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高等教育自学考试辅导概率论与数理统计（经管类）第一部分概率论部分学员朋友们，你们好！应学员朋友们的要求，结合近几年考试的知识点再一次对本课程比较有针对性的串讲。本次串讲没有完全按照课本的章节顺序进行，整个串讲分为两大部分：概率论部分和数理统计部分，每一部分分若干专题。希望学员朋友们结合课本的章节内容收看本次串讲。 第一部分概率论部分专题一事件与概率I. 考点分析近几年试题的考点及分数分布最多分数分布最少分数分布平均分数分布事件，211.5古典概型2，223加法公式222条件概率，23全概公式21乘法公式814.5独立重复试验222合计22/10010/10017/100注：表示选择题及其分数，下同。II. 内容总结一、概念1.随机现象：不确定现象中的一种。2.随机试验：i） 可以在相同的条件下重复进行；ii） 每次试验的结果不止一个，并事先知道试验的所有可能结果；iii） 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。3.随机事件：随机试验的结果。4.基本事件或样本点：随机试验的一个不可分的结果，叫做一个基本事件或一个样本点；5.样本空间：所有基本事件的全体称为样本空间；6.必然事件、不可能事件：在每次试验中一定发生的事件称为必然事件，记做；每次试验都不可能发生的事件称为不可能事件，记做。二、事件的关系与运算1.事件的关系（1）包含关系：如果事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记做；对任何事件C，都有。（2）相等关系：若且，则事件A与B相等，记做。（3）互不相容关系：若事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容或互斥，可表示为。（4）对立事件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件，记做；满足且。 显然：；，。（5）二事件的相互独立性：若 , 则称事件A, B相互独立；性质1：四对事件其一相互独立，则其余三对也相互独立；性质2：若A, B相互独立，且。2.事件的运算（1）事件的和：称事件“A，B至少有一个发生”为事件A与B的和事件，也称为A与B的并。 性质：。（2）事件的积：称事件“A，B同时发生”为事件A与 B的积事件，也称为A与B的交，记做。 性质：。（3）事件的差：称事件“A发生而事件B不发生”为事件A与B的差事件，记做A-B. 性质：。（4）事件运算的性质（i）交换律：；（ii）结合律：；（iii）分配律： （iv）摩根律（对偶律）三、事件的概率1.事件的频率: 相同条件下进行n次试验，事件A出现次，事件A的频率为；2.事件的概率（描述性）：当n很大时，事件A频率的稳定值p，事件A的概率；概率的性质： 对任意事件A，； ； ； 。注：事件的概率的精确定义见课本p11，定义11.3.古典概型：（1） 特点： 样本空间是有限的； 基本事件发生是等可能的；（2）计算公式；4.条件概率：事件 发生的条件下事件A发生的概率；5.全概公式和贝叶斯公式（1）全概公式：如果事件 满足 互不相容且 则对于内的任意事件B，都有；（2）贝叶斯公式：条件同A，则，。6.n重贝努利试验:（1）特点： 每次试验可在相同条件下重复进行； 各次试验相互独立 每次试验只有两个结果，；（2）计算公式： n重贝努利试验中事件A发生k次的概率为。7.加法公式、乘法公式（1）加法公式： 公式: 推论1：若事件A,B互不相容，则 ；推论2：若 ；推论3：若A,B为对立事件，则；推论4：若 , 两两互不相容，则；（2）乘法公式：。III.典型例题例1.设A、B为任意两个事件，则有（）A.（AB）-B=A B.（A-B）B=AC.（AB）-BAD.（A-B）BA答疑编号918010101答案：C解析：利用文氏图可得答案。故选择C。例2.设A与B互为对立事件，且，则下列各式中错误的是（）A.B.C. D.答疑编号918010102答案：B解析：本题考察对立事件、相互独立事件、互不相容事件概念。A：对立事件，B：相互独立事件，C：互不相容事件。例3. 设A，B为两个随机事件，且 ，则（）A.B.C. D. 1答疑编号918010103答案：D解析：本题考察和事件、条件事件的概念及其概率。例4.设事件A, B满足P（）0.2，P（A）0.6, 则P（AB）（） A.0.12B.0.4C.0.6D.0.8答疑编号918010104答案：B解析：本题考察差事件的性质。，所以。例5.