离散型随机变量.doc

第二章 离散型随机变量一、教学目的与要求1、掌握随机变量的概念，离散型随机变量的分布列，会用Ch1求事件概率的方法，求随机变量的分布列；2、熟悉随机变量的数学期望，方差的概念，会应用分布列求数学期望、方差；掌握数学期望，方差的性质；3、掌握二维随机变量的分布，边际分布的概念，会应用联合分布列求边际分布，会计算二维随机变量的数字特征，会判定随机变量的独立性与相关性。4、掌握随机变量函数分布的求法，会求随机变量函数的数字特征。二、教学重点与难点重点是分布列的求法，期望与方差的计算。难点是二维随机变量联合分布列的求法，期望与方差性质的应用。第二章 离散型随机变量2.1一维随机变量及分布列一 随机变量及其分类1 概念在Ch1里，我们研究了随机事件及其概率，细心的同学可能会注意到在某些例子中，随机事件与实数之间存在某种客观的联系。例如袋中有五个球（三白两黑）从中任取三球，则取到的黑球数可能为0，1，2本身就是数量且随着随机试验结果的变化而变化的。又如在“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件的概率，若记=n重贝努里试验中A出现的次数，则上述“n重贝努里试验中，事件A出现k次”这一事件可以简记为（=k）,从而有P(=k)= Cpq q=1-p 并且的所有可能取值就是事件A可能出现的次数0，1，2，n，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。例如抛掷一枚均匀的硬币可能出现正面，也可能出现反面，约定若试验结果出现正面, 令=1, 从而试验结果出现正面=（=1）；若试验结果出现反面, 令=0, 从而试验结果出现反面=（=0）。为了计算n次投掷中出现正面数就只需计算其中“1”出现的次数了。一般地，若A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系在上面的例子中，我们遇到了两个随机变量，这两个变量取什么值，在每次试验之前是不确定的，因为它的取值依赖于试验的结果，也就是说它的取值是随机的，通常称这种量为随机变量。从上面例子可以发现，有了随机变量，至少使随机事件的表达在形式上简洁得多了。在上述前两个例子中，对每一个随机试验的结果自然地对应着一个实数，而在后两个例子中，这种对应关系是人为地建立起来，由此可见，无论哪一种性质，所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的一一对应关系。这与数学分析中函数的概念本质上是一致的。只不过在函数概念中，f(x)的自变量x为实数，而随机变量的概念中，随机变量（）的自变量为样本点，因为对每个试验结果都有函数（）与之对应，所以（）的定义域是样本空间，值域是实数域。定义1：设随机试验的每一个可能的结果（样本点）唯一地对应一个实数，则称实变量 为随机变量，通常用希腊字母或大写字母X,Y,Z等表示随机变量，例1：一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数为随机变量，的可能取值为0，1，2例2：某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量,的可能取值为。例3：考察某一地区全年的温度的变化情况，则某一地区的温度为随机变量，的可能取值为 。例4：大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标（）表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。2随机变量的分类从随机变量的取值情况来看，若随机变量的可能取值只要有限个或可列个则该随机变量为离散型随机变量，不是离散型随机变量统称为非离散型随机变量，若随机变量的取值是连续的，称为连续型随机变量，它是非离散型随机变量的特殊情形。从随机变量的个数来分，随机变量可分为一维随机变量和多维随机变量，二、一维随机变量及分布列1定义定义2：定义在样本空间 上，取值于实数域R，且只取有限个或可列个值的变量称为一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量。讨论离散型随机变量主要要搞清楚两个方面：一是随机变量的所有可能取值；更主要的的是搞清楚随机变量取这些可能值的概率。例5：设袋中有五个球（3个白球2个黑球）从中任取两球，则取到的黑球数为随机变量,的可能取值为0，1，2。