2011年北京市各区一模试题分类解析20部分.doc

清华北大家教中心一、集合1（2011西城一模理1）. 已知集合，则等于（ ）（A）（B）（C）（D）2（2011西城一模文1）、.已知全集，集合，则等于（A）（B）（C）（D）3（2011朝阳一模理1）若集合，则等于（A）（A） （B） （C） （D），4（2011丰台一模理1）已知集合，那么(B)(A) 或(B) (C) 或(D) 5（2011海淀一模理1）、已知集合，则 B.A. B. C. D. R6（2011石景山一模理1）、设,，则（ ）A B C D7（2011朝阳一模文1）、若集合，则=(A)(A) （B） （C） （D）8（2011丰台文1）已知集合，那么(B)(A) 或(B) (C) 或(D) 9(2011海淀一模文1)、已知集合，则 CA. B. C. D. R10(2011门头沟一模文1).已知集合A = , B = ，则AB等于A. B. C. D. 11(2011石景山一模文1)设,，则（ ）A B C D二、函数1、（2011西城一模理2）下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（A）（B）（C）（D）2、（2011西城一模理3）. 设，则（A）（B）（C）（D）3（2011西城一模理7）已知曲线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么（A）成等差数列（B）成等比数列（C）成等差数列（D）成等比数列4（2011西城一模文2）、. 函数的定义域是（A）（B）（C）（D）5（2011西城一模文4）、. 设，则（A）（B）（C）（D）6（2011东城一模理3）已知函数对任意的有，且当时，则函数的大致图像为（A）yO xyO x O xy（A） （B）O yx（C）（D）7（2011东城一模理7）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（B）（A） （B）（C） （D）8（2011东城一模文3）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，则函数的大致图像为O xyO xy O xy xyO （A）（B） （C） （D）9（2011东城一模文7）已知函数，那么在下列区间中含有函数 零点的为（A） （B） （C） （D）10（2011东城一模文13）设且，则 ； 11（2011丰台一模理6）已知函数 若f(2-x2)f(x)，则实数x的取值范围是(D)(A) (B) (C) (D) 12（2011门头沟一模理5）、设函数，则函数(A) 在区间内均有零点 (B) 在区间内均无零点(C) 在区间内有零点，在区间内无零点(D) 在区间内无零点，在区间内有零点13(2011门头沟一模理13) 已知函数，若，则实数的取值范围是 14(2011朝阳一模文7)已知函数是奇函数， 当时，=，则的值等于（D）（A）（B）（C）（D）15(2011朝阳一模文8)已知，用表示不超过的最大整数，记，若，则与的大小关系是（A）（A）不确定（与的值有关） （B）16(2011丰台文11)已知函数 则= e-1 17(2011海淀一模文2). 设，则A A. B. C. D. 18(2011海淀一模文3)函数图象的对称中心为B A B. C. D. 19(2011海淀一模文6). 在同一个坐标系中画出函数的部分图象，其中，则下列所给图象中可能正确的是D 20(2011门头沟一模文8).已知函数满足：，则A. 是偶函数且在上单调递减B. 是偶函数且在上单调递增C. 是奇函数且单调递减D. 是奇函数且单调递增21(2011门头沟一模文13).已知函数，若，则实数的值是 .22(2011门头沟一模文14).已知定义在R上的函数是周期函数，且满足，函数的最小正周期为 .23(2011石景山一模文8)定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数，满足，则的取值范围是（ ）xyOA B C D24(2011石景山一模文13)已知函数 那么 ，若，则的取值范围是 .三、导数及其应用xyO1（2011石景山一模理8）定义在上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数，满足，则的取值范围是（ ）A B C D2(2011海淀一模文12). 已知函数，则=_;函数图象在点处的切线方程为_解答1（2011西城一模理18）. （本小题满分14分）已知函数，其中.（）求函数的单调区间；（）若直线是曲线的切线，求实数的值；（）设，求在区间上的最大值.（其中为自然对数的底数）解：（），（）， 3分在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是. 4分（）设切点坐标为，则 7分（1个方程1分）解得，. 8分（），则， 9分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数. 10分当，即时，在区间上，为递增函数，所以最大值为. 11分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最大值为. 12分当，即时，的最大值为和中较大者；，解得，所以，时，最大值为， 13分时，最大值为. 14分综上所述，当时，最大值为，当时，的最大值为.2（2011西城一模文18）. （本小题满分14分）已知函数.（）求函数的极值点；（）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（）设函数，其中，求函数在区间上的最小值.（其中为自然对数的底数）解：（）， 2分由得， 3分所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 4分所以，是函数的极小值点，极大值点不存在. 