设每次试验成功的概率为p（），则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（）答疑编号918010105A.1（1p）3B.p（1p）2C.D.pp2p3答案：A解析：本题考察求“至多”、“至少”类概率的方法，即选择用正面事件还是对立事件能够简单地计算概率。本题选择用对立事件计算。例6.20件产品中，有2件次品，不放回地从中连续取两次，每次取一件产品，则第二次到正品的概率为_.答疑编号918010106答案：解析：“第二次取正品”“一次二正”“一正二正”，由加法原理得P（第二次取正品）P（一次二正） （一正二正） ，故填写。例7.一批产品，由甲厂生产的占，其次品率为5%，由乙厂生产的占，其次品率为10%，从这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为_.答疑编号918010107答案：解析：本题考察“全概率公式”。设产品由甲、乙厂生产分别为事件，产品为次品为事件B，则由“全概率公式”有。例8.设P（A）0.4, P（B）0.5, 且P（）0.3, 求P（AB）. 答疑编号918010108答案：0.05解析：本题主要考察事件及其概率的运算，综合了专题一的内容。方法：列方程求概率。解：由条件概率，对立事件的概率，事件运算的对偶律及和事件的概率的公式，有,所以，专题二一维随机变量I.考点分析 近几年试题的考点分布和分数分布最低分数分布最高分数分布平均分数分布 分布律 22分布函数243概率密度 301分布 2 二项分布22，6 泊松分布 1均匀分布 1指数分布 61正态分布 22期望3，2，3方差22，2，3随机变量函数，82，42,2合计18/10042/10024/100注：各种分布的数字特征包含在该种分布中。II.内容总结一、随机变量的概念A.定义：设E是随机试验，样本空间为，如果对于每一个结果（样本点）都有一个实数与之对应，定义在上的实数值函数 称为随机变量。B.特点：（1）取值的随机性，即一次取何值事先未知；（2）取值有统计规律，即取何值或某范围内的值的概率是完全确定的；（3）随机变量的作用，从研究事件到研究随机变量，从研究常量到研究研究变量，从而过渡到研究函数。二、一维随机变量1.分布函数（1）定义：设X是一个随机变量， x为任意实数，称函数为随机变量X的分布函数。（2）性质： ； 对任意 都有； 是单调非减函数； ； 右连续。2.一维离散型随机变量：（1）定义：随机变量的可能取值是有限个或至多无限可列多个；（2）概率分布： 分布律X概率 分布列的性质：i）；ii）（3）分布函数：。（4）离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望设离散型随机变量X的分布列为X概率如果级数 绝对收敛，则称其为X的数学期望，记为 。 离散型随机变量的方差：定义式: ；计算式：离散型随机变量的标准差：（5）常用离散型随机变量的分布：A. 两点分布 分布列X01概率1-pp 数学期望： 方差：。B. 二项分布： 分布列： ； 数学期望： 方差：C. 泊松分布： 分布列： 数学期望： 方差：3.连续型随机变量（1）定义：随机变量X的分布函数为, 存在非负可积函数，使对任意实数x有，则称X为连续性随机变量，为概率密度函数（密度函数）。（2）密度函数性质 ； ； ； ； 设的连续点，则存在，且。（3）连续型随机变量的数字特征 设连续型随机变量X的密度函数为，如果广义积分绝对收敛，则随机变量X的数学期望为。 连续型随机变量的方差：定义式：；计算式： 连续型随机变量的标准差：。（4） 常用连续型随机变量的分布A.均匀分布： 密度函数： , 分布函数： ， 数学期望：, 方差： 。B.指数分布： 密度函数： 分布函数： 数学期望： 方差： 。C.正态分布（A）正态分布： 密度函数： 分布函数： 数学期望：, 方差： ， 标准化代换： 若。（B）标准正态分布： 密度函数： 分布函数： 数学期望： 方差： 标准正态分布的上a分位数： ，若满足，则为标准正态分布的上a分位数。4.数学期望及方差的性质（1）数学期望的性质 为常数； 为常数； 为常数； 为常数。（2）方差的性质 为常数； 为常数； 为常数； 为常数。（3）方差的计算公式：5.随机变量函数的概率分布（1）随机变量的函数：设X为随机变量，为连续函数，则为随机变量X的函数。显然，Y也是随机变量。（2）离散型随机变量函数的分布设X为离散型随机变量，其分布律为X概率则的分布律为Y概率注：对相同者，须合并并把概率相加。（3）连续型随机变量函数的概率分布A.定理：设X为连续型随机变量，其概率密度为 。设是严格单调的可导函数，其值域为 ，则的概率密度为。B.直接变换法：设随机变量X的概率密度为，求随机变量函数的概率密度。解法：设Y的分布函数为的反函数为，则III.典型例题例1.