材料力学-正应力计算.ppt

工程力学 清华大学出版社北京交通大学出版社 工程力学教学课件 第十七章 弯曲应力及强度刚度计算 第一节梁弯曲时的正应力 纯弯曲与剪切弯曲 中性层和中性轴 弯曲正应力分布规律 弯曲正应力的计算 抗弯截面模量 各横截面上同时有弯矩M和剪力Q 称为剪切弯曲 各横截面只有弯矩M 而无剪力Q 称为纯弯曲 1 变形几何关系纯弯曲梁变形后各横截面仍保持为一平面 仍然垂直于轴线 只是绕中性轴转过一个角度 称为弯曲问题的平面假设 中性层和中性轴 中性层 梁弯曲变形时 既不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层 对矩形截面梁来讲 就是位于上下中间这一层 中性轴 中性层与横截面的交线 梁弯曲时 实际上各个截面绕着中性轴转动 如果外力偶矩如图作用在梁上 该梁下部将伸长 上部将缩短 弯曲正应力分布规律 M 与中性轴距离相等的点 正应力相等 正应力大小与其到中性轴距离成正比 弯矩为正时 正应力以中性轴为界下拉上压 弯矩为负时 正应力上拉下压 M 中性轴上 正应力等于零 2 静力学关系分析 Z 中性轴 没有轴向力 中性轴必然通过横截面的形心 质心坐标 静矩 面积矩 抗弯刚度 横截面上某点正应力 该点到中性轴距离 该截面弯矩 该截面惯性矩 梁的弯矩图如图5 8b所示 由图知梁在固定端横截面上的弯矩最大 其值为 例一受均布载荷的悬臂梁 其长l 1m 均布载荷集度q 6kN m 梁由10号槽钢制成 由型钢表查得横截面的惯性矩Iz 25 6cm4 试求此梁的最大拉应力和最大压应力 1 作弯矩图 求最大弯矩 因危险截面上的弯矩为负 故截面上缘受最大拉应力 其值为 在截面的下端受最大压应力 其值为 2 求最大应力 第二节惯性矩的计算 1 简单截面的惯性矩 矩形截面 100 200 200 100 z z y y P a b 圆形与圆环截面 实心圆 空心圆 2 组合截面惯性矩 平行移轴公式 例求T字形截面的中性轴z 并求截面对中性轴的惯性矩 将截面划分为 两矩形 取与截面底边相重合的z 轴为参考轴 则两矩形的面积及其形心至z 轴的距离分别为 1 确定形心和中性轴的位置 整个截面的形心C在对称轴y上的位置则为 即中性轴z与轴z 的距离为3cm 2 求各组合部分对中性轴z的惯性矩 设两矩形的形心C 和C 其形心轴为z1和z2 它们距z轴的距离分别为 由平行移轴公式 两矩形对中性轴z的惯性矩为 将两矩形对z轴的惯性矩相加 得 3 求整个截面对中性轴的惯性矩 3 弯曲正应力的计算 抗弯截面模量 某截面上最大弯曲正应力发生在截面的上下边界上 WZ称为抗弯截面模量 Z为中性轴 矩形截面 Z b h 实心圆截面 Z d 例 T型截面铸铁梁的受力如图所示 截面对中性轴的惯性矩为IZ 763 7 104mm4 求C截面和全梁的最大拉应力和压应力 4KN 9KN 1m 1m 1m D C B A Z y 52 88 解1 计算C截面弯矩 RA RB 例 T型截面铸铁梁的受力如图所示 截面对中性轴的惯性矩为IZ 763 7 104mm4 求C截面和全梁的最大拉应力和压应力 Z y 52 88 2 分析C截面应力分布情况 例 T型截面铸铁梁的受力如图所示 截面对中性轴的惯性矩为IZ 763 7 104mm4 求C截面和全梁的最大拉应力和压应力 Z y 52 88 3 求全梁的最大拉 压应力 2 5KNm 4KNm B截面 y h 2 h 2 第三节弯曲切应力 一 矩形截面梁横截面上的切应力 第三节弯曲切应力 第三节弯曲切应力 二 工字形截面梁横截面上的剪切应力 第四节梁的强度计算 梁的最大正应力 梁的强度条件 举例 一 梁的最大正应力 梁的危险截面即最大正应力所在截面 对于对称形截面 梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上 危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部 梁的最大正应力 梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处 对于非对称形截面 当梁的弯矩有正负变化时 最大的拉应力可能不等于最大的压应力 且可能不在同一截面上 危险截面 在最大的正弯矩截面和最大的负弯矩截面 二 梁的正应力强度条件 Mmax 梁内最大弯矩 WZ 危险截面抗弯截面模量 材料的许用应力 利用强度条件可以校核强度 设计截面尺寸 确定许可载荷 例图示圆截面辊轴 中段BC受均部载荷作用 试确定辊轴BC段截面的直径 已知q 1KN mm 许用应力 140MPa q 300 300 1400 A B C D 危险截面在轴的中部 利用截面法求该截面弯矩 q RAy M 300 700 300 由对称性可求得 例 一圆形截面木梁 受力如图所示 10MPa 试选择截面直径d 3KN q 3kN m 1m 3m 解 1 确定危险截面 A B 3KN 5 5kN 3 5KN 危险截面 A截面Mmax 3kNm 例 一圆形截面木梁 受力如图所示 10MPa 试选择截面直径d 危险截面 A截面Mmax 3kNm 2 据正应力强度条件确定截面直径 例 图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢 其上受均布载荷q和集中力P作用 若P 2KN 梁长L 2 5m 工字钢的许用应力 100MPa 试求q的许可值 P q L A B 解 1 确定危险截面 P P qL PL qL2 2 危险截面 固定端AMmax PL ql2 2 kNm 例 图示支撑阳台的悬臂梁为一根16号工字钢 其上受均布载荷q和集中力P作用 若P 2KN 梁长L 2 5m 工字钢的许用应力 100MPa 试求q的许可值 P q L A B 危险截面 固定端AMmax PL ql2 2 kNm 2 据强度条件确定q 例图示悬臂梁承受均布载荷q 假设梁截面为b h的矩形 h 2b 讨论梁立置与倒置两种情况哪一种更好 b h h b q 根据弯曲强度条件 同样载荷条件下 工作应力越小越好 因此 WZ越大越好 梁立置时 梁倒置时 立置比倒置强度大一倍 注意 Z轴为中性轴 三 梁的弯曲剪应力强度校核 通常满足了正应力强度 剪应力强度也能满足 但在梁的跨度较小或支座附近有较大的载荷时 因梁的弯矩较小而剪应力相对较大 需要对梁进行剪应力强度校核 强度条件为 例 图示简支梁 材料的许用应力 140MPa 80MPa 试选择工字钢的型号 60kN 2m A B 0 2m c 解 1 确定危险截面 54KN 6KN FQ M 10 8KNm 危险截面 C截面 例 图示简支梁 材料的许用应力 140MPa 80MPa 试选择工字钢的型号 60kN 2m A B 0 2m c 危险截面 C截面 解 2 据正应力强度条件确定工字钢的型号 例 图示简支梁 材料的许用应力 140MPa 80MPa 试选择工字钢的型号 60kN 2m A B 0 2m c 解 3 校核剪应力强度 例 图示简支梁 材料的许用应力 140MPa 80MPa 试选择工字钢