=习惯上，把它们写成或0122、分布律 如果离散型随机变 可能取值为 () 相应的取值的概率 称 为随机变量的分布列，也称为分布律，简称分布。 也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律：例6：在n=5的贝努里试验中，设随机事件A在一次试验中出现的概率p，令 =5次试验中事件A出现的次数。则 k=0,1,2,3,4,5于是的分布列为0 1 2 3 4 5 3、分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列 都具有下述性质：非负性：1） .规范性：2） 反过来，任意一个具有以上性质的数列都可以看成某一个随机变量的分布列。分布列不仅明确地给出了（）的概率，而且对于任意的实数ab,事件（）发生的概率均可由分布列算出，因为（）=于是由概率的可列可加性有 P()=，其中 由此可知，取各种值的概率都可以由它的分布列，通过计算而得到，这种事实常常说成是，分布列全面地描述离散型随机变量。例7：设随机变量的分布列为： P(=i)=c 求 c的值。解： 的分布列为P(=i)=c 由分布列的性质=1 即 c 例8：一个口袋中有n只球，其中m只白球，无放回地连续地取球，每次取一球，直到取到黑球时为止，设此时取出了 个白球，求 的分布列。解：的可能取值为0，1，2，3mP(=i)=注意：（=i）表示第i次取出白球，第i+1 次取出黑球，例9：抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为 p(0p0是某个常数，易验证1）P（）0 k=0.1.22）=1也就是说，若的分布列为 P（） k=0.1.2（）称服从参数为的普哇松（Poisson）分布，记为p(k;)在很多实践问题中的随机变量都可以用Poisson 分布来描述。从而使得Poisson分布对于概率论来说，有着重要的作用，而概率论理论的研究又表明Poisson分布在理论上也具有特殊重要的地位。下面介绍Poisson分布与二项分布之间的关系Th2.1（Poisson定理）在n 重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为（与试验总数n有关）。若当时 （0常数）。则有 k=0.1.2证明：自己阅读P66。这个定理在近似计算方面有较大的作用，在二项分布中，要计算b(k;n,p)= ，当n和k都比较大时。计算量比较大，若此时np不太大（即p较小）那么由Poisson定理就有b(k;n,p) 其中而要计算有专用的Poisson分布表可查。例10.已知某中疾病的发病率为1/1000，某单位共有5000人，问该单位患有这种疾病的人数超过5的概率为多大？解：设该单位患这种疾病的人数为.则其中b(k;5000,1/1000)=这时如果直接计算p()计算量较大。由于n很大。P较小。而np=5不很大。可以利用Poisson定理p()=1-p()查Poisson分布表得于是 p()。例11由该商店过去的销售记录知道，某中商品每月销售数可以用参数的Poisson分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？解：设该商店每月销售某种商品件，月底的进货为a件则当（）时就不会脱销。因而按题意要求为 又 查Poisson分布表得 于是这家商店只要在月底进货某种商品15件（假定上月没有存货）就可以以95%的把握保证这种商品在下个月不会脱销。2.2 多维随机变量联合分布列和边际分布列一、 多维随机变量及其联合分布列1、 定义定义1.设是样本空间上的 n个离散型随机变量，则称n维向量（）是上的一个n维离散型随机变量或n维随机向量。 对于n维随机变量而言，固然可以对它的每一个分量分别研究，但我们可以将它看成一个向量，则不仅能研究各个分量的性质，而且更重要的是要考虑它们之间的联系。下面主要讨论二维离散型随机变量。设（）是二维离散型随机变量，它们的一切可能取值为（）i,j=1,2 i,j=1，2,注意=。称= i,j=1,2为二维随机变量（）的联合分布列。 与 一维时的情形相似，人们也常常习惯于把二维离散型随机变量的联合分布用下面表格形式表示2.联合分布的性质容易证明二维离散型随机变量的联合分布具有下面的性质：1）非负性： i,j=1,2 2）规范性： 3) 二边际分布（边缘分布）设（）为二维离散型随机变量，它们的每一个分量的分布称为（）关于的边际分布，记为与 。 若（）的联合分布为 i,j则= =由此可以发现，由联合分布列可以唯一确定边际分布，反之，由边际分布不能唯一确定联合分布（反例在下面举）。