优化设计练习题 (1).doc

要求根据目标函数和约束函数采用适合的MATLAB优化函数求解优化问题，即线性规划问题、无约束非线性规划、约束非线性规划问题、二次规划问题。121、2、答案：3、答案：4、答案：5、求函数的极小点。答案：6、求表面积为的体积最大的长方体体积。7、某车间生产甲（如轴）、乙（如齿轮）两种产品。生产甲种产品每件需要用材料9，3个工时、4kw电，可获利60元；生产乙种产品每件需要用材料4、10个工时， 5kw电,可获利120元。若每天能供应材料360，有300个工时，能供电200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。min F()=-60x1-120x2S.T g1()=-360+9x1+4x20 g2()=-300+3x1+10x20 g3()=-200+4x1+5x20 g4()=-x10 g5()=-x20答案：8、已知：轴一端作用载荷 p=1000N/ cm，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许用扭剪应力 = 80MPa，许用挠度 f = 0.01cm；密度 = 7.8t /m，弹性模量E=2105MPa。要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。设计限制条件有5个： 弯曲强度：max w 扭转强度： 刚度： f f 结构尺寸：l 8 d 0设计参数中的未定变量：d、l具体化：目标函数 Q = 1 /4 d2 l min. 约束函数 max = Pl / ( 0.1d3 )w = M / ( 0.2d3 ) f =Pl3 / ( 3EJ ) f l 8 d 0代入数据整理得数学模型：设：X =x1,x2 T = d ,l T min. f(x)= x12x2 XR2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 0根据数学模型： 设： X =x1,x2 T = d ,l T min. f(x)= x12x2 XR23-41、答案：2、答案：3、答案：4、计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。 答案：5、某厂生产甲、乙两种产品，已知制成一吨产品甲需用A资源3吨，B资源4m3；制成一吨产品乙需用A资源2吨，B资源6m3，C资源7个单位。若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210个单位。试应生产这两种产品各多少吨才能使创造的总经济价值最高？解：这是个最优化问题，其目标为经济价值最高，约束条件为三种资源的数量有限，决策为生产甲、乙产品的数量。令生产产品甲的数量为x1，生产产品乙的数量为x2。由题意可以建立如下的线性规划模型。 目标函数为： 约束条件为：答案：6、已知：制造一体积为100m3，长度不小于5m，不带上盖的箱盒，试确定箱盒的长x1，宽x2，高x3，使箱盒用料最省。答案：7、机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。在设计时有两个重要因素需要考虑，即主轴的自重和伸出端C点的挠度。图1所示的为一根简化的机床主轴。要求以主轴的自重为目标，对该主轴进行优化设计。已知条件：主轴材料为45#，内径d=30mm，外力F=15000N，许用挠度y0=0.05mm，材料的弹性模量E=210GPa，许用应力=180MPa，材料的密度为。 300 650， 60 110， 90 150。、的量纲均为毫米。试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学模型。其中，C点的挠度：；。解：分析题意，选取设计变量一、优化目标函数二、约束条件：1)挠度要求2)强度要求3)变量取值范围300 x1650， 60 x2110， 90x3150三、将物理模型转化为数学模型答案：5-61、答案：2、 答案：3、答案：4、求函数的极小值。答案：5、答案：6、有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（x取何值）才能获得最大容器的箱子。7、任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？答案：1、问题分析车床类 型单位工件所需加工台时数单位工件的加工费用可用台时数工件1工件2工件3工件1工件2工件3甲0.41.11.013910800乙0.51.21.3111289002、设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型： 编写M文件如下:f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;beq=400 600 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 结果: x =0.0, 600.0 ,0.0, 400.0, 0.0,500.0fval =1.3800e+004 即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800。8、已知：轴的一端作用载荷 P=1000N，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许用扭剪应力 = 80MPa，许用挠度 f = 0.01cm；密度 = 7.8t /m，弹性模量E=2105MPa。 要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。分析：设计目标是轴的质量最轻 Q =1 /4 d2 l min. ； 设计限制条件有5个： 弯曲强度：max w 扭转强度： 刚度： f f 结构尺寸：l 8 d 0设计参数中的未定变量：d、l具体化：目标函数 Q = 1 /4 d2 l min. 约束函数 max = Pl / ( 0.1d3 )w = M / ( 0.2d3 ) f = Pl3 / ( 3EJ ) f l 8 d 0 代入数据整理得数学模型：设：X =x1,x2 T = d ,l T min. f(x)= x12x2 XR2 s.t. g1(x)= 8.33 x2 - x13 0 g2(x)= 6.25 - x13 0 g3(x)= 0.34 x23 - x14 0 g4(x)= 8 - x2 0 g5(x)= - x1 0 7-81、答案：2、 答案：3、答案：4、答案：5、求函数的极小点。