江苏省高邮市界首中学高三数学复习 第2课时 平面的基本性质与空间两直线的关系导学案（无答案）.doc

第2课时 平面的基本性质与空间两直线的关系【学习目标】1、了解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；2、了解可作为推理依据的4条公理、3条推论及1个定理；3、了解两条直线的位置关系及异面直线所成角的概念（角的计算不做要求）。【学习重点】公理的应用与异面直线关系的判断【预习内容】1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2.三个作用(1)公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两平面相交的交线；证明多点共线3、空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点的个数相交直线在同一个面内平行直线没有异面直线没有4.异面直线的判定及所成角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点o作直线aa，bb，把a与b所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：.异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面5平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行6等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【课前练习】1、下面给出四个命题： 一个平面长4m, 宽2m; 2个平面重叠在一起比一个平面厚; 一个平面的面积是25m2; 一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是 。02、下列说法正确的是 一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; 一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; 若线段ab, 则线段ab延长线上的任何一点必在平面内; 一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.3.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线 24对4、若点n在直线a上，直线a又在平面内，则点n，直线a与平面之间的关系可记作 。5、若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是 平行、相交与异面【典型示例】例1.下列命题：空间不同三点确定一个平面；有三个公共点的两个平面必重合；空间两两相交的三条直线确定一个平面；三角形是平面图形；所有的四边形都是平面图形；垂直于同一条直线的两条直线平行；一条直线和两条平行线中的一条相交，也必和另一条相交；两组对边相等的四边形是平行四边形。其中正确的命题是 分析：根据公理及其推论作判断例2.正方体abcda1b1c1d1中，p、q、r分别是ab、ad、b1c1的中点，那么，正方体的过p、q、r的截面图形是 三角形；四边形；五边形；六边形审题视点 过正方体棱上的点p、q、r的截面要和正方体的每个面有交线解析如图所示，作rgpq交c1d1于g，连接qp并延长与cb交于m，连接mr交bb1于e，连接pe、re为截面的部分外形同理连pq并延长交cd于n，连接ng交dd1于f，连接qf，fg.截面为六边形pqfgre. 画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快的确定交线的位置变式：下列如图所示是正方体和正四面体，p、q、r、s分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是_解析在图中，可证q点所在棱与面prs平行，因此，p、q、r、s四点不共面可证中四边形pqrs为梯形；中可证四边形pqrs为平行四边形；中如图所示取a1a与bc的中点为m、n可证明pmqnrs为平面图形，且pmqnrs为正六边形例3.如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，m、n分别是a1b1、b1c1的中点问：(1)am和cn是否是异面直线？说明理由；(2)d1b和cc1是否是异面直线？说明理由审题视点 第(1)问，连结mn，ac，证mnac，即am与cn共面；第(2)问可采用反证法解(1)不是异面直线理由如下：连接mn、a1c1、ac.m、n分别是a1b1、b1c1的中点，mna1c1.又a1a綉c1c，a1acc1为平行四边形，a1c1ac，mnac，a、m、n、c在同一平面内，故am和cn不是异面直线(2)是异面直线证明如下：abcda1b1c1d1是正方体，b、c、c1、d1不共面假设d1b与cc1不是异面直线，则存在平面，使d1b平面，cc1平面，d1，b、c、c1，与abcda1b1c1d1是正方体矛盾假设不成立，即d1b与cc1是异面直线 证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面变式：在下图中，g、h、m、n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)(2)(4)解析如题干图(1)中，直线ghmn；图(2)中，g、h、n三点共面，但m面ghn，因此直线gh与mn异面；图(3)中，连接mg，gmhn，因此gh与mn共面；图(4)中，g、m、n共面，但h面gmn，gh与mn异面所以图(2)、(4)中gh与mn异面例4、已知: 直线, 且直线与a, b, c都相交 求证: 直线共面分析：通过公理与其推论证明如图，e、f、g、h分别是空间四边形ab、bc、cd、da上的点，且eh与fg交于点o 求证：b、d、o三点共线分析：要证b、d、o三点共线只需证明这三点都在面abd与面bcd的交线上证明共线问题：(1)可由两点连一条直线，再验证其他各点均在这条直线上；(2)可直接验证这些点都在同一条特定的直线上相交两平面的惟一交线，关键是通过绘出图形，作出两个适当的平面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点.例5.正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab和aa1的中点求证：(1)e、c、d1、f四点共面；(2)ce、d1f、da三线共点审题视点 (1)由efcd1可得；(2)先证ce与d1f相交于p，再证pad.证明(1)如图，连接ef，cd1，a1b.e、f分别是ab、aa1的中点，efba1.又a1bd1c，efcd1，e、c、d1、f四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线da，ce、d1f、da三线共点 要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上【课堂小结】1证明共面问题的常用方法证明若干条线(或若干个点)共面，一般来说有两种途径：一是首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内；二是将所有元素分为几个部分，然后分别确定几个平面，再证这些平面重合2证明共线