5分（）设切点坐标为，则， 6分切线的斜率为，所以， 7分解得， 8分所以直线的方程为. 9分（），则， 10分解，得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数. 11分当，即时，在区间上，为递增函数，所以最小值为. 12分当，即时，的最小值为. 13分当，即时，在区间上，为递减函数，所以最小值为. 14分 综上，当时，最小值为；当时，的最小值；当时，的最小值为.3（2011东城一模理18）（本小题共13分）已知函数（）求函数在区间上的最小值；（）证明：对任意，都有成立（）解：由，可得当单调递减，当单调递增.所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为（）证明：由（）可知在时取得最小值，又，可知由，可得所以当单调递增，当单调递减.所以函数在时取得最大值，又，可知，所以对任意，都有成立4(2011东城一模文18)（本小题共14分）已知函数，且（）求的值；（）求函数的单调区间；（）设函数，若函数在上单调递增，求实数的取值范围解：（）由，得当时，得， 解之，得 4分（）因为 从而，列表如下：100有极大值有极小值所以的单调递增区间是和；的单调递减区间是 9分（）函数，有=，因为函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，只要，解得，所以的取值范围是 14分5（2011朝阳一模理18）（本小题满分13分）已知函数.（）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；（）若对于都有成立，试求的取值范围；（）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.解: (I) 直线的斜率为1.函数的定义域为，因为，所以，所以. 所以. .由解得；由解得.所以的单调增区间是,单调减区间是. 4分(II) ，由解得；由解得.所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则. 由解得.所以的取值范围是. 8分(III)依题得，则.由解得；由解得.所以函数在区间为减函数，在区间为增函数. 又因为函数在区间上有两个零点，所以解得.所以的取值范围是. 13分6(2011丰台一模理18).（本小题共13分）已知函数，为函数的导函数 （）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是，求的值；（）若函数，求函数的单调区间解：（）， 1分在处切线方程为， 3分， （各1分） 5分（） 7分当时， 0-0+极小值的单调递增区间为，单调递减区间为 9分当时，令，得或 10分（）当，即时，0-0+0-极小值极大值的单调递增区间为，单调递减区间为，；11分（）当，即时， 故在单调递减； 12分（）当，即时，0-0+0-极小值极大值在上单调递增，在，上单调递 13分综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， （“综上所述”要求一定要写出来） 7(2011海淀一模理18). （本小题共13分）已知函数，（）若，求函数的极值；（）设函数，求函数的单调区间；()若在（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.解：（）的定义域为， 1分当时， ， 2分10+极小3分所以在处取得极小值1. 4分（）， 6分当时，即时，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增； 7分当，即时，在上，所以，函数在上单调递增. 8分（III）在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零. 9分由（）可知即，即时， 在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以； 10分当，即时， 在上单调递增，所以最小值为，由可得； 11分当，即时， 可得最小值为， 因为，所以， 故 此时，不成立. 12分综上讨论可得所求的范围是：或. 13分8(2011门头沟一模理18)(本小题满分13分）已知函数（）求函数在点处的切线方程；（）求函数的单调区间和极值解：（）, , 2分 所以函数在点处的切线方程为 4分（）函数的定义域为令,得解得： 5分当时,列表：(-1,0)0+0-0+极大极小可知的单调减区间是，增区间是(-1,0)和； 极大值为,极小值为 8分当时,列表： 0+0-0+极大极小可知的单调减区间是，增区间是和； 极大值为,极小值为 11分当时, 可知函数在上单增, 无极值 13分9（2011石景山一模理18）（本小题满分13分）已知函数，.（）当时，求在区间上的最大值和最小值；（）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围解：（）当时， 2分对于，有， 在区间上为增函数 ， 5分（）令，则的定义域为 . 6分在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立. ， 8分 若，令，解得：， 当，即时，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意； 当，即，同理可知，在区间上，有，也不合题意； 10分 若时，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数； 要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是. 12分综合可知，当时，函数的图象恒在直线下方. 13分10(2011朝阳一模文18)（本小题满分13分）已知函数，.（）若曲线在点处的切线垂直于直线，求的值；（）求函数在区间上的最小值.