加到几，再反过来加回到1”这个规律。（3）师：1+2+3+4+3+2+1等于几呢？为什么可以是4乘4？（4）师：照此规律，那么1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1是第（ ）个点阵的算式，乘法算式（ ）。你是怎么看出来的？（5）师：如果是第10个点阵呢，第100个点阵呢？谁能用一句话概括？第n个呢？3、三探：拐弯看（1）师：刚才我们通过横竖看、斜着看发现了点阵中的两个规律，如果拐弯看，又会有什么规律呢？我把第五个点阵中的点按下面的方法进行了划分,我们一起来看一看。从左上角开始，第1条折线包围了1个点；第2条折线包围着1+3=4个点；第3条折线呢？（2）按这样的方法类推，你们发现了什么？（课件演示）学生思考后，小组内交流。生1：我发现都是奇数在相加生2：我发现结果是1、4、9和我们刚才做的题目一样。教师问：“从奇数几加起？加几个？是随意的几个奇数相加吗？”通过这样的提问，引导学生说出“从1开始，第几个点阵就是几个连续奇数相加”。（3）师： 同学们发现的都很有价值，那1+3+5+7=？你怎么计算？为什么也是4乘4？生1：按顺序推：就是前一个1+3+5的和加上7，也就是16生2“按照前一题的方法，第4个就是44=16，所以1+3+5+7=16（4）师：那再接下去应该是什么算式？生1：1+3+5+7+9=25 生2：1+3+5+7+9=55=25（5）那如果遇到很长的算式，比如1+3+5+39，怎么算？生1：要一个一个加起来生2：如果知道第几个就好算了师：大家请看，第1个是1，第2个是1+3=22,第3个是1+3+5=33，第4个是1+3+5+7=44，你们现在有没有发现第几个点阵的几与算式中的哪一个数字有关系？生：第几个就有几个数字相加。 生：我发现了第几个是最后一个数字加1除以2，例如第3个就是（5+1）2所以1+3+5+392020=400（6）师：1+3+5+593030=9004、四回味（1）师：同学们，黑板上的三组算式的得数分别相等。我们可以用等于号将它们连接起来。这样，一个平方数可以写出三种不同的算式。（在这里，教师不是让学生发现规律就结束了，而是让学生活学活用这些规律。让学生体会到我们刚才发现的正方形点阵中的规律，其实就是一个完全平方数的规律，它可以应用到所有的完全平方数。）（2）请大家回忆一下，今天我们主要用哪些方法探索点阵中的规律呢？老师用16个字来总结一下探索点阵中的规律的方法。 善于观察，勤于思考，数形结合，发现规律（在刚才的新课教学的环节中，学生经历了观察、思考、合作、交流、表达等过程，培养了观察能力、想象能力、概括能力。并深刻体验到数与形，数与式，式与式之间的联系，培养学生利用数形结合的思想来解决问题的意识和能力。） 三、融练于趣，陶情审美接下来我们就用这些方法来研究其它形式的点阵。1.观察下列点阵，你能在括号中填上合适的算式吗？（试一试1）生做展示：说明为什么这样填？2、你能根据规律画出下一个图形吗？（试一试2）（1）请看屏幕，这是一组什么形状的点阵？仔细观察这一组点阵，你能根据规律画出下一个图形吗？生画展示：说明为什么这样画？（有不同的想法吗）（2）仔细观察，说说你有什么发现？3.下面的点阵分别代表了哪个数?（练一练第2题）出示螺旋形点阵：除了正方形、三角形和长方形点阵之外，还有这样的点阵(出示幻灯片7)，这是一组什么形状的点阵？下面的点阵分别代表了哪个数？下一图代表数字几，请你画出来。你能用一组有规律的算式表示这几个数吗？生做展示算式拓展下一个四、回顾整理，反思提升。1同学们, 你还见过哪些点阵?（指生说）在这些点阵中也隐藏着有趣的规律。只是上课的这40分钟太有限了,有兴趣的同