设随机变量X的概率分布为为其分布函数，则= _.答疑编号918010201答案：解析：本题考核概率分布的性质及分布函数的概念。根据分布函数的定义，所以解法一：。解法二：例2.已知随机变量X的概率密度为，则c=_。答疑编号918010202答案：解析：本题考察一维随机变量概率密度的性质： 。本题，故填。例3. 设函数在上等于sinx，在此区间外等于零，若可以作为某连续型随机变量的概率密度，则区间应为（）答疑编号918010203A.B.C. D.答案：B解析：本题考核连续型随机变量的概率密度 的性质：及。根据已知条件函数在上等于sinx及sinx在四个象限的正、负取值，淘汰A, D选项；再根据，验算选项C，淘汰C；或根据此性质验算选项B，直接得到答案。例4.设随机变量X在区间2，4上服从均匀分布，则（）.A. B.C. D.答疑编号918010204答案：C例5.设随机变量 ，已知标准正态分布数值，为使，则常数a0. 试求U，V的相关系数。答疑编号918010312解析：本题考察协方差及相关系数的概念及性质。解：根据相关系数的定义有，又由方差的性质有再由协方差的性质有由已知，b，c，d为常数，Y为随机变量，则应用协方差的计算公式有所以，其中，计算同上。因此， ，因为，所以 。拓展：本题U与X，V与Y均为正线性相关或负线性相关（即表示为斜率同为正或同为负的一次函数），得到 ，即两对随机变量之间的相互关系程度是相同的。例8.设二维随机变量，且X与Y相互独立，则_。答疑编号918010313答案：0专题四大数定律及中心极限定理I.考点分析 近几年试题的考点分布和分数分布最低分数分布最高分数分布平均分数分布 切比雪夫不等式 20.5大数定律 中心极限定理 20.5合计0/1004/1001/100II.内容总结一、切比雪夫不等式：随机变量，则对任意给定的，总有 。二、大数定律（1）贝努利大数定律：设m是n独立重复试验中事件A发生的次数，则对任意给定的，总有（2）切比雪夫大数定律：随机变量序列 相互独立且具有有限的期望和方差，则对任意给定的，总有三、中心极限定理（1）独立同分布序列中心极限定理：随机变量,相互独立，服从相同的分布且具有期望和方差，则对随机变量的分布函数及任意x，总有（2）两个结论 定理说明，当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其和近似服从正态分布； 定理说明：当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其平均值 。（3）棣莫佛拉普拉斯中心极限定理设随机变量是n次独立重复试验中事件A发生的次数， P是事件A发生的A发生的的概率，则对任意实数xIII. 典型例题例1 设随机变量X的方差DX存在，且 A.B.C.D.答疑编号918010401答案：C例2.设随机变量序列 ，独立同分布，且 ，i1，2，则对任意实数x, 。答疑编号918010402答案：例3. 设是n次独立重复试验中事件A出现的次数，P是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的，均有（）A.=0B.=1C.0D.不存在答疑编号918010403答案：A解析：本题考核贝努利大数定律。本题考核课本第五章大数定律及中心极限定理的内容，理论性比较强，学习起来比较困难。简单总结如下：内容：一个不等式，两个大数定律，两个中心极限定理，其中，贝努利大数定律从理论上解决大量重复随机试验中频率稳定于概率的问题，独立同分布的切比雪夫大数定律从理论上解决了平均结果稳定于均值的问题；而两个中心极限定理从理论上解决了大量重复随机试验近似服从正态分布的统计规律。根据贝努利大数定律（课本P118）的结论，。第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布 I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布 最高分数分布最低分数分布平均分数分布样本的分布21样本矩21合计4/1000/1002/100II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2,xn称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2,xn满足：（1）x1与X有相同分布，i1，2，n；（2）x1,x2,xn相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2,xn为该总体的一个样本，则联合分布函数为 二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2,xn为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2,xn）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。