大家可以发现，边际分布列的求法只须在联合分布列的右方加了一列，它将每一行中的相加而得出，这就是的分布列;相应地在()下面增加一行,它把每一列中的对 i相加而得到恰好就是边际分布列,这也是边际分布列名称的来历。即 例1. 设把三个相同的球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号中球的个数为，落入第2号盒子中球的个数为，求（）的联合分布列及的边际分布列。解：的可能取值为0.1.2.3（首先确定（）的所有可能取值（ i,j）然后利用ch1知识计算概率。当i+j3时= 所以（）的联合分布列 0123例2. 把3个白球和3个红球等可能地放入编号为1.2.3的三个盒子中，记落入第1号的盒子中的白球个数为，落入第2号盒子中的红球的个数为，求（）的联合分布列和边际分布列。解：（）的可能取值为（i,j=0.1.2.3）显然有 , i=0.1.2.3 0 1 2 30123 比较例1和例2可以发现两者有完全相同的边际分布列，而联合分布列却不同，由此可知边际分布列不能唯一确定联合分布列，也就是说二维随机变量的性质并不能由它的两的分量的个别性质来确定，这时还必须考虑它们之间的联系，由此也就说明了研究多维随机变量的作用。例3. 袋中装有2个白球和3个黑球，现进行有放回（无放回）摸球，每次从中任取一只，取两次，令= =求() 的联合分布列与边际分布列：解: 无放回；() 的联合分布列为 1 2 12 有放回； () 的联合分布列为 1 2 12 三、随机变量的独立性定义3：设随机变量 的可能取值为 ,的可能取值为如果对任意的有： 成立 则称随机变量 与相互独立。 两个随机变量 与 相互独立，也就意味 与的取值之间互不影响，随机变量的独立性可以推广到多个离散型随机变量的场合。定义4：设 是n个离散型随机变量， 的可能取值为 ， ， 如果对任意的一组， 恒有成立则称是相互独立的。例4：在n重贝努里试验中，令 则 的可能取值为1或0，对 或 0 （）容易验证有成立， 所以 是相互独立的随机变量。 由随机变量独立性的定义，要证明两个随机变量是相互独立的，则要证明对() 的所有取值，都有 。 若其中有一对值不满足这个条件，则 与不独立。2.3 随机变量函数的分布列在实际问题中，不仅要研究随机变量，而且还要研究随机变量的函数，例如在分子物理学中已知分子的速度v 是一个随机变量，这时分子的动能W=就是一个随机变量函数，下面就研究如何根据随机变量的分布列（或联合分布列）来求随机变量函数的分布列。一、 一维随机变量函数的分布 设g(x)是定义在随机变量的一切可能取值a的集合上的函数，这样随机变量，当 取值a时，它取值 y=g(a) 称为随机变量的函数，记为=g()设为离散型随机变量，则= g()也为离散型随机变量。若的分布列为 ，现求 =f() 的分布列。1.若随机变量 取不同的值 时，随机变量函数=g() 也取不同的值 i=1.2.。则的分布列为。例1：设 的分布列为 0 1 2 3 4 5 求 = 的分布列。解：的可能取值为1,3,5,7,9,11, 它们互不相同，则 的分布列为1 3 5 7 9 11 2、若 取不同的时，而函数的取值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加，就得到 的分布列。例1：设 的分布列为 0 1 2 3 4 5 求 = 的分布列。解： 的可能取值为0，1，4，9 它们有相同的。则 的分布列为0 1 4 9 二、 二维离散型随机变量函数的分布列 设()是一个二维离散型变量，f(x,y,)是实变量 x和y的单值函数，这时 仍是一个离散型随机变量。设 的可能取值为：令 (,j,k=1.2.) 则有例3：设 ，是两个独立的随机变量，它们分别服从参数为 和 的Poisson分布求 的分布列。解：由 与 的独立性可知.此例说明了Poisson分布对加法具有封闭性。类似地可以证明二项分布也是一个可加性分布，即若 ，是两个独立的随机变量，且，则。例4：设 ， 为独立分布的离散型随机变量，其分布列为：.