第一章 函数、极限与连续.doc

1 第一章第一章 函数 极限与连续函数 极限与连续 一一 1 已知函数的定义域是 则的定义域是 xfy 1 0 2 xf 2 若 则 x xf 1 1 xff xfff 3 函数的反函数为 1 x ey 4 设 则 2 1 1 xx x f xf 5 13limnnn x 6 n n n 3 1 9 1 3 1 1 2 1 4 1 2 1 1 lim 7 xx x lnlim 0 8 50 3020 15 2332 lim x xx x 9 函数的不连续点为 2 3 21 1 1 xx xx xx xf 10 n n n x 3 sin3lim 11 函数的连续区间是 1 1 2 x xf 12 设 处处连续的充要条件 0 0 2 xxxba xbax xf 0 ba xf 是 b 13 若 复合函数的连续区间是 0 1 0 1 x x xf xxgsin xgf 2 14 若 均为常数 则 0 1 lim 2 bax x x x ab a b 15 设 求 xx x x x xf 0 1 0 sin 2 xf x0 lim 16 设 求 3 21 2 222 n n n xn n n x lim 17 若 求 2 1 x xf x xfxxf x 0 lim 18 利用极限存在准则证明 1 1 2 11 lim 222 nnnn n n 19 求下列函数的间断点 并判别间断点的类型 1 2 3 4 2 1x x y 2 2 1 x x y x x y xy 20 设 问 21 1 1 2 1 10 x x xx xf 1 存在吗 xf x1 lim 2 在处连续吗 若不连续 说明是哪类间断 若可去 则 xf1 x 补充定义 使其在该点连续 21 设 求出的间断点 并指出是哪 2 4 20 4 2 0 2 2 x xx xx xf xf 一类间断点 若可去 则补充定义 使其在该点连续 二二 1 若 则 3 11 2 2 x x x xf xf 3 2 函数的单调下降区间为 1ln 2 xy 3 已知 则 2 23 5 lim 22 n bnna n a b 4 则 2 1 2 lime x x ax x a 5 函数的不连续点是 是第 类不连续点 x exf 1 6 函数的不连续点是 是第 不连续点 x xf 1 sin 7 当时 0 x 11 3 x 8 已知 为使在连续 则应补充定义 xxxf 1 1 xf0 x 0f 9 设 则 0 0 2 xx xx xf 0 3 0 5 xx xx xg xgf 10 设 函数有意义 则函数的定义域 10 u uf xf ln 11 如果时 要无穷小与等价 应等于 0 x xcos1 2 sin 2x aa 12 要使 则应满足 0lim 1 0 x x baxb 13 xx x 1lim 2 14 函数 当 时 函数连续 1 1 1 1 2 xA x x x xf A xf 15 已知 则 2 2 lim 2 2 2 xx baxx x a b 4 16 若无间断点 0 0 2 1 xa xe xf x xf x0 lim xf 则 a 17 xx x x cos cos1 lim 2 0 18 x x e x3 lim 19 2 0 2cos1 lim x x x 20 求下列极限 1 2 为正整数 23 1 lim 2 2 0 xx x x 1 1 lim 1 m n x x x nm 3 4 x x x 1 1 lim 7 cos lim x xx x 5 6 100 1981 32 8574 lim x xx x 3 1 1 3 1 1 lim xx x 7 8 xx x x sin 2cos1 lim 0 2 cos lim 2 x x x 9 10 x x x arcsin lim 0 ax ax ax 22 sinsin lim 11 12 x x x 1 0 21lim x x x x 1 0 1 1 lim 13 14 为正整数 x x tgx cos 0 1lim kx x x 1 1limk 21 设在闭区间上连续 且 则在上至少存在 xf a2 0 aff20 a 0 一个 使 x axfxf 22 设在上连续 且 试证 在内至少 xf ba aaf bbf ba 有一点 使得 f 5 23 设数列有界 又 证明 n x0lim n n y0lim nn n yx 24 设 求 4 3 4 3 4 3 4 3 321 n n nnn xn n n x lim 25 设 求及 21 3 1 2 11 3 2 xx x xx xf xf x0 lim xf x1 lim 26 求 xx xx x ee ee lim 27 求 3 0 2sinsin2 lim x xx x 28 求下列极限 1 2 t et t 1 lim 2 x x x cos2 2sin lim 4 3 4 1 45 lim 1 x xx x ax ax ax sinsin lim 5 6 xxxx x 22 lim x x xtg cos 2 0 31lim 7 8 x e x x 1 lim 0 1 12 32 lim x x x x 29 若在上连续 则在上必有 xf ba bxxxa n 21 n xx 1 使 n xfxfxf f n 21