2.样本的数字特征及其抽样分布： 设x1,x2,xn为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即 偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩 （7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布 的为自由度为n的X2分布的分位点.求法：反查X 2分布表. III.典型例题答疑编号918020101答案：D 答疑编号918020102答案： 答疑编号918020103 答案：B答疑编号918020104 答案：1 答疑编号918020105 答案：B 答疑编号918020106 解析： 故填20. 答疑编号918020107 答案：n解析： 答疑编号918020108 答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2分布的概念。根据课本P82，例题328的结果，若XN（0，1），YN（0,1）,且X与Y相互独立，则XYN（00，11）N（0，2）。本题，已知X1、X2、X3、X4为来自总体XN（0，1）的样本，所以X1、X2、X3、X4相互独立且服从同分布N（0，1），则X1+X2N（0，2），X3+X4N（0，2）；从而， ,则下列选项中正确的是（） 答疑编号918020109答案：A解析：本题考察课本p140，4.一些重要结论。记忆内容。专题二 参数估计 I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布 最高分数分布最低分数分布平均分数分布点估价2, 262评价标准2区间估计106合计14/1006/10010/100II.内容总结一、参数的点估计1.概念：（1）参数：分布中所含有未知参数（可以是向量）；分布中所含有未知参数的函数；其他数字特征的未知值。2.点估计的常用方法（1）矩法（数字特征法）：A.基本思想：用样本矩作为总体矩的估计值；用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。B.估计方法：同A。（2）极大似然估计法A.基本思想：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计值。 3.点估计的评价标准二、参数的区间估计1.置信区间的概念 设为总体的一个未知参数，由样本 确定的两个统计量，若对于给定的概率有则称随机区间为参数的置信度为置信区间，并称为置信度（置信水平），2.置信区间的意义：的置信度为的置信区间指的是包含在区间的概率为100（1-）.3.置信区间的长度的规律（1）样本容量n固定，置信度1-增大，置信区间长度增大，区间估计精度降低；1-减小，区间长度减小，区间估计精度提高；（2）置信度1-固定，样本容量n 增大，区间长度减小，估计精度提高。 4.正态总体参数的区间估计表（p162，表71）略。III.典型例题例1.设总体答疑编号918020110 答案：1例2.设总体X为指数分布，其密度函数为 是样本，故答疑编号918020111答案： 解析：本题主要考核指数分布的数字特征及矩法估计。若指数分布的概率密度为 本题总体X密度函数为是样本，由矩法估计有 例3.设总体 为来自总体 的样本，无偏估计是（） 答疑编号918020112答案：A解析：本题考察的是课本p153例714的一个说明，即是总体方差的无偏估计。本人在面授讲课中曾经证明过。例4.设总体X服从参数为的指数分布，其概率密度为 由来自总体X的一个样本答疑编号918020113答案： 解析：本题考察指数分布的概念：设总体X服从参数为 的指数分布，则其数学期望 例5.设总体为来自总体X 的样本，则当_时， 答疑编号918020114答案：1/4例6.由来自正态总体容量为100的简单随机样本，得样本均值为10，则未知参数的置信度为0.95的置信区间是_. 答疑编号918020115答案：9.804，10.196解析：本题考核区间估计内容。本题属于“单正态总体、方差已知，均值的区间估计”问题，置信度为1的置信区间为 由已知， 所以，所求区间为100.196，100.196。例7.用传统工艺加工某种水果罐头，每瓶维生素C的含量为随机变量X（单位：mg），设XN（,2），其中,2均未知。现抽查16瓶罐头进行测试，测得维生素C的平均含量为20.80mg，样本标准差为1.60mg，试求的置信度95的置信区间.