解: （）直线的斜率为1.函数的导数为，则，所以. 5分（），.当时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减，则在区间上的最小值为.当，即时，在区间上，此时在区间上单调递减；在区间上，此时在区间上单调递增；则在区间上的最小值为. 当，即时，在区间上，此时在区间上为单调递减，则在区间上的最小值为.综上所述，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为. 13分11(2011丰台文19)（本小题共14分）已知函数在上是增函数，在上是减函数（）求b的值； （）当时，曲线总在直线上方，求的取值范围解：（）， 2分在上是增函数，在上是减函数， 当时，有极大值，即， 4分 6分（）， 在上是增函数，在上是减函数， ，即 8分曲线在直线的上方，设， 9分在时，恒成立 ，令，两个根为，且， 10分极小值 当时，有最小值 12分令， ，由， . 14分另解：，当a=0时，函数在定义域上为增函数，与已知矛盾，舍；7分当a0时，由（）知，函数在上为增函数，在上为减函数，与已知矛盾，舍；8分当a0时，由已知可得， 9分设， 10分 。令，两个根为， 极小值 当时，有最小值 12分令， ，由， . 14分12(2011海淀一模文18). （本小题共14分）已知函数（）若，求函数的极值和单调区间；(II) 若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.解：（I）因为 ， 2分当， ， 令，得 ， 3分又的定义域为，随的变化情况如下表：0极小值 所以时，的极小值为1 . 5分的单调递增区间为，单调递减区间为； 6分（II）解法一：因为 ，且， 令，得到 ， 若在区间上存在一点，使得成立， 其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. 7分 （1）当，即时，对成立，所以，在区间上单调递减，故在区间上的最小值为， 由，得，即 9分 （2）当，即时， 若，则对成立，所以在区间上单调递减， 所以，在区间上的最小值为，显然，在区间上的最小值小于0不成立 11分 若，即时，则有极小值 所以在区间上的最小值为，由，得 ，解得，即. 13分综上，由(1)（2）可知：符合题意. 14分 解法二：若在区间上存在一点，使得成立， 即，因为, 所以，只需 7分令，只要在区间上的最小值小于0即可因为，令，得 9分（1）当时：极大值 因为时，而， 只要，得，即 11分 （2）当时：极小值 所以，当 时，极小值即最小值为，由， 得 ，即. 13分 综上，由(1)（2）可知，有 . 14分13(2011门头沟一模文17).（本小题满分13分）已知曲线满足下列条件：过原点；在处导数为1；在处切线方程为.() 求实数的值； （）求函数的极值.解 ()根据条件有 解得 6分（）由()，7分令得9分（答案拷不全）14(2011石景山一模文18)（本小题满分13分）已知函数.（）若，求函数的解析式；（）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围.解：（） ， 2分 由，得. 函数. 4分 （）函数的定义域为函数 5分要使函数函数在其定义域内为单调增函数，只需函数在区间恒成立.即在区间恒成立. 即在区间恒成立. 9分令，当且仅当时取等号， . 13分四、定积分1（2011丰台一模理xyOAC(1,1)B7）从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为(B)(A) (B) (C) (D) 五、三角函数1（2011西城一模理6）.已知函数，则下列结论正确的是（A）两个函数的图象均关于点成中心对称（B）两个函数的图象均关于直线成中心对称（C）两个函数在区间上都是单调递增函数（D）两个函数的最小正周期相同2（2011西城一模文3）.为了得到函数的图像，只需把的图象上所有的点（A）向左平移个单位长度.u.c.o（B）向右平移个单位长度.u.c.o（C）向左平移个单位长度.u.c.o（D）向右平移个单位长度3（2011东城一模理6）已知,那么的值为（B）（A） （B） （C） （D）4（2011东城一模文5）已知函数的部分图象如图所示，则点P的坐标为（A） （B） （C） （D） 5（2011东城一模文12）已知,则 6（2011朝阳一模理5）函数的单调增区间是（A）（A） （B） （C） （D）AAxyO7(2011丰台一模理9)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos= 8(2011海淀一模理7).如果存在正整数和实数使得函数（，为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0），那么的值为 B A B C 3 D. 49（2011石景山一模理9）在中，角，所对应的边分别为，且，则角的大小为_10(2011朝阳一模文3)函数在下列哪个区间上为增函数（B）（A） （B） （C） （D）11(2011丰台文12)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点AAxyOA， 点A的纵坐标为，则cos= 12(2011门头沟一模文2).已知 ，则的值是A. B. C. D. 13(2011石景山一模文6)已知是第二象限角，且 ，则的值为 ( ) ABC D14(2011石景山一模文9)在中，角，所对应的边分别为，且，则角的大小为_解答1（2011西城一模理15）.（本小题满分13分）设中的内角，所对的边长分别为，且,.（）当时，求角的度数；（）求面积的最大值.解：（）因为，所以. 2分因为，由正弦定理可得. 4分因为，所以是锐角，所以. 6分（）因为的面积， 7分所以当最大时，的面积最大.因为，所以. 9分因为，所以， 11分所以，（当时等号成立） 12分所以面积的最大值为. 