求 的分布列解：.2.4 数学期望的定义及性质一、 数学期望的概念我们知道离散型随机变量的分布列全面地描述了这个随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这样的“全面描述”有时并不使人感到方便，举例来说，已知在一个同一品种的母鸡群，一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量，如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量，通常只要比较两个品种母鸡的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量最高，当然是“较好”的品种，这时如果不去比较它的平均值，而只看它的分布列，虽然“全面”，却使人不得要领，既难以掌握，又难以迅速作出判断，这样的例子可以举出很多。例如：要比较不同班级的学习成绩通常就是比较考试中的平均成绩。例1、 某手表厂在出厂的产品中，抽查了N=100只手表的日走时误差，其数据如下日走时误差-2 -1 0 1 2 3 4只 数3 10 17 28 21 16 5这时，抽查到的这100只手表的平均日走时误差为其中是“日走时误差为k秒”这一事件的概率，可记为，于是平均值=当N 较大时，接近，于是接近于，就是说，当试验次数很大时，随机变量的观察值的算术平均 接近于，称为随机变量的数学期望或均值，一般地，有如下定义定义1：设离散型随机变量的可能取值为，其分布列为，则当 时称存在数学期望（均值），并且数学期望为=若 则，则称的数学期望不存在。从定义可以看出，E是由随机变量的分布列所确定的一个实数，它形式上是的一切可能取值，当独立地取较多的值时，这些值的平均值稳定在随机变量的数学期望上，的取值可依某种次序一一列举的，同一种随机变量的列举次序可以有所不同，当改变列举次序时它的数学期望（均值）应是不变的，这意味着 求和次序可以改变，而其和保持不变，由无穷级数的理论知道，必须有 绝对收敛，即，才能保证它的和不受求和次序的影响。例2、设为离散型随机变量，其分布列为 k=1.2试问的数学期望是否存在？解：而 发散故的数学期望是不存在的。二、 几种常用分布的期望1、 退化分布设的分布列为 ，则2、 两点分布设 的分布列为1 0p 1-p则3、二次分布 设b(k,b,p) 则 4、几何分布 设g(k,p) 则 5、Poisson分布 设 则三、 随机变量函数的数学期望定理1：设为一个离散型随机变量，其分布列为 又 g(x)是实变量x 的单值函数，如果(既绝对收敛)，则有=定理2：若（）是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为 又g(x,y)是实变量x,y的单值函数，如果则有=-2 0 20.4 0.3 0.3例3、随机变量的分布列为求 。解：=四、 数学期望的性质1、 若，则存在，而且有 。特别，若C为一个常数，则EC=C2、 对任一二维离散型随机变量（），若存在，则对任意实数 ,存在,且= 一般地 3、 若 与 相互独立，则。例4：若,求：E(3-5), E(2+3) 解: E(3-5)=3E-5=E(2+3)=2 E+3E例5：若随机变量, 求 的数学期望解：令 i=1.2 n 于是由数学期望的性质即得例6：设掷两颗骰子，用, 分别表示第一、第二颗骰子出现的点数，求两颗骰子出现点数之和的数学期望。解：令, 分别表示第一、第二颗骰子出现的点数则与同分布，分布列为所以从而。2.5 方差的定义及性质一. 方差的概念1. 定义定义：设是一个随机变量，数学期望E存在，如果存在，则称为随机变量的方差,并记为D或Var。方差的平方根又称为标准差或根方差,常记为。若的分布列为则D=2. 方差的计算公式D=E 变形为E二. 几种常用分布的方差1. 退化分布=1 c为常数E=C D=0 即常数的方差为02. 两点分布设 的分布列为 1 0 p1-pE=P D= E=p-=pq3. 二项分布b（k;n,p） k=0，1，2，nD=E=n(n-1)+np-4. Poisson分布设p(k,) p(=k)= k=0，1，2，n E= D=5. 几何分布设g(k;p) p(=k)= k=1，2，E=1/p 三. 方差的性质1.若C为常数，则DC=0 D2.若C为常数，则D（C）=3.若，是两个相互独立的随机变量，且D，D存在，则D（）例1. 若b（k;n,p）求D解：令 i=1.2 n D=np +例2. 设掷两颗骰子，用, 分别表示第一、第二颗骰子出现的点数，求两颗骰子出现点数之差的方差。解：令, 分别表示第一、第二颗骰子出现的点数则与同分布，分布列为= D=故。2.6 条件分布与条件数学期望一、 条件分布我们知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律，如果要同时研究两个随机变量，就需要他们的联合分布列，设二维随机变量（）的可能取值为（）i.j=1.2,为了计算