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第四章 留数定理1. 函数在的奇点类型为 本性奇点 ,其留数为 1/2 。2. 设为整数,则 0 。3.函数有_1_个极点,为_1_阶极点,在极点处的留数为_2_。4. 为 的单极点,则 为_。5.函数在的奇点类型为 可去奇点 ,其留为 0 6.函数有_个极点,为_阶极点;在极点处的留数 为_。7.为 的 。A) 单极点B) 二阶极点C) 三阶极点D) 四阶极点8.已知函数,试判断是 的几阶极点,然后计算、和在的留数,再利用所得结果给出在的邻域上洛朗展开级数的前三项。(注意:此题亦可用的泰勒展开直接求出的洛朗展开的前几项,然后利用所得结果求出留数。)9.求函数的奇点所在的位置,然后计算积分。10.用留数定理计算复积分。解: 回路内有两个一阶极点 (2分)其留数为 (2分)。11.用留数定理计算实积分 解: 设则 (2分) 于是, (2分)的零点 其中只有为单位圆内一阶极点(2分), 其留数为 (2分) 由留数定理得 (2分12.用留数定理计算复积分。解:被积函数有两个极点对积分有贡献:单极点,两阶极点。 留数分别为 -(6分)根据留数定理得 13.用留数定理计算实积分。解:根据留数定理有:在上半平面所有奇点留数之和-(2分)所以 14.用留数定理计算复积分解:由题意 被积函数,有一个二阶极点和一个单极点。(3分) 又因为二阶极点不在积分回路之内,所以现在只考虑单极点,即 (5分) 所以复积分 (2分)15. 用留数定理计算实积分。解:由题意 而 (1) (2) (2分)对于(1)式中,积分函数有两个单极点,在上半平面,而在的留数为 (3分)对于(2)积分中的函数有两个单极点,函数在的留数为 (3分)所以 (2分)16.用留数定理计算复积分。解: 回路内有一个二阶极点 和一个单极点(2分)其留数为 和 (6分) (2分)。17. 用留数定理计算实积分。解:根据留数定理有:在上半平面所有奇点留数之和(2分)所以 (3分)(3分) (2分)18.用留数定理计算复积分 。19. 用留数定理计算实积分。20.用留数定理计算积分。解:被积函数在积分围线内有两个极点:单极点,两阶极点。 -(2分)留数分别为 -(3分)和 -(3分)根据留数定理得 -(
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