13分2（2011西城一模文15）. （本小题满分13分）设的内角，所对的边长分别为，且,.（）当时，求的值；（）当的面积为时，求的值.解：（）因为，所以 . 2分由正弦定理，可得. 4分所以. 6分（）因为的面积，所以，. 8分由余弦定理， 9分得，即. 10分所以， 12分所以，. 13分3（2011东城一模理15）（本小题共13分）在中，角，的对边分别为，分，且满足（）求角的大小；（）若，求面积的最大值解：（）因为， 所以 由正弦定理，得 整理得 所以 在中， 所以， （）由余弦定理， 所以 所以，当且仅当时取“=” 所以三角形的面积 所以三角形面积的最大值为4（2011东城一模文15）（本小题共13分）在中，角，的对边分别为，（）求证：；（）若的面积，求的值（）证明：因为，由正弦定理得， 所以， ， 在中，因为， 所以 所以 6分（）解：由（）知因为，所以 因为的面积，所以， 由余弦定理 所以 13分5（2011朝阳一模理15（本小题满分13分）在锐角中，角，所对的边分别为，已知.（）求；（）当，且时，求.解：（）由已知可得.所以.因为在中，所以. 6分（）因为，所以.因为是锐角三角形，所以，.所以. 由正弦定理可得：，所以. 13分6(2011丰台一模理15).（本小题共13分）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc（）求角A的大小；（）设函数，当取最大值时，判断ABC的形状解：（）在ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) 3分 0A ， （或写成A是三角形内角） 4分 5分（） 7分， 9分 （没讨论，扣1分） 10分当，即时，有最大值是 11分又， ABC为等边三角形 13分7(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，且.()求；()求的面积.解：（I）因为，, 1分 代入得到， . 3分因为 , 4分 所以. 5分（II）因为，由（I）结论可得： . 7分因为，所以 . 8分所以. 9分由得， 11分所以的面积为：. 13分8(2011门头沟一模理15)（本小题满分13分）在中，角、所对的边分别为，（I） 求角的大小；（）若，求函数的最小正周期和单增区间解：（） 2分由 得 , 5分（） 6分= 10分所以，所求函数的最小正周期为由得所以所求函数的单增区间为 13分9（2011石景山一模理15）（本小题满分13分）在中，角，所对应的边分别为，且（）求角的大小；（）求的最大值解：（） 、为三角形的内角， ， 2分 即 4分 又 ， 7分（）由（）得 10分 ， 当，即 时，取得最大值为13分10(2011朝阳一模文15).（本小题满分13分）在中，角，所对的边分别为，已知，.（）求的值；（）求的值.解：（）因为，由正弦定理得：. 5分（）因为，可知，.则.,.则=. 13分11(2011丰台文15)（本小题共13分）已知ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足b2+c2-a2=bc（）求角A的大小；（）设函数，求的最大值解：（）在ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 可得cosA=(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) 3分 0A （或写成A是三角形内角） 4分 5分（） 7分， 9分 （没讨论，扣1分）10分当，即时，有最大值是 13分12( 2011海淀一模文15). （本小题共13分）在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，,且.() 求；() 求的值. 解：（I）因为，, 3分 代入得到，. 6分（II）因为 7分 所以 9分又，所以. 10分因为，且，所以 ， 11分由，得. 13分13(2011门头沟一模文15).（本小题满分13分）在中，分别为角的对边，且（）求角的大小；（）若，试判断的形状.解：（）由正弦定理及已知，得 2分整理，得3分有余弦定理，得5分在中，所以7分（）由正弦定理及已知，得 9分 即 结合及已知解得 即12分因此是一个等腰钝角三角形13分14(2011石景山一模文15)（本小题满分13分）在中，角，所对应的边分别为，且（）求角的大小；（）求的最大值解：（） 、为三角形的内角， ， 2分 即 4分 又 ， 7分（）由（）得 10分 ， 当，即 时，取得最大值为13分六、数列1（2011西城一模理14）.已知数列的各项均为正整数，对于，有当时，_；若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为_或_.2(2011西城一模文14). 已知数列的各项均为正整数，为其前项和，对于，有，当时，的最小值为_；当时，_.3（2011东城一模理2）已知数列为等差数列，且，那么则等于（B）（A） （B） （C） （D）4（2011东城一模理14）已知数列满足：，且当n5时，若数列满足对任意，有，则b5= ；当n5时， 5（2011东城一模文10）在等差数列中，若，则 6（2011朝阳一模理4）已知是由正数组成的等比数列，表示的前项的和若，则的值是 （D）（A）511（B） 1023 （C）1533 （D）30697（2011丰台一模理4）设等差数列的公差0，若是与的等比中项，则(C)(A) 3或-1(B) 3或1(C) 3(D) 18(2011海淀一模理2)已知数列为等差数列，是它的前项和.若，则CA10 B16 C20 D249(2011门头沟一模理2)等差数列中，则等于（A）7（B）3.5（C）14（D）2810（2011石景山一模理3）已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A B C