答案：6、某工厂有一张边长为的正方形的铁板，欲制成一个方形无盖水槽，问在该铁板的4个角处剪去多大的相等的正方形才能使水槽的容积最大？答案： 7、某车间生产甲（如轴）、乙（如齿轮）两种产品。生产甲种产品每件需要用材料9，3个工时、4kw电，可获利60元；生产乙种产品每件需要用材料4、10个工时， 5kw电,可获利120元。若每天能供应材料360，有300个工时，能供电200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能够获得最大的利润。min f=-60x1-120x2S.T -360+9x1+4x20 -300+3x1+10x20 -200+4x1+5x20 -x10 -x20 8、已知：轴上作用均布载荷 q=100N/ cm，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许用扭剪应力 = 80MPa，许用挠度 f = 0.01cm；密度 = 7.8t /m，弹性模量E=2105MPa。要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。设计限制条件有5个： 弯曲强度：max w 扭转强度： 刚度： f f 结构尺寸：l 8 d 0设计参数中的未定变量：d、l具体化：目标函数 Q = 1 /4 d2 l min. 约束函数 max = Pl / ( 0.1d3 )w = M / ( 0.2d3 ) f =ql4 / ( 8EJ ) f 注： l 8 d 0 9-101、答案：2、答案：3、 答案：4、求函数的极小点。答案：5、已知某汽车行驶速度x与每公里耗油量的函数关系为f(x)=x + 20/x，试用0.618法确定速度x在每分钟0.21公里时的经济速度x*。答案：6、确定具有最小表面面积圆柱体的尺寸，此圆柱体的金属可以浇铸半径为的金属球体。 答案：7、喜糖问题：需要购买甲乙两种喜糖，喜糖甲20元/斤，喜糖乙10元/斤。要求花钱不超过200元，总斤数不少于10斤，甲糖不少于5斤。问：(1) 购买甲糖、乙糖分别多少斤，才能在满足要求的条件下花钱最少？(2) 购买甲糖、乙糖分别多少斤，才能在满足要求的条件下所买的糖最多？设购买甲糖斤，乙糖斤。 可以列出如下数学模型： ， ，(1)最优解为：=5 5, 元。(2)最优解为：=5 10, 斤。8、由两根实心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载2p=500000N，两支座之间的水平距离2L=160cm，杆的密度=7800kg/m3，弹性模量为E=2.1105MPa，许用压应力y=420MPa。求在桁架压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下，使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆直径d。答案：解：桁杆的截面积为 ：桁杆的总重量为：负载2p在每个杆上的分力为：于是杆截面的应力为：此应力要求小于材料的屈服极限，即：圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知：压杆稳定的临界力为 ,则临界应力为由此得稳定约束：另外还要考虑到设计变量d和h有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型： 11-121、答案：2、答案：3、 答案： 4、答案：5、 答案：5、 答案：6、喜糖问题：需要购买甲乙两种喜糖，喜糖甲10元/斤，喜糖乙20元/斤。要求花钱不超过300元，总斤数不少于15斤，乙糖不少于10斤。问：(1) 购买甲糖、乙糖分别多少斤，才能在满足要求的条件下花钱最少？(2) 购买甲糖、乙糖分别多少斤，才能在满足要求的条件下所买的糖最多？设购买甲糖斤，乙糖斤。 可以列出如下数学模型： ， ，(1)最优解为：=5 5, 元。(2)最优解为：=5 10, 斤。7、一根长的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大？答案：8、由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载2p=300000N，两支座之间的水平距离2L=152cm，圆杆的壁厚B=0.25cm，杆的密度=7800kg/m3，弹性模量为E=2.1105MPa，许用压应力y=420MPa。求在桁架压应力不超过许用压应力和失稳临界应力的条件下，使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。解：答案：13-141、求函数的极小值答案：2、 答案：3、 答案：4、 答案：5、确定具有最小表面面积圆柱体的尺寸，此圆柱体的金属可以浇铸半径为的金属球体。 答案：6、某工厂要生产两种规格的电冰箱，分别用和表示。生产电冰箱需要两种原材料A和B，另外需设备C。生产两种电冰箱所需原材料、设备台时、资源供给量及两种产品可获得的利润如表1-1所示。问工厂应分别生产、型电冰箱多台，才能使工厂获利最多？表1.1 资源需求与限制资源资源限制设备111200台时原料A211800千克原料B011000千克单位产品获利220元250元求最大收益产品用原料限制800千克解：设生产、两种产品的数量分别为。则可获得的最大收益为Matlab求解程序如下：%li_1_2clc;close all;f=-220 250;A=1 1;2 1;1 0;0 1;b=1200;1800;800;1000;xl=0 0;x,fval=linprog(f,A,b, , ,xl)x1=0:1800;x2=0:2000;7、已知：轴一端作用载荷 p=1000N/ cm，扭矩 M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力 w=120MPa，许用扭剪应力 = 80MPa，许用挠度 f = 0.01cm；密度 = 7.8t /m，弹性模量E=2105MPa。要求：设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。设计限制条件有5个： 弯曲强度：max w 扭转强度： 刚度： f f 结构尺寸：l 8 d 0设计参数中的未定变量：d、l具体化：目标函数 Q = 1 /4 d2 l min. 约束函数 max = Pl / ( 0.1d3 )w = M / ( 0.2d3 ) f =Pl3 / ( 3EJ ) f l 8 d 0代入数据整理得数学模型：设：X =x1,x2 T