答疑编号918020116解析：本题为区间估计的应用题。解：由条件知，本题为单正态总体XN（,2）方差2未知，求均值置信度为95的置信区间。为此选择统计量 通过推导可得，置信度为1均值的置信区间为 由已知带入上式得计算得所求置信区间为19.948, 21.652.例8.一台自动车床加工的零件长度X（单位：cm）服从正态分布N（,2），从该车床加工的零件中随机抽取4个，测得样本方差试求：总体方差2的置信度为95的置信区间.（附： 答疑编号918020117答案： 解析：本题是正态总体，均值未知，总体方差的区间估计。解：由已知， 置信度195，取样本方差s2为总体方差2的点估计，选择估计函数从而得到2的1置信区间为 查 带入数值分别计算得 因此，所求的置信区间为0.0428，1.8519. 专题三假设检验I.考点分析 最低分数分布最高分数分布平均分数分布两类错误1检验统计量，22均值检验83方差检验2合计4/10010/1008/100II.内容总结一、假设检验问题1.假设检验的基本思想 假设检验的理论根据是“小概率”原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，所以，在一次试验中发生的事件（抽出的一个样本）可以认为是“大概率”事件，对所检验的总体的概率分布具有代表性，因此，可以在一定的显著水平使用一次抽样得到的样本对总体进行检验，得出确定的结论，对作出的假设进行取舍。2.统计假设的概念： 对一个总体或两个总体的某个统计性质进行说明或比较时，由于这些性质未知或不完全知道，因而作出某种假设H0，称为统计假设。3.假设检验的类型参数的假设检验：对总体的数字特征，或分布函数中的参数提出假设的问题，称为参数的假设检验。非参数的假设检验：除上述问题以外的假设检验，称为非参数假设检验。二、假设检验的基本步骤1.提出统计假设：根据理论或经验对所要检验的量作出原假设（零假设）H0和备择假设H1，要求只有其一为真。如对总体均值检验，原假设为H0：=0，备择假设为下列三种情况之一： 2.选择适当的检验统计量，满足：必须与假设检验中待检验的“量”有关；在原假设成立的条件下，统计量的分布或渐近分布已知。3.求拒绝域：按问题的要求，根据给定显著水平查表确定对应于的临界值，从而得到对原假设H0的拒绝域W。4.求统计量的样本值并决策：根据样本值计算统计量的值，若该值落入拒绝域W内，则拒绝H0，接受H1，否则，接受H0。三、假设检验与区间估计的联系在显著水平为的双侧检验中，接受域（课本没有给出接受域的概念，即拒绝域在实数内的补集）即为置信度为1-的置信区间，即统计量的观测值落入置信区间时，接受原假设，否则拒绝原假设，二者的风险是一致的。以单个正态总体，2已知，对均值的区间估计及对的双侧检验为例，加以说明。 四、假设检验的两类错误（1）假设检验可能犯下列两类错误：第一类错误：“弃真错误”：H0正确而放弃H0。犯第一类错误的概率为显著水平；第二类错误：“取伪错误”：H0不正确而接受H0。犯第二类错误的概率为，但没有给出的求法。（2）两类错误的关系在样本容量不变的条件下，如果减小犯第一类错误的概率，必然扩大接受域，缩小拒绝域，则会增加犯第二类错误的概率；反之亦然。若同时减少犯两类错误的概率，只有增加样本容量。五、各种假设检验（检验水平为 ）列表p181，表84，略。III.典型例题例1.设总体X服从正态分布N（，1）为来自该总体的样本，为样本均值，s的样本标准差，欲检验假设 则检验用的统计量是 答疑编号918020201答案：B 解析：本题考察正态总体、方差已知、对均值的检验。属于u检验，检验统计量为 例2.设总体N（，2），X1，X2，Xn为来自该总体的样本， 为样本均值，S2为样本方差，欲检验假设 则检验用的统计量是（）. 答疑编号918020202答案：C 解析：本题考察正态总体、方差未知、均值的检验，属于t检验，检验统计量为 例3.某公司对产品价格进行市场调查，如果顾客估价的调查结果与公司定价有较大差异，则需要调整产品定价。假定顾客对产品估价为X元，根据以往长期统计资料表明顾客对产品估价XN（35，102），所以公司定价为35元。今年随机抽取400个顾客进行统计调查，平均估价为31元。在=0.01下检验估价是否显著减小，是否需要调整产品价格？（u0.01=2.32，u0.005=2.58）答疑编号918020203解析：本题考核单侧假设检验。解：设需要检验的假设 根据题目的已知条件（单正态总体、方差已知，对均值进行检验），选择统计量 因为样本观察值8W所以，拒绝原假设H0，接受H1，即可以认为估价显著减小，应该对公司定价进行调整。例4.在假设检验问题中，犯第一类错误的概率的意义是（）A.在H0不成立的条件下，