MATHEMATICA实习二导数.doc

MATHEMATICA实习二 导数实习目的1 进一步理解导数与微分的概念。2 学习Mathematica的求导命令和求导法则，掌握求导数、偏导数和高阶导数的方法3 深入理解和掌握求隐函数的导数，以及求由参数方程定义的函数的导数的方法。实习准备1.求导命令D与求微分命令Dt.Df,x给出f关于x的导数，而将表达式中f中的其他变量看作常量。因此，如果f是多元函数，则给出f关于x的偏导数。Df,x,n给出f关于x的n阶导数或者偏导数。Df,x,y,z给出f关于x,y,z的混合偏导数。Dtf,x给出f关于x的全导数，将表达式f中的其他变量都看作x的函数。Dtf给出f的微分。如果f是多元函数，则给出f的全微分。即使表达式是抽象函数，上述命令也可以给出相应正确的结果，当然是一些抽象符号。命令D的选项NonConstants-指出内的字母是x的函数。命令Dt的选项Constants-指出内的字母是常数。2解方程或方程组的命令Solve解方程命令的格式为Solvefx=0,x解方程组命令的格式为Solvefx,y=0,gx,y=0,x,y执行命令后给出方程或方程组关于指定变量的解。方程中的等号要用双等号“=”。如果是方程组，要用大括号将所有的方程括起来，各方程之间用逗号隔开。3.循环语句Do循环语句Do的基本形式为Do表达式，循环变量的范围表达式中一般有循环变量，有多种方法说明循环变量的取值范围。最完整的形式为Do表达式，循环变量名，最小值，最大值，增量当省略增量时，默认增量为1。省略最小值时，默认最小值为1。例如输入DoPrintSinn*x,n,1,10则在屏幕上显示Sinx Sin2 x Sin3 x Sin4 x Sin5 x Sin6 x Sin7 x Sin8 x Sin9 x Sin10 x实习内容与步骤1. 求函数的一阶导数。输入Dxn,x在不指明的情况下求导数的过程中，已经将n看作了常数。输出为2求函数f(x)=sin axcos bx的一阶导数。并求输入diffx_=DSina*x*Cosb*x,x则得到f(x)的一阶导数再输入diff1/(a+b)则得到f在点的导数如果输入DSina*x*Cosb*x,x/.x-1/(a+b)则直接得到函数在该点的导数。3假设，求。输入Clearx,y,zz=CosSqrtx2+y2;zx=Dz,xzy=Dz,yzxy=Dz,x,yzxx=Dz,x,2输出为 4 求函数的一阶到十一阶导数。输入：Clearf;fx_=x10+2(x-10)9;Dfx,x,2则得到函数的二阶导数类似的可以求3阶，4阶导数等等，为了将1阶到11阶导数一次性都求出来，输入DoPrintDfx,x,n,n,1,11输出为： 725760+3628800 x 3628800 05 求函数f(x)=sin axcos bx的微分。输入：DtSina*x*Cosb*x,Constants-a,b/Simplify其中选项Constants-a,b指出a,b是常数，Simplify后缀函数是将前面的结果进行化简。输出为：Dtx,Constantsa,b (a Cosa x Cosb x-b Sina x Sinb x输出中的Dtx,Constantsa,b就是自变量的微分dx。如果输入：DtSina*x*Cosb*x则实际上是将a,b看成变量，得到的是三元函数的全微分：Cosa x Cosb x (x Dta+a Dtx)+(-x Dtb-b Dtx) Sina x Sinb x6 设，求和全微分dz。输入：Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y则有输出： 再输入：Dtz则得到输出：其中Dtx和Dty分别表示dx和dy.7 方程确定的隐函数的导数。输入：D2x2-2x*yx+y2+x+2y+1=0,x这里输入yx以表示y是x的函数。输出为对原方程两边求导数后的方程： 再解方程，输入：可以得到结果另外一种方法是使用微分命令。输入：Dt2x2-2x*y+y2+x+2y+1=0,x得到导数满足的方程，输出为：1+4 x-2 y+2 Dty,x-2 x Dty,x+2 y Dty,x0再解方程，输入：Solve%,Dty,x输出结果：注 前一种方法用的是表示的导数，而后一种方法用的是Dty,x表示的导数。两种方法也说明了命令D和Dt的区别，D求导默认其他的变量相对于求导的变量都是常量，如果不是需要将其他变量改造为要求导的变量的函数，而Dt默认命令中出现的一切字母都是变量。如果是求二阶导数那么用第一种方法，如下输入：输出：表明对原来方程两边求一阶导数输入：输出：对原来的方程两端求了二阶导数输入：输出：解上述两个方程，得到y对x的一二阶导数。8.假设方程确定了函数z=z(x,y)，求。本题当然也可以采用上题的两种方法（直接求导法，微分法），当然求一阶导数（偏导数）也可以采用隐函数求导法（根据隐函数存在定理）。输入：Clearx,y,zf=x+2y+z-2Sqrtx*y*zfx=Df,x;fy=Df,y;fz=Df,z;zx=-fx/fzzy=-fy/fz输出为： 9.验证拉哥朗日中值定理对函数在区间1，2上成立。即满足存在使.输入：Clearf;fx_:=1/x4;SolveDfx,x=f2-f1,x/N输出中有5个解：其中实数解就是满足拉格朗日中值定理的，约为1.33665。10.求由参数方程确定的函数的导数。输入：Clearx,y,t;g=DExpt*Sint,t/DExpt*Cost,t则输出y对x的一阶导数：再输入：Dg,t/DExpt*Cost,t/Simplify则得到y对x的二阶导数11设，求。输入：rq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants-u,v对方程组的第一个方程两边对x求导数，把u,v看成x,y的函数输出：输入：rq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants-u,v对方程组的第二个方程两边对x求导数，把u,v看成x,y的函数输入：Solverq1,rq2,Du,x,NonConstantsu,v,Dv,x,NonConstantsu,v/Simplify把u,v对x的偏导数当作未知量，解求导以后由rq1,rq2组成的方程组。得到输出：其中Du,x,NonConstantsu,v表示u对x的偏导数，Dv,x,NonConstantsu,v表示v对x的偏导数。类似的可以求得u,v对y的偏导数（留作练习）实习作业1